矩形、菱形與正方形 第二十二講第五章圖形的性質(zhì)(二)知識盤點1、矩形的定義、性質(zhì)及判定2、菱形的定義、性質(zhì)及判定3、正方形的定義、性質(zhì)及判定1一個防范在判定矩形、菱形或正方形時，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解題時要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法2三種聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)則可判定為矩形難點與易錯點難點與易錯點(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需有四邊相等則可判定為菱形(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)DD夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)DB5(2015日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：ABBC，ABC90，ACBD，ACBD中選兩個作為補(bǔ)充條件，使ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是( )A BC DB【例1】(2015內(nèi)江)如圖，將ABCD的邊AB延長至點E，使ABBE，連接DE，EC，DE交BC于點O.(1)求證：ABD BEC；(2)若BOD2A，求證：四邊形BECD是矩形典例探究典例探究【點評】利用平行線的相關(guān)性質(zhì)找到對應(yīng)角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時會比邊與角更直接簡便對應(yīng)訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足為E.求證：AECE.解：證明：過點C作CGAB交AB的延長線于G點，可證：CGB CED，CECG.又GACEA90，四邊形CGAE是矩形，CGAE，CEAE【例2】(2015巴中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD，BC分別交于點M和點N.(1)請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)過點D作DEAC交BC的延長線于點E，當(dāng)AB6，AC8時，求BDE的周長【點評】菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法對應(yīng)訓(xùn)練2(2015甘南州)如圖，在ABC和EDC中，ACCECBCD；ACBDCE90，AB與CE交于點F，ED與AB，BC分別交于點M，H.(1)求證：CFCH；(2)如圖，ABC不動，將EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到BCE45時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論【例3】(2015梧州)如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A，D重合，BP的垂直平分線分別交CD，AB于E、F兩點，垂足為Q，過點E作EHAB于點H.(1)求證：HFAP；(2)若正方形ABCD的邊長為12，AP4，求線段EQ的長【點評】正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點對應(yīng)訓(xùn)練3(2014揚州)如圖，已知RtABC中，ABC90，先把ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90至DBE后，再把ABC沿射線平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形解：(1)FGED.理由如下：ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90至DBE后，DEBACB，把ABC沿射線平移至FEG，GFEA，ABC90，AACB90，DEBGFE90，F(xiàn)HE90，F(xiàn)GED(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得GEF90，CBE90，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180，BCG90，四邊形BCGE是矩形，CBBE，四邊形CBEG是正方形【例4】(2014牡丹江)如圖，在RtABC中，ACB90，過點C的直線MNAB，D為AB邊上一點，過點D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CEAD；(2)當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB中點，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由解：(1)證明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD(2)解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90，D為AB中點，CDBD，四邊形BECD是菱形(3)當(dāng)A45時，四邊形BECD是正方形，理由是：ACB90，A45，ABCA45，ACBC，D為BA中點，CDAB，CDB90，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當(dāng)A45時，四邊形BECD是正方形【點評】在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法對應(yīng)訓(xùn)練4(2015南充)如圖，ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，AEF，CFE的平分線交于點G，BEF，DFE的平分線交于點H.(1)求證：四邊形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MNEF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQEF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補(bǔ)全他的證明思路由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件_，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGE QFH易證_，_，故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，_，即可得證FG平分CFEGEFHGMEFQHGEFEFH(2)解：答案不唯一 試題在ABC的兩邊AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，過點A作BC的垂線分別交BC于點D，交FH于點M，求證：FMMH.注意：不認(rèn)真畫圖導(dǎo)致錯誤錯解證明：如圖，四邊形ABEF與四邊形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFH ABC，52.3190，3290，12，15.14，45.AMFM.同理，AMMH，故FMMH.剖析上述解法錯在將BAC畫成了直角(題中沒有這個條件)，從而導(dǎo)致FAH，BAC和1，4分別成為對頂角，不認(rèn)真畫圖，匆匆忙忙進(jìn)行推理，就很容易犯錯誤正解證明：分別過F，H畫FKMD，HLMD，垂足為K，L.四邊形ACGH是正方形，ACAH，CAH90，1290，ADBC，2390，13.又HLAADC90，AHL CAD，HLAD.同理：AFK BAD，F(xiàn)KAD，F(xiàn)KHL.又FMKHML，F(xiàn)KMHLM90，F(xiàn)MK HML，F(xiàn)MMH