第2講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高考定位直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點(diǎn)，尤其是有關(guān)弦的問題以及存在性問題，計(jì)算量偏大，屬于難點(diǎn)，要加強(qiáng)這方面的專題訓(xùn)練.真真 題題 感感 悟悟(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點(diǎn)A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程.若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離.(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).若a0，當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相離.若a0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).當(dāng)a0時(shí)，用判定，方法同上.當(dāng)a0時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個(gè)交點(diǎn).2.有關(guān)弦長問題有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算.3.弦的中點(diǎn)問題有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算.熱點(diǎn)一直線與圓錐曲線(以橢圓、拋物線為主)的相交弦問題 微題型微題型1有關(guān)圓錐曲線的弦長問題有關(guān)圓錐曲線的弦長問題探究提高解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計(jì)算；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.微題型微題型2有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題【例12】 (2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p0).(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p，p)；求p的取值范圍.探究提高對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率.熱點(diǎn)二圓錐曲線中的存在性問題微題型微題型1圓錐曲線中直線的存在性問題圓錐曲線中直線的存在性問題(1)求P的軌跡C的方程；(2)是否存在過點(diǎn)N(1，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.探究提高(1)直線方程設(shè)為ykxb(斜截式)時(shí)，要注意考慮斜率是否存在；直線方程設(shè)為xmya(可稱為x軸上的斜截式)，這種設(shè)法不需考慮斜率是否存在.(2)若圖形關(guān)系可轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，則寫出其向量關(guān)系，再將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，關(guān)鍵是得出坐標(biāo)關(guān)系.微題型微題型2圓錐曲線中參數(shù)的存在性問題圓錐曲線中參數(shù)的存在性問題探究提高(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)以M(0，1)為直角頂點(diǎn)作橢圓C的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個(gè)，并求出直角邊所在的直線方程；若不存在，請說明理由.1.直線與拋物線位置關(guān)系的提醒(1)若點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線只有一條，此直線與拋物線的對稱軸平行；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行；(3)若點(diǎn)P在拋物線外，則過點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，兩條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行.2.弦長公式對于直線與橢圓的相交、直線與雙曲線的相交、直線與拋物線的相交都是通用的，此公式可以記憶，也可以在解題的過程中，利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo).3.求中點(diǎn)弦的直線方程的常用方法4.存在性問題求解的思路及策略(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在.(2)策略：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.