第第2講講分類討論思想、轉化與化歸思分類討論思想、轉化與化歸思想想高考定位分類討論思想，轉化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般體現(xiàn)在解析幾何、函數(shù)與導數(shù)及數(shù)列解答題中，難度較大.1.中學數(shù)學中可能引起分類討論的因素(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項和公式等.(3)由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調性、基本不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等.2.常見的轉化與化歸的方法轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.常見的轉化方法有：(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.(2)換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題.(3)數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑.(4)等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的.(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題、結論適合原問題.(6)構造法：“構造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑.(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定.(9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉化為熟悉的形式進行解決.(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.探究提高由性質、定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致的情況下使用，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等.微題型2由數(shù)學運算要求引起的分類【例12】 (1)(2016蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研改編)不等式|x|2x3|2的解集是_. (2)已知mR，求函數(shù)f(x)(43m)x22xm在區(qū)間0，1上的最大值為_.探究提高由數(shù)學運算要求引起的分類整合法，常見的類型有除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)問題，含有絕對值的不等式求解，三角函數(shù)的定義域等，根據(jù)相應問題中的條件對相應的參數(shù)、關系式等加以分類分析，進而分類求解與綜合.微題型3由參數(shù)變化引起的分類【例13】 (2015全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x). (1)討論f(x)的單調性； (2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍.探究提高由參數(shù)的變化引起的分類整合法經(jīng)常用于某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法.熱點二轉化與化歸思想微題型1換元法【例21】 已知實數(shù)a，b，c滿足abc0，a2b2c21，則a的最大值是_.探究提高換元法是一種變量代換，也是一種特殊的轉化與化歸方法，是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，是將生疏(或復雜)的式子(或數(shù))，用熟悉(或簡單)的式子(或字母)進行替換；化生疏為熟悉、復雜為簡單、抽象為具體，使運算或推理可以順利進行.答案2 016探究提高一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果.微題型3常量與變量的轉化【例23】 對任意的|m|2，函數(shù)f(x)mx22x1m恒為負，則x的取值范圍為_.探究提高在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而達到減少變元簡化運算的目的.探究提高否定性命題，常要利用正反的相互轉化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中.1.分類討論思想的本質是“化整為零，積零為整”.用分類討論的思維策略解數(shù)學問題的操作過程：明確討論的對象和動機確定分類的標準逐類進行討論歸納綜合結論檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分類不重復、不遺漏”的分析討論.常見的分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集 討論.(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應分a1和0a1的討論；函數(shù)yax2bxc有時候分a0和a0的討論；對稱軸位置的討論；判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論；(7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論.(8)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉化與化歸思想遵循的原則：(1)熟悉已知化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將未知的問題轉化為已知的問題，以便于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決.(2)簡單化原則：將復雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3)和諧統(tǒng)一原則：轉化問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律.(4)正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，應想到問題的反面，設法從問題的反面去探討，使問題獲得解決.