第四節(jié) 指數(shù)、指數(shù)函數(shù)1.1.根式根式(1)(1)根式的概念根式的概念根式根式 符號符號表示表示 備注備注 如果一個(gè)實(shí)數(shù)如果一個(gè)實(shí)數(shù)x x滿足滿足_，那么，那么稱稱x x為為a a的的n n次實(shí)數(shù)方根次實(shí)數(shù)方根 n1n1且且nNnN* * 當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n n次實(shí)數(shù)方次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)根是一個(gè)_數(shù)，負(fù)數(shù)的數(shù)，負(fù)數(shù)的n n次實(shí)數(shù)次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)方根是一個(gè)_數(shù)數(shù). . 零的零的n n次實(shí)數(shù)方根是次實(shí)數(shù)方根是_ _ 當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n n次實(shí)數(shù)方次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為根有兩個(gè)，它們互為_. _. (a0) (a0) _沒有偶次實(shí)數(shù)沒有偶次實(shí)數(shù)方根方根 x xn n=a=a正正負(fù)負(fù)na零零相反數(shù)相反數(shù)na負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)(2)(2)兩個(gè)重要公式兩個(gè)重要公式 (n(n為奇數(shù)且為奇數(shù)且nNnN* *),), (n (n為偶數(shù)且為偶數(shù)且nNnN* *).). =_(a =_(a必須使必須使 有意義有意義) )nn_aaa annaa ana2.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)(1)意義意義 = _ (a0,m,n = _ (a0,m,n均為正整數(shù)均為正整數(shù)) )； =_= _(a0,m,n =_= _(a0,m,n均為正整數(shù)均為正整數(shù)).).mnamnamnamn1amn1a(2)(2)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)a ar raas s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(a(ar r) )s s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(ab)(ab)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ).上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪也適用上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪也適用. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r3.3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)名名 稱稱 y=ay=ax x(a(a1) 1) y=ay=ax x(0a1) (0a0 x0時(shí)，時(shí)，_;_;當(dāng)當(dāng)x0 x0 x0時(shí)，時(shí)，_;_;當(dāng)當(dāng)x0 x1y10y10y10y10y1y1增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)R R判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請?jiān)诶ㄌ栔写蛘堅(jiān)诶ㄌ栔写颉啊被蚧颉啊?.”).(1) =-4.( )(1) =-4.( )(2) ( )(2) ( )(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=ay=a-x-x是是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù).( ).( )(4)(4)函數(shù)函數(shù)y= (ay= (a1)1)的值域是的值域是(0(0，+).( )+).( )4442142111. 2x1a【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. . 沒有意義沒有意義. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .底數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)不能約分底數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)不能約分. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)a a1 1時(shí)函數(shù)是時(shí)函數(shù)是R R上的減函數(shù)，當(dāng)上的減函數(shù)，當(dāng)0 0a a1 1時(shí)函數(shù)是時(shí)函數(shù)是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù). .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .因?yàn)橐驗(yàn)閤 x2 2+11+11，所以，所以yaya，即值域?yàn)?，即值域?yàn)閍 a，+).+).答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)441.1.化簡化簡 -(-1)-(-1)0 0的結(jié)果為的結(jié)果為_._.【解析【解析】 -1=8-1=7.-1=8-1=7.答案：答案：7 716221160622212 2.2.化簡化簡 (x(x0 0，y y0)0)得得_._.【解析【解析】 =2x=2x2 2|y|=-2x|y|=-2x2 2y.y.答案：答案：-2x-2x2 2y y84416x y4844244416x y2xy3.3.當(dāng)當(dāng)a a0 0且且a1a1時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(xf(x)=a)=ax-2x-2-3-3的圖象必過定點(diǎn)的圖象必過定點(diǎn)_._.【解析解析】由由a a0 0=1=1知，當(dāng)知，當(dāng)x-2=0 x-2=0，即，即x=2x=2時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(xf(x) )的圖象恒過的圖象恒過定點(diǎn)定點(diǎn). .此時(shí)，此時(shí)，f(2)=-2f(2)=-2，即圖象必過定點(diǎn)，即圖象必過定點(diǎn)(2(2，-2).-2).答案：答案：(2(2，-2)-2)4.4.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=(2-a)y=(2-a)x x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由題意知，由題意知，0 02-a2-a1 1，即，即1 1a a2.2.答案：答案：(1(1，2)2)5.5.函數(shù)函數(shù)y= y= 的值域是的值域是_._.【解析【解析】1-xR,y1-xR,y0.0.答案：答案：(0(0，+)+)1 x1( )2考向考向 1 1 指數(shù)冪的化簡與求值指數(shù)冪的化簡與求值 【典例【典例1 1】化簡：化簡：(1) (1) (2) (2) 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為正分將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，底數(shù)為小數(shù)的化成分?jǐn)?shù)，然后運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)數(shù)指數(shù)冪，底數(shù)為小數(shù)的化成分?jǐn)?shù)，然后運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算行計(jì)算. .3223111143342a baba0b0 .(a b ) ab ， 1111010.253324730.00813 ( ) 81(3 )10 0.027 .88【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式1213233211233a b a bab ab（）3 111111212 6333abab . 1114114233()3 13( ) 10211313233112310110 () ()()1030.10103331033【拓展提升【拓展提升】指數(shù)冪的一般運(yùn)算原則指數(shù)冪的一般運(yùn)算原則有括號的先算括號里的有括號的先算括號里的, ,無括號的先做指數(shù)運(yùn)算無括號的先做指數(shù)運(yùn)算, ,先乘除后加減先乘除后加減, ,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù), ,底數(shù)是負(fù)數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù), ,先確定符號先確定符號, ,底數(shù)底數(shù)是小數(shù)是小數(shù), ,先化成分?jǐn)?shù)先化成分?jǐn)?shù), ,底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的, ,先化成假分?jǐn)?shù)先化成假分?jǐn)?shù), ,若是根式若是根式, ,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示, ,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答算性質(zhì)來解答. .【提醒【提醒】運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)分母又含有負(fù)指數(shù). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(1)(1)計(jì)算：計(jì)算： (2)(2)計(jì)算：計(jì)算：(3)(3)已知已知【解析【解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)原式原式= =933713332aaaa.331122221122mmmm4.mm，求1713931333222a aaa（）（）113232aaaa1.1123227257110009 （） （）（）10549145.33 112032170.027221 .79 （） （） （）（）(3) =4,m+m(3) =4,m+m-1-1+2=16,+2=16,m+mm+m-1-1=14,=14,=m+m=m+m-1-1+1=14+1=15.+1=14+1=15.1122mm33111222211112222mmmmmm1mmmm()()考向考向 2 2 指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例【典例2 2】已知函數(shù)已知函數(shù)y=y=(1)(1)作出圖象作出圖象. .(2)(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間由圖象指出其單調(diào)區(qū)間. .(3)(3)由圖象指出當(dāng)由圖象指出當(dāng)x x取什么值時(shí)函數(shù)有最值取什么值時(shí)函數(shù)有最值. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，由圖象可求單調(diào)區(qū)間及最值由圖象可求單調(diào)區(qū)間及最值. .x 11( ).3【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由已知可得由已知可得, ,其圖象由兩部分組成：其圖象由兩部分組成：一部分是：一部分是：y=( )y=( )x x(x0)(x0)圖象如圖所示：圖象如圖所示：x 1x 1x 11,x11y333,x1. （ ），（ ）13x 11xx 111y( )x13y3 (x0)y3x1 . 向左平移個(gè)單位向左平移個(gè)單位；另一部分是：(2)(2)函數(shù)在函數(shù)在(-(-，-1-1上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在-1-1，+)+)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .(3)(3)當(dāng)當(dāng)x=-1x=-1時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y= y= 取最大值取最大值1 1，無最小值，無最小值. .x 11( )3【拓展提升【拓展提升】1.1.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)對指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)對指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)( (單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等) )的求的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象, ,通過平移、對稱變換得到其通過平移、對稱變換得到其圖象圖象, ,然后數(shù)形結(jié)合使問題得解然后數(shù)形結(jié)合使問題得解. .2.2.利用圖象解指數(shù)型方程、不等式利用圖象解指數(shù)型方程、不等式一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解, ,往往利用相應(yīng)指數(shù)型函往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】k k為何值時(shí)為何值時(shí), ,方程方程|3|3x x-1|=k-1|=k無解？有一解？有兩解？無解？有一解？有兩解？【解析【解析】函數(shù)函數(shù)y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象是由函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=3y=3x x的圖象向下平移一的圖象向下平移一個(gè)單位后個(gè)單位后, ,再把位于再把位于x x軸下方的圖象沿軸下方的圖象沿x x軸翻折到軸翻折到x x軸上方得到的軸上方得到的, ,函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示. .當(dāng)當(dāng)k k0 0時(shí)時(shí), ,直線直線y=ky=k與函數(shù)與函數(shù)y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象無交點(diǎn)的圖象無交點(diǎn), ,即方程無解；即方程無解；當(dāng)當(dāng)k=0k=0或或k1k1時(shí)時(shí), ,直線直線y=ky=k與函數(shù)與函數(shù)y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象有惟一的交點(diǎn)的圖象有惟一的交點(diǎn), ,所以方程有一解；所以方程有一解；當(dāng)當(dāng)0 0k k1 1時(shí)時(shí), ,直線直線y=ky=k與函數(shù)與函數(shù)y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象有兩個(gè)不同的交的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn), ,所以方程有兩解所以方程有兩解. .考向考向 3 3 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【典例【典例3 3】(1)(1)函數(shù)函數(shù)y= y= 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)開，值域?yàn)椋涤驗(yàn)開._.(2)(2)已知已知f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1).a1).討論討論f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .求求a a的取值范圍，使的取值范圍，使f(xf(x) )0 0在定義域上恒成立在定義域上恒成立. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)解答本題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二解答本題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解次函數(shù)的性質(zhì)求解. .(2)(2)先求函數(shù)的定義域，再判斷奇偶性，對于恒成立問題，可先求函數(shù)的定義域，再判斷奇偶性，對于恒成立問題，可借助函數(shù)的奇偶性，只討論借助函數(shù)的奇偶性，只討論x x0 0的情況的情況. .23 2x x1( )23x11xa12（）【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)函數(shù)函數(shù)y= y= 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R，令令t=3+2x-xt=3+2x-x2 2, ,則則t=-(x-1)t=-(x-1)2 2+4,+4,由由xRxR得得t(-,4t(-,4, ,因?yàn)橐驗(yàn)閥= y= 在在(-,4(-,4上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，所以所以y= y= ,+).,+).答案：答案：R R ,+),+)23 2x x1( )2t1( )2t1( )2116116(2)(2)由于由于a ax x-10,-10,則則a ax x1,1,得得x0,x0,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤|x0,xR.x|x0,xR.對于定義域內(nèi)任意對于定義域內(nèi)任意x x，有，有f(xf(x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù). .x33xx3x3x11a1fx()xxa121 a2111xa1211xfx .a12 （） ()（）（）()（）（ ）由由知知f(xf(x) )為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，只需討論只需討論x x0 0時(shí)的情況時(shí)的情況. .當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，要使時(shí)，要使f(xf(x) )0 0，即即即即a ax x-1-10 0，a ax x1 1，a ax xa a0 0. .又又xx0 0，aa1.1.因此因此a a1 1時(shí)，時(shí)，f(xf(x) )0 0在定義域上恒成立在定義域上恒成立. .3x11x0a12（） ，xxx11a100a122 a1即 ，即 ，【互動探究【互動探究】本例題本例題(1)(1)中求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間中求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .【解析【解析】令令u=3+2x-xu=3+2x-x2 2，y=y=又當(dāng)又當(dāng)x(-,1)x(-,1)時(shí)時(shí),u,u為增函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)，當(dāng)xx1,+)1,+)時(shí)，時(shí)，u u為減函為減函數(shù)，數(shù)，又又0 10 1，故，故y= y= 在在(-,1)(-,1)上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在1,+)1,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù). .u1( ) ,21223 2x x1( )2【拓展提升【拓展提升】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解的問題及方法利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解的問題及方法(1)(1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小. .(2)(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域( (最值最值) )、單、單調(diào)性、奇偶性的求解方法調(diào)性、奇偶性的求解方法, ,與前面所講一般函數(shù)的求解方法一與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致致, ,只需根據(jù)條件靈活選擇即可只需根據(jù)條件靈活選擇即可. .【變式備選【變式備選】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(xf(x)= )= 的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為_，值域?yàn)橹涤驗(yàn)開._.【解析【解析】令令g(xg(x)=-x)=-x2 2-4x+3=-(x+2)-4x+3=-(x+2)2 2+7,+7,由于由于g(xg(x) )在在(-,-2)(-,-2)上上單調(diào)遞增單調(diào)遞增, ,在在(-2,+)(-2,+)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,而而y= y= 在在R R上為單調(diào)遞減上為單調(diào)遞減, ,所以所以f(xf(x) )在在(-,-2)(-,-2)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .又又g(xg(x)=-(x+2)=-(x+2)2 2+77, +77, f(x)f(x)答案：答案：(-,-2) 3(-,-2) 3-7-7,+),+)2x4x 31( )3t1( )3771( )3 .3(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1)a1)，求求f(xf(x) )的定義域的定義域. .討論討論f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .討論討論f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .【解析【解析】f(xf(x) )的定義域是的定義域是R.R.f(-x)= =-f(x)f(-x)= =-f(x)，f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù). .xxa1a1xxxxa11 aa11af(xf(x)=)=設(shè)設(shè)x x1 1,x,x2 2是是R R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù), ,且且x x1 1x x2 2, ,則則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=xx1 1x x2 2,當(dāng)當(dāng)a a1 1時(shí)時(shí), , 0,0,從而從而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f(x)為為R R上的增函數(shù)上的增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)0 0a a1 1時(shí)時(shí), , 0,0,從而從而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f(x)為為R R上的減函數(shù)上的減函數(shù). .xxxa1221,a1a1 （）122112xxxxxx2 aa22.a1a1a1 a121xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,12xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】忽略對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的討論致誤忽略對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的討論致誤【典例【典例】(2012(2012山東高考山東高考) )若函數(shù)若函數(shù)f(x)=af(x)=ax x(a(a0 0，a1)a1)在在-1-1，2 2上的最大值為上的最大值為4 4，最小值為，最小值為m m，且函數(shù)，且函數(shù)g(xg(x)= )= 在在0 0，+)+)上是增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則a=_.a=_.【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面: :(1)(1)誤以為誤以為a a1,1,未進(jìn)行分類討論從而求得錯(cuò)誤答案未進(jìn)行分類討論從而求得錯(cuò)誤答案. .(2)(2)對條件對條件“g(xg(x) )在在0 0，+)+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)”不會使用，求得不會使用，求得結(jié)果后未進(jìn)行檢驗(yàn)得到兩個(gè)答案結(jié)果后未進(jìn)行檢驗(yàn)得到兩個(gè)答案. .14mx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】若若a a1 1，有，有a a2 2=4=4，a a-1-1=m=m，此時(shí)，此時(shí)a=2a=2，m= m= ，此時(shí)，此時(shí)g(xg(x)= )= 為減函數(shù)，不合題意為減函數(shù)，不合題意. .若若0 0a a1 1，有，有a a-1-1=4=4，a a2 2=m=m，故故a= a= ，m= m= ，檢驗(yàn)知符合題意，檢驗(yàn)知符合題意. .答案：答案： 12x1411614【思考點(diǎn)評【思考點(diǎn)評】1.1.指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)應(yīng)分類討論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)應(yīng)分類討論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最值，故應(yīng)分值，故應(yīng)分a a1 1和和0 0a a1 1兩種情況討論兩種情況討論. .2.2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定其最值根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定其最值根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法之一，熟練根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法之一，熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是求解的基礎(chǔ)掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是求解的基礎(chǔ). . 1.(20131.(2013徐州模擬徐州模擬) )設(shè)設(shè)xR,f(xxR,f(x)= )= 若不等式若不等式f(x)+f(2x)f(x)+f(2x)kk對于任意實(shí)數(shù)對于任意實(shí)數(shù)xRxR恒成立，則實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】f(x)+f(2x)kf(x)+f(2x)k，即，即 ，令，令t= t= 則則0t10t1，原不等式化為原不等式化為t+tt+t2 2kk，令，令y=t+ty=t+t2 2= =02.02.答案：答案：k2k2x1( )2，x2x11( )( )k22x1( )2，211(t),242.(20132.(2013濟(jì)南模擬濟(jì)南模擬) )設(shè)設(shè)y y1 1=4=40.90.9,y,y2 2=8=80.480.48,y,y3 3=( )=( )-1.5-1.5, ,則則y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_._.【解析【解析】y y1 1=2=21.81.8,y,y2 2=2=21.441.44,y,y3 3=2=21.51.5，1.81.81.51.51.441.44，2 21.81.82 21.51.52 21.441.44,y,y1 1y y3 3y y2 2. .答案：答案：y y1 1y y3 3y y2 2123.(20133.(2013揚(yáng)州模擬揚(yáng)州模擬) )設(shè)設(shè)a1a1，若對任意的，若對任意的xxa,2aa,2a，都有，都有yya,aa,a2 2，滿足，滿足logloga ax+logx+loga ay y=3=3，則，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由由logloga ax+logx+loga ay y=3=3，得，得xyxy=a=a3 3,y=,y=函數(shù)函數(shù)y= y= 在在a,2aa,2a上為減函數(shù)上為減函數(shù). . =a =a2 2, a,a2., a,a2.答案：答案：2 2，+)+)3a,x3ax3aa3a2a4.(20124.(2012上海高考上海高考) )方程方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0的解是的解是_._.【解析解析】方法一：原方程方法一：原方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0可化為可化為(2(2x x) )2 2-2-22 2x x-3=0-3=0，即即(2(2x x-3)(2-3)(2x x+1)=0+1)=0，由于，由于2 2x x0 0，xRxR，2 2x x-3=0-3=0，即，即x=logx=log2 23.3.方法二：令方法二：令t=2t=2x x，則，則t t0 0，原方程可化為，原方程可化為t t2 2-2t-3=0-2t-3=0，解得解得t=3t=3或或t=-1(t=-1(舍去舍去) )，即，即2 2x x=3=3，x=logx=log2 23.3.答案：答案：x=logx=log2 23 31.1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)，當(dāng)上的奇函數(shù)，當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f(xf(x)=)=1-21-2-x-x，則不等式，則不等式f(xf(x) ) 的解集是的解集是_._.【解析【解析】當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f(xf(x)=1-2)=1-2-x-x0 0，又又f(xf(x) )是是R R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，所以所以f(xf(x) ) 的解集和的解集和f(xf(x) ) (x(x0)0)的解集關(guān)于原點(diǎn)對的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，由稱，由1-21-2-x-x 得得2 2-x-x =2=2-1-1，即，即x x1 1，則，則f(xf(x) ) 的解集的解集是是(-(-，-1).-1).答案：答案：(-(-，-1)-1)1212121212122.2.若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程a a2x2x+(1+ )a+(1+ )ax x+1=0(a+1=0(a0 0且且a1)a1)有解，則有解，則m m的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由由a ax x0 0知知 解得解得 mm0.0.答案：答案： ，0)0)1m22m102mm140m ，1313