第第2講講數(shù)列的綜合應數(shù)列的綜合應用用高考定位高考對本內容的考查主要有：(1)通過適當?shù)拇鷶?shù)變形后，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題；(2)求數(shù)列的前n項和的幾種方法；(3)數(shù)列與函數(shù)、不等式、數(shù)論等知識結合的綜合問題.題型一般為解答題，且為壓軸題.真真 題題 感感 悟悟(2016江蘇卷)記U1，2，100.對數(shù)列an(nN*)和U的子集T，若T ，定義ST0；若Tt1，t2，tk，定義STat1at2atk.例如：T1，3，66時，STa1a3a66.現(xiàn)設an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當T2，4時，ST30.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意正整數(shù)k(1k100)，若T1，2，k，求證：STak1；(3)設CU，DU，SCSD，求證：SCSCD2SD.考考 點點 整整 合合1.數(shù)列求和常用方法(1)分組轉化求和：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和.(2)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的數(shù)列.把Sna1a2an兩邊同乘以相應等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯位相減即可求出Sn.2.數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下： (1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調性； (2)放縮法：先求和后放縮；先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后成等差比數(shù)列再求和，或者放縮后裂項相消法求和.探究提高(1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應函數(shù)的單調性求解.(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關，常利用放縮法或單調性法證明.(3)當已知數(shù)列關系式時，需要知道其范圍時，可借助數(shù)列的單調性，即比較相鄰兩項的大小即可.探究提高此類問題看似簡單，實際復雜，思維量和計算量較大，難度較高.【訓練2】 (2011江蘇卷)設M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項a11，前n項的和為Sn，已知對任意的整數(shù)kM，當整數(shù)nk時，SnkSnk2(SnSk)都成立. (1)設M1，a22，求a5的值； (2)設M3，4，求數(shù)列an的通項公式.解(1)由題設知，當n2時，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，從而an1an2a12.又a22，故當n2時，ana22(n2)2n2.所以a5的值為8.探究提高分析已知條件和求解目標，確定最終解決問題需要首先求解的中間問題，如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)證明數(shù)列為等差或等比數(shù)列需要先證任意兩項的差或比值為定值，證明充要條件需要證明充分性與必要性等，確定解題的邏輯次序.【訓練3】 (2014江蘇卷)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”； (2)設an是等差數(shù)列，其首項a11，公差d0.若an是“H數(shù)列”，求d的值； (3)證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立.(1)證明由已知，當n1時，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”.探究提高數(shù)列中的比較大小與其它比較大小的方法類似，也是差比法或商比法.另外探索充要條件要從充分性、必要性兩個方面判斷與尋找.(3)假設存在正整數(shù)m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數(shù)列，則(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)12.因為nm2，所以n4，m3，所以2nm2215.因為2nm22是整數(shù)，所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立，故不存在正整數(shù)m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數(shù)列.1.數(shù)列與不等式綜合問題(1)如果是證明不等式，常轉化為數(shù)列和的最值問題，同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的應用.2.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題(1)函數(shù)條件的轉化：直接利用函數(shù)與數(shù)列的對應關系，把函數(shù)解析式中的自變量x換為n即可.(2)數(shù)列向函數(shù)的轉化：可將數(shù)列中的問題轉化為函數(shù)問題，但要注意函數(shù)定義域.3.數(shù)列中的探索性問題處理探索性問題的一般方法是：假設題中的數(shù)學對象存在或結論成立或其中的一部分結論成立，然后在這個前提下進行邏輯推理.若由此導出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定結論，其中反證法在解題中起著重要的作用.還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解.