分類號：O34U D C ：080102密級：學(xué)號：356006511003南 昌 大 學(xué) 博 士 研 究 生學(xué) 位 論 文非橢圓夾雜 Eshelby問題的擴(kuò)展研究- 光滑夾雜的外場問題和多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題Extended Studies on Eshelby's Problems of Non-elliptical Inclusions -Exterior Fields of Smooth Inclusions and Polynomial Eigenstrain Problems of PolygonalInclusions李永剛培養(yǎng)單位（院、系）： 建筑工程學(xué)院指導(dǎo)教師姓名、職稱： 鄒文楠 教授申請學(xué)位的學(xué)科門類： 工學(xué)學(xué)科專業(yè)名稱：論文答辯日期：固體力學(xué)2016 年 12 月 18 日答辯委員會主席：評閱人：2016 年 12 月 22 日 一、學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得南昌大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名（手寫）：簽字日期：年月日二、學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解南昌大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)南昌大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編本學(xué)位論文。同時授權(quán)北京股份有限公司和中國學(xué)術(shù)期刊（光盤版）電子雜志社將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫和中國優(yōu)秀博碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫中全文發(fā)表，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù)，同意按“章程”規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益。學(xué)位論文作者簽名（手寫）：導(dǎo)師簽名（手寫）：簽字日期：年月日簽字日期：年月日論文題目 非橢圓夾雜 Eshelby 問題的擴(kuò)展研究姓名 李永剛學(xué)號 356006511003論文級別 博士R 碩士£院/系/所 建筑工程學(xué)院專業(yè)固體力學(xué)E_maillyg1056備注：公開 保密（向校學(xué)位辦申請獲批準(zhǔn)為“保密”，年月后公開） 摘要摘 要Eshelby 問題的研究歷史已經(jīng)超過半個世紀(jì)，建立在橢球夾雜 Eshelby 張量均勻性基礎(chǔ)上的等效夾雜法已經(jīng)成為復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的基石，由此發(fā)展出多種用于估計非均勻材料有效性質(zhì)的方法，如自恰法、Mori-Tanaka 方法、IDD 法等。然而對于“均勻性僅限于橢球形狀”的 Eshelby 猜想的證實或證偽一直懸而未決，直到 2008 年才有了徹底的證明。在對 Eshelby 猜想反復(fù)辨析的過程中，非橢球（圓）夾雜問題的研究吸引了眾多研究者的興趣。另一方面，真實的夾雜往往是非橢球（圓）的，這一物理背景也進(jìn)一步推動了非橢球（圓）夾雜問題的研究。三維非橢球夾雜問題的解析研究除了多面體外，由于三維形狀幾何表述的復(fù)雜性，鮮有涉及其他的形狀；而對于二維問題，多邊形夾雜和洛朗多項式型光滑曲線夾雜作為兩類典型的非橢圓夾雜，相應(yīng)的研究雖然都有工作開展，但仍存在一些問題沒有解決，如洛朗多項式型光滑夾雜 Eshelby 張量場的內(nèi)外完整性問題，考慮多項式本征應(yīng)變時解析解的一般性問題等。本論文從兩個方面對非橢圓夾雜問題進(jìn)行擴(kuò)展研究，一是洛朗多項式型光滑夾雜的外場解問題，二是多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題，具體的工作和得到的結(jié)論如下：（1）從 Eshelby 張量的邊界積分公式出發(fā)，發(fā)展了一種導(dǎo)出洛朗多項式型光滑夾雜外場解的通用方法，給出了任意旋輪線形和準(zhǔn)平行四邊形夾雜外場的顯式解，通過數(shù)值計算并與橢圓等標(biāo)準(zhǔn)模型的對比研究，得到了夾雜形狀對外場的影響范圍。（2）通過本征位移構(gòu)造了本征應(yīng)變的任意階次多項式形式，基于各向同性材料的平面彈性復(fù)變函數(shù)方法將任意形狀夾雜發(fā)生多項式本征應(yīng)變時的彈性場問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的邊界積分問題。對于任意多邊形夾雜，導(dǎo)出了基本函數(shù)所包含邊界積分的顯式結(jié)果，從而得到了彈性場的解析解。通過數(shù)值計算得到了三角形、正方形和多邊形逼近的橢圓夾雜在均勻、線性和二次形式的本征應(yīng)變作用下的應(yīng)力場和位移場，分析了夾雜的幾何形狀和本征應(yīng)變多項式次數(shù)對彈性場的影響。（3）對于各向異性磁電彈材料的多項式本征應(yīng)變問題，通過廣義本征位移 摘要實現(xiàn)任意階次多項式廣義本征應(yīng)變的構(gòu)造，基于廣義的 Stroh 理論將擾動物理場的求解問題歸結(jié)為兩組基本函數(shù)的邊界積分問題。對于任意多邊形夾雜，導(dǎo)出了基本函數(shù)所包含邊界積分的顯式結(jié)果，從而得到了擾動物理場的解析解。通過數(shù)值計算證實了“Eshelby 多項式守恒定理”對于各向異性磁電彈材料橢圓夾雜的適用性，分析了多邊形頂點處的場量集中和奇性特征，并利用基本函數(shù)的解析公式進(jìn)行了闡釋。關(guān)鍵詞：Eshelby 問題；非橢圓夾雜；洛朗多項式型光滑夾雜；外場解；多項式本征應(yīng)變；多邊形夾雜 AbstractABSTRACTStudies on the Eshelbys inclusion problem have continued for over half acentury. During this time, the equivalent inclusion method (EIM) based on uniformityof the interior Eshelby tensor of an ellipsoidal inclusion has proved to be thecornerstone of composite micromechanics, and delivered many standard schemes toestimate the efficient properties of heterogeneous materials, such as theself-consistent method, the Mori-Tanaka method, the IDD method, etc. However,until recently, a fundamental problem has been up in the air, that is to verify or falsifythe Eshelbys conjecture, which claims that an ellipsoidal inclusion is the only one topossess uniform interior fields. In dedications about this issue, inclusions withnon-ellipsoidal/elliptical shapes attract many researchers interests. On the other hand,real inclusions in application are usually non-ellipsoidal/elliptical, which is anotherpromotion of studying non-ellipsoidal/elliptical inclusion problems.In three-dimensional (3D) problems, except polyhedrons, analytical solutions ofnon-ellipsoidal inclusions are rarely reported for the complexity of descriptinginclusions shapes. In two-dimensional (2D) cases, two kinds of typical non-ellipticalinclusions, polygonal ones and those characterized by Laurent polynomials, aretouched widely. However, some associated topics are still open, such as the integrityof the Eshelby tensor fields of smooth inclusions characterized by Laurentpolynomials, the general analytical solutions of non-uniform eigenstrain problems inthe aforementioned two kinds of 2D inclusions.In this thesis, we dedicated to do some extended research about the non-ellipticalinclusion problem from two aspects: (1) the exterior elastic fields of smoothinclusions of Laurent polynomial type; (2) the polynomial eigenstrain problems ofpolygonal inclusions. The contributions of this dissertation mainly include thefollowing three parts:(1) Starting from the boundary integral formulation of the Eshelby tensor, wedeveloped a general method to explicitly derive the exterior elastic fields of smoothinclusions of Laurent polynomial type, and achieved the close-form solutions of the Abstract(N+1)-gonal hypocycloidal and the quasi-parallelogram shaped inclusions. Bycomparison with those of some classical and benchmarking models, the circle, theellipse, etc., the influence ranges of the exterior fields from different inclusionsgeometries are analyzed quantitatively.(2) Based on the complex variable method of isotropic elasticity, by constructingthe prescribed eigenstrains in polynomial form of arbitrary order through theassociated eigendisplacements, the elastic fields of arbitrary inclusions induced bypolynomial eigenstrains are attributed to calculate the boundary integrals involved ina set of basic functions. For arbitrary polygonal inclusions, the involved boundaryintegrals are explicitly carried out, and the stress and displacement fields of somespecific shaped inclusions, the triangle, the square, and the ellipse approximated byN-sided polygons, are numerically achieved. The effects of the shapes of inclusionsand the forms of eigenstrains are analyzed by figures.(3)Forthepolynomialeigenstrainprobleminanisotropicmagneto-electro-elastic (MEE) materials, the prescribed extended eigenstains are alsoconstructed through the associated extended eigendisplacements. From the extendedStroh formulism, some tedious derivations finally lead that the induced physicalfields depend on two sets of basic functions, which contain boundary integrals overthe transformed inclusion domain. For arbitrary polygonal inclusions, the involvedboundary integrals are worked out explicitly. Numerical calculations conforms thatthe Eshelbys polynomial conservation theorem is valid for anisotropic MEEmaterials. Field concentrations and singularities at vertexes of polygons are analyzedthoroughly, and demonstrated by the explicit forms of basic functions.Keywords: Eshelby problems; non-elliptical inclusions; smooth inclusions ofLaurent polynomial type; exterior elastic fields; polynomial eigenstrains; arbitrarypolygonal inclusions. 目錄目 錄摘 要 ··························································································IVABSTRACT ···················································································VI目 錄 ························································································VIII第 1 章 緒論···················································································· 11.1 Eshelby 問題概述 ·································································· 11.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀···································································· 21.2.1 非橢圓夾雜的外場解······················································ 41.2.2 非均勻本征應(yīng)變問題······················································ 51.3 本文研究的目的和意義··························································· 81.4 本文的主要內(nèi)容···································································· 8第 2 章 洛朗多項式型光滑夾雜的外彈性場············································102.1 Eshelby 張量場的邊界積分表示 ················································102.2 洛朗多項式型光滑夾雜的外場解··············································122.3 顯式的結(jié)果與算例································································142.3.1 旋輪線形夾雜······························································142.3.2 準(zhǔn)平行四邊形夾雜························································182.3.3 外場解的影響范圍分析··················································192.3.4 G 和G 在夾雜邊界上跳躍性分析 ·····································24242.4 本章小結(jié)············································································25第 3 章 多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題： 各向同性材料 ·····················263.1 平面彈性問題的復(fù)變函數(shù)表示理論 ···········································263.2 多項式本征應(yīng)變問題的一般解·················································273.3 多邊形夾雜的顯式解·····························································303.4 數(shù)值結(jié)果與討論···································································323.4.1 三角形夾雜·································································323.4.2 正方形夾雜·································································35VIII 目錄3.4.3 多邊形逼近的橢圓夾雜··················································383.5 本章小結(jié)············································································42第 4 章 多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題： 各向異性磁電彈材料 ············434.1 預(yù)備知識············································································444.1.1 各向異性磁電彈問題的控制方程······································444.1.2 二維問題的廣義 Stroh 表示·············································464.1.3 廣義應(yīng)力和廣義應(yīng)變的對稱表示······································474.2 多項式本征應(yīng)變問題的一般解·················································484.3 與格林函數(shù)解之間的關(guān)系·······················································534.4 任意多邊形夾雜的顯式解·······················································554.5 算例與討論·········································································584.5.1 與現(xiàn)有結(jié)果的比較························································594.5.2 三角形夾雜·································································604.5.3 正方形夾雜·································································634.5.4 多邊形逼近的圓形夾雜··················································664.5.5 正多邊形夾雜發(fā)生二次本征應(yīng)變時的部分場值····················704.5.6 多邊形夾雜頂點處的奇性分析·········································734.6 本章小結(jié)············································································75第 5 章 結(jié)論與展望··········································································76致 謝 ··························································································77參考文獻(xiàn) ·······················································································78附錄 A ··························································································87A.1 從 K-M 雙勢函數(shù)導(dǎo)出 Eshelby 張量··········································87A.2 Eshenlby 張量在夾雜域內(nèi)的顯式解 ···········································88攻讀學(xué)位期間的研究成果 ··································································91IX 第 1 章 緒論第1章 緒論1.1 Eshelby 問題概述Eshelby1, 2于 1957、1959 年在英國皇家學(xué)會會刊上分別發(fā)表了兩篇論文討論各向同性無限域中橢球核的彈性場問題，其中第一篇利用格林函數(shù)方法得到了用橢圓積分表達(dá)的擾動彈性場，并得到了一個重要的結(jié)論，即均勻本征應(yīng)變引起的橢球內(nèi)部彈性場也是均勻的，同時發(fā)現(xiàn)如果橢球域內(nèi)和域外的材料性質(zhì)不同，這時在均勻的遠(yuǎn)場加載下橢球內(nèi)的擾動彈性場同樣為常值，可以通過“等效夾雜”的方法來實現(xiàn)求解。Eshelby 的第二篇論文更加詳細(xì)地研究了橢球核的外部彈性場，構(gòu)造了完全用橢球簡諧勢表達(dá)的外彈性場封閉解。兩年后，Eshelby3再次發(fā)文并斷言 ，在均勻本征應(yīng)變的作用下，只有橢球才具有內(nèi)部彈性場的均勻性，該結(jié)論被后人稱為 Eshelby 猜想，同時分析指出，如果與應(yīng)力無關(guān)的相變x 、x 、x3N的 次多項式形式給出，則由此引起的橢球內(nèi)位移（本征位移）以坐標(biāo)12N部的擾動位移場也為 次多項式形式，這一結(jié)論被后人稱為 Eshelby 多項式守恒定理。Eshelby 關(guān)于橢球核的一系列工作奠定了復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的基礎(chǔ)，后來由此發(fā)展了多種細(xì)觀力學(xué)方法（自恰法、廣義自恰法、Mori-Tanaka 方法、IDD法等）用于估計復(fù)合材料、多晶材料等各種非均勻材料的有效性質(zhì)4, 5，給橢球夾雜的解帶來了廣泛的應(yīng)用，比如復(fù)合材料有效性質(zhì)的估計、壓電/壓磁器件的性能設(shè)計、應(yīng)變誘導(dǎo)的量子點/線的生長等6-9。Eshelby 的工作無疑是開創(chuàng)性的，但在物理概念的使用上略顯局限，稱夾雜內(nèi)部發(fā)生的這種與應(yīng)力無關(guān)的應(yīng)變?yōu)橄嘧儜?yīng)變（stress-free transformation strain）。10“本征應(yīng)變”的概念是后來 Mura 提出的，用來泛指在彈性體內(nèi)的一個局部區(qū)域由于某種原因在無約束情況下產(chǎn)生的一類永久的非彈性變形，比如熱膨脹應(yīng)變（thermal dilatation strains）、濕熱膨脹應(yīng)變（hydrothermal dilatation strains）、晶格參數(shù)錯配引起的應(yīng)變（misfit strains）、相變應(yīng)變（phase transformation strains）、塑性應(yīng)變（plastic strains）、磁-力或電-力耦合引起的應(yīng)變（magneto-elastic orelectro-elastic strains）。Mura 同時發(fā)展了一套方法來處理與橢球核有關(guān)的問題。1按照 Eshelby 的描述 ，在無限大空間中有一橢球子域，先假設(shè)橢球子域從周圍基體中切割出來，然后子域內(nèi)部發(fā)生均勻本征應(yīng)變從而產(chǎn)生變形，接著在子域邊界上施加面力使其回到原來的形狀，再將其放回到原來的基體中去，同1 第 1 章 緒論時將施加的面力去掉，這時由于基體材料的存在，在橢球子域內(nèi)部必將產(chǎn)生一部分附加變形，即擾動應(yīng)變，在基體中也將產(chǎn)生相應(yīng)的變形，最終達(dá)到彈性平衡狀態(tài)。如果子域與基體的材料相同，子域內(nèi)發(fā)生本征應(yīng)變，這時稱為夾雜問題（inclusion problem），也就是通常所講的 Eshelby 問題，或第一類 Eshelby 問題；如果子域內(nèi)材料與基體材料不同，稱為異質(zhì)問題（inhomogeneity problem），11又稱為第二類 Eshelby 問題 。Eshelby 問題已經(jīng)成為線彈性材料的一個經(jīng)典問題，在過去的幾十年里，眾多的研究者開展了大量相關(guān)的研究工作，從各向同性到各向異性，從空間問題到平面問題，從無限域到有限域12-16，從純彈性到彈性與熱、電、磁的耦合，從靜態(tài)到動態(tài)17-19，從橢球（圓）到非橢球（圓），從均勻本征應(yīng)變問題到考104慮非均勻的本征應(yīng)變等等，相應(yīng)的文獻(xiàn)可參考 Mura 、Nemat-Nasser & Hori 、7202122Li & Wang 、Nomura 、張研 & 韓林 和 Li & Gao 等人的專著，以及 Huang2324256268& Mura 、Mura 、Mura 、Gutkin 、Ovid'ko & Sheinerman 和 Zhou et al.等人的綜述性文章。近二十年來，人們發(fā)現(xiàn) Eshelby 夾雜問題在各種納米材料和納米結(jié)構(gòu)（如量子點（QDs）、量子線（QWRs）等）的建模和分析中也具有廣泛的應(yīng)用，這方面的內(nèi)容可以參考 Maranganti & Sharma27和 Duan et al. 的文章及他們在文中所列的參考文獻(xiàn)。Eshelby 問題中所涉及的 Eshelby 張量、Hill張量、Moment 張量和 Concentration 張量在牛頓勢問題和線性彈性靜力學(xué)問題中2829具有廣泛的應(yīng)用，最近 Parnell 就此方面對橢球異質(zhì)問題進(jìn)行了綜述。1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀Eshelby 關(guān)于夾雜問題的工作有兩個先決條件，一是夾雜形狀要為橢球，二是夾雜內(nèi)的本征應(yīng)變要是均勻的。如前所述，橢球夾雜的解已成為復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的重要基礎(chǔ)4, 10, 30，并在斷裂力學(xué)等其他領(lǐng)域帶來了廣泛的應(yīng)用，盡管如此，在過去幾十年里，人們還是嘗試著剔除掉 Eshelby 的兩個先決條件從而將問題推廣到更一般的情況，即：（1）夾雜形狀為非橢球；（2）夾雜內(nèi)的本征應(yīng)變?yōu)榉蔷鶆虻?，圍繞這兩個方面開展了大量的工作31-36。另一方面，對 Eshelby 猜想的證實或證偽問題數(shù)十年來一直處于懸而未決的困境，直到 2008 年才得到徹底的證明37-39。在對 Eshelby 猜想的反復(fù)辨析中，大量的研究工作集中在各種非橢球（圓）夾雜的彈性場問題上40-47。在實際應(yīng)2 第 1 章 緒論用方面，不論是天然的非均勻材料，還是各種人造的復(fù)合材料，它們所含顆粒的真實形狀通常都是非橢球（圓）的，這一背景成為對非橢球（圓）夾雜問題進(jìn)行研究的另一個重要驅(qū)動48, 49。在各類 Eshelby 問題的研究中，格林函數(shù)方法發(fā)揮了重要的作用。Eshelby1通過對點力引起的位移格林函數(shù)G 在橢球域內(nèi)的積分得到了橢球夾雜的ijEshelby 張量，并得到了“橢球域內(nèi)的應(yīng)變場是均勻的”這一重要結(jié)論。Wang50利用格林函數(shù)方法研究了三維壓電材料橢球夾雜的 Eshelby 問題。除橢球外，格51林函數(shù)方法也被用來求解其他形狀夾雜的彈性場問題，如 Chiu 分析了長方體夾雜問題，Wu & Du52, 53研究了圓柱形夾雜的應(yīng)力場問題，Wu & Du 得到了半球夾雜引起的彈性場。在二維問題中，Ma55 導(dǎo)出了相變應(yīng)變核引起的Muskhelishvili 勢函數(shù)的基本解，并利用格林函數(shù)方法構(gòu)造了平面夾雜問題的積分解，分析了由馬氏體相變和/或鐵彈相變引起的相變增韌現(xiàn)象。在另一篇文章5456中，Ma et al. 按照同樣的思路并利用 Stroh 理論分析了各向異性材料的相變增韌現(xiàn)象。在非橢球（圓）夾雜問題的眾多研究工作中，Zou et al.的工作是比較系統(tǒng)性的。Zou et al.47, 57基于張量的不可約分解系統(tǒng)地研究了非橢圓夾雜第一類Eshelby 問題，得到了二維彈性任意非橢圓夾雜的解析解，并得到如下重要結(jié)論：對凸形夾雜采用橢圓夾雜 Eshelby 張量來近似平均 Eshelby 張量是可接受的，但對非凸形夾雜則未必；而對在細(xì)觀力學(xué)的非橢圓（無論是凸的還是非凸的）顆58粒問題中引入的廣義 Eshelby 張量 ，無論是取為橢圓夾雜 Eshelby 張量還是平均 Eshelby 張量都是不可接受的。二維任意形狀熱夾雜問題、二維各向異性壓電材料任意形狀夾雜問題、二維多鐵雙材料（multiferroic bimaterials）任意形狀夾雜問題也都得到解決59-61，都得到了相應(yīng)問題的解析解。針對有限域問題，Zou62et al. 提出了一種基于疊加原理的分析方法，并將其應(yīng)用于平面有限域夾雜問題的求解，得到了圓形基體內(nèi)含有正方形及偏心圓形夾雜時的解析解，同時將這一方法推廣到二維有限域內(nèi)熱夾雜問題和反平面問題的求解63, 64。Zou &Zheng65指出求解含有異質(zhì)的材料在遠(yuǎn)場加載下的彈性平衡問題和第二類Eshelby 問題是等價的。值得一提的是，Zou et al.關(guān)于非橢圓夾雜的一系列工作都最終實現(xiàn)了問題的解析求解，而且在導(dǎo)出過程中沒有利用一般的格林函數(shù)方法，從而避免了在夾雜內(nèi)部可能會出現(xiàn)的奇異性。3 第 1 章 緒論1.2.1 非橢圓夾雜的外場解對于橢球夾雜，Eshelby 早在 1959 年就得到了夾雜的外場解，后來 Mura 等人66, 67對這一問題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，剔除了 Eshelby 假設(shè)本征應(yīng)變在橢球夾雜內(nèi)均勻分布的先決條件，得到了用單位球域內(nèi)的積分表達(dá)的外場解，并將結(jié)果68推廣到各向異性的情況。然而，多年后 Ju & Sun 仍然認(rèn)為前人得到的橢球夾雜的外場解是不完善的，他們在橢球夾雜的外部引入一個虛擬橢球，并利用該橢球的外法線單位矢量導(dǎo)出了另一種外場 Eshelby 張量的完全解，相比 Mura 等68人的結(jié)果，這個解更簡單、更完備，而且物理意義更明確。利用 Ju & Sun 導(dǎo)69出的關(guān)于橢球夾雜外場 Eshelby 張量的一般公式，Jin et al. 得到了橢圓柱夾雜70的外場顯式解，其中還指出了 Kim & Lee 解答的錯誤在于不滿足內(nèi)對稱性。對于涉及非橢球夾雜的 Eshelby 問題，對夾雜邊界進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拿枋鲆恢笔乔蠼馀c分析的一個關(guān)鍵問題。實際的情況是，夾雜的邊界可以完全由光滑的曲線（面）構(gòu)成，可以都是直線段（平面）（多邊形/多面體），也可以既包含光滑曲線（面）又包含直線段（平面）。由于幾何描述的復(fù)雜性，三維夾雜問題中除了多面體和橢球外其他形狀的夾雜鮮有報道，對于二維問題，除了多邊形和橢圓以外，用洛朗多項式表達(dá)的光滑曲線可以描述一大類非橢圓夾雜，而且數(shù)學(xué)處理上也相對簡單，因此吸引了不少研究者的興趣46, 47。對于多邊形（多面體）夾雜，Eshelby 張量的解析解通常會表達(dá)為各段（片）邊界求和的形式，而且在夾雜內(nèi)部和夾雜外部具有統(tǒng)一的形式41, 71-73。但是，對于光滑曲線（面）夾雜，外場與內(nèi)場的推導(dǎo)存在著較大的差異，而且外場的分析更為復(fù)雜2, 10, 46, 68實際上就我們所知，由光滑曲線圍成的非橢圓夾雜 Eshelby 問題只能在文獻(xiàn)中找到屈指可數(shù)的結(jié)果，而且有的不是完全解析的，有的給出的解答并不完備。除了前面提到的橢圓和橢球夾雜，Onaka et al.49, 74-77研究了甜甜圈形和超球形的夾。46雜問題，通過數(shù)值的方法得到了 Eshelby 張量在夾雜域內(nèi)的平均值。Ru 基于復(fù)變函數(shù)方法并利用解析延拓及保形映射等技巧發(fā)展了一種適用于求解任意形狀夾雜彈性場的解析方法，可惜的是他僅僅給出了橢圓夾雜的解。Zou et al.47基于張量的不可約分解導(dǎo)出了全新的 Eshelby 張量場的邊界積分公式，并且顯式地得到了若干洛朗多項式型非橢圓夾雜的內(nèi)部彈性場的解析解以及它們的域內(nèi)平均值，然而遺憾的是它們所對應(yīng)的外場解并沒有相應(yīng)的給出。2就如 Eshelby 所指出的 ，“夾雜內(nèi)的彈性場可以單獨地計算，而不必先找到夾雜外部的彈性場”，而且“大量的信息可以由內(nèi)部彈性場的解答中單獨得4 第 1 章 緒論到”。然而，當(dāng)我們關(guān)注這幾個方面：（1）Eshelby 張量場的完整性；（2）夾雜之間的相互作用；（3）夾雜特性對基體中的影響范圍；（4）夾雜與夾雜之間、夾雜與有限域邊界之間以及夾雜與其他類型的材料缺陷之間的相互作用，這時，夾雜的外部彈性場就變得至關(guān)重要了。因此，作為非橢圓夾雜 Eshelby 問題擴(kuò)展研究的第一個內(nèi)容，在本論文中我們首先對洛朗多項式型光滑夾雜的外部彈性場問題進(jìn)行研究。1.2.2 非均勻本征應(yīng)變問題一直以來，Eshelby 夾雜問題的研究主要考慮的是均勻本征應(yīng)變，涉及非均勻本征應(yīng)變的 Eshelby 問題，由于其數(shù)學(xué)推演的復(fù)雜性，無論是各向同性材料，還是各向異性材料，相關(guān)的研究都不多。然而在實際問題中，非均勻的本征應(yīng)變很多情況下更接近物理真實，用均勻本征應(yīng)變?nèi)ツM只能算作一定程度上的近似，如電子芯片常用的各種場效應(yīng)管（FETs），在受到高度局部化的點狀熱源的瞬時加熱時，這時的溫度場是高度不均勻的，可以用高斯形式或指數(shù)形式的非均勻本征應(yīng)變場來描述78。如果本征應(yīng)變來源于材料的擴(kuò)散以及材料組分的改變等，這時本征應(yīng)變應(yīng)該遵循擴(kuò)散微分方程，也將導(dǎo)致其呈非均勻分布。如果考慮本征應(yīng)變的形成過程，即便最終的狀態(tài)是均勻的，但在某一瞬時則可能是非均勻的。另外在處理非橢球的異質(zhì)問題時，非均勻的本征應(yīng)變，特別是41多項式形式的本征應(yīng)變，可以發(fā)揮重要的作用 。3Eshelby 指出如果橢球夾雜內(nèi)的本征應(yīng)變以任意階次多項式給出，則夾雜域內(nèi)的擾動應(yīng)變場也必將是同階多項式形式，然而這一多項式具體的顯式表達(dá)79直到 2002 年 Rahman 才最終給出，并將這一結(jié)論稱為 Eshelby 多項式守恒定理。80繼 Eshelby 之后，Moschovidis 在他的博士論文中研究了橢球核內(nèi)多項式形式的本征應(yīng)變問題，Mura10提出了一個基于多極展開的一般性方法，用以量化在多項式本征應(yīng)變下橢球夾雜內(nèi)部的應(yīng)變場，然而實際上除了初始的少數(shù)幾項外，79徹底完成所有項的推演有相當(dāng)難度。Rahman 通過勢積分來表達(dá)這一多項式，而這些勢積分能夠進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成用任意階多項式表達(dá)的代數(shù)形式，而且特別適合用計算機(jī)做符號運算。橢球夾雜多項式本征應(yīng)變問題的研究意義非凡，不僅具有數(shù)學(xué)演繹上的自然之美，也具有相當(dāng)重要的應(yīng)用價值，拓寬了人們處理橢球夾雜非均勻本征應(yīng)變問題的范圍79。在許多實際的問題中，本征應(yīng)變可能不會顯式地以多項式形式出現(xiàn)，但是只要表征本征應(yīng)變的函數(shù)是連續(xù)的，就可以5 第 1 章 緒論根據(jù) Bernsteins 定理，在橢球域內(nèi)用多項式來做近似。在這種近似的具體實現(xiàn)過程中，可以借助最小二乘法、Marquardt-Levenberg 方法等一些完善的算法。橢球夾雜多項式本征應(yīng)變問題的解也被用來處理動態(tài)的橢球夾雜 Eshelby 問題17-19, 81-84。最近幾十年，納米科技的發(fā)展為非均勻本征應(yīng)變問題的研究提供了更加廣闊的物理背景。例如，當(dāng)靜電場、靜磁場或純彈性場中的橢球顆粒受到非均勻的本征場時，如何計算作用在其上的力或力矩85？這一問題有大量的應(yīng)用，比如設(shè)計磁性納米鑷子（magnetic nanotweezers）時，為了能夠精確地控制和操縱納米顆粒，關(guān)鍵的問題就是如何確定納米顆粒所受的非均勻本征場與作用在納米顆粒上的力和力矩之間的關(guān)系86, 87。另外，在研究某種溶液中顆粒積聚或分離的機(jī)制時，為了精確考量相鄰顆粒之間的相互作用力，也必須假設(shè)本征物理場是非均勻的。8889Shodja & Shokrolahi-Zadeh 和 Avazmohammadi et al. 分別研究了雙材料平面內(nèi)包含任意取向橢圓夾雜的問題，假設(shè)夾雜域內(nèi)的本征應(yīng)變?yōu)槎囗検叫问?。后來發(fā)現(xiàn)多項式本征應(yīng)變可以用來處理異質(zhì)之間的相互作用90, 91。Shodja &92Sarvestani 發(fā)現(xiàn)在處理含有涂層的異質(zhì)問題時也可以用多項式形式的本征應(yīng)變93來處理。Rodin & Hwang 系統(tǒng)地研究了多項式形式的本征應(yīng)變在處理多個橢球9485異質(zhì)相互作用時的應(yīng)用。Taya 和 Liu 利用數(shù)學(xué)工具嚴(yán)格地證明了橢圓夾雜內(nèi)多項式本征應(yīng)變引起的擾動應(yīng)變場也是同階多項式形式，同時將擾動應(yīng)變場多項式表達(dá)式中的系數(shù)通過橢圓積分顯式地給出，嚴(yán)格證明了 Eshelby 多項式守恒定理。Chen952014 年應(yīng)用復(fù)變函數(shù)方法和保形映射技術(shù)求解了平面橢圓夾雜發(fā)生多項式形式本征應(yīng)變時的彈性平衡問題。關(guān)于橢球（圓）夾雜非均勻本征應(yīng)變問題的有限工作大都集中于多項式形式的本征應(yīng)變，除此之外，其他形式分布的非均勻本征應(yīng)變也有涉及。Sharma &Sharma782003 年研究了三維橢球夾雜（W : x2 / a2 + x2 / a2 + x2 / a2 £ 1）發(fā)生指112233數(shù)形式或高斯形式本征應(yīng)變時的彈性平衡問題，但僅限于均勻膨脹型的本征應(yīng)e0 = e0d變（這種本征應(yīng)變常見于電子芯片中高度局部化的點狀熱源等）。ijij對各向異性材料的非均勻本征應(yīng)變問題只有少量的工作開展。Asaro &Barnett96利用一般各向異性無限域的格林函數(shù)分析了橢球夾雜內(nèi)發(fā)生M 次多項式形式的本征應(yīng)變時，在橢球內(nèi)部引起的擾動應(yīng)變場和應(yīng)力場也是同樣次數(shù)的多項式9798形式。Kinoshita & Mura 和 Mura & Kinoshita 研究了同樣的問題，并給出了6 第 1 章 緒論96相應(yīng)的位移場，進(jìn)一步完善了 Asaro & Barnett 的結(jié)果。在研究異質(zhì)問題時，多項式本征應(yīng)變有重要應(yīng)用。Nie et al.33, 99, 100求得了正交各向異性材料中橢圓夾雜發(fā)生多項式形式的本征應(yīng)變時的解析解，其中假設(shè)夾雜域內(nèi)的彈性場也為多項式形式。Huang et al.101分析了一般各向異性材料橢圓夾雜的非均勻本征應(yīng)變問題。65Zou & Zheng 指出求解非均勻材料有效性質(zhì)的遠(yuǎn)場問題與第二類 Eshelby問題是等價的，對于非橢球（圓）的異質(zhì)顆粒，如果將本征應(yīng)變假設(shè)為多項式形式，就可以實現(xiàn)與第一類 Eshelby 問題的等價變換，如圖 1.1 所示，通過積分方程解出待定系數(shù)，實現(xiàn)非橢球（圓）異質(zhì)問題的求解。簡言之，考慮多項式本征應(yīng)變的 Eshelby 夾雜問題是非橢球（圓）異質(zhì)問題求解的一條重要途徑。圖 1.1 異質(zhì)問題與夾雜問題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。以上關(guān)于橢球（圓）夾雜多項式本征應(yīng)變的工作從不同的角度證實了 Eshelby多項式守恒定理對各向同性材料和各向異性材料都是適用的。而對于非橢球（圓）夾雜，多項式本征應(yīng)變問題的研究雖然具有重要的理論和應(yīng)用價值，但相關(guān)的研究并不很多。Cheng et al.102利用格林函數(shù)研究了各向同性矩形夾雜內(nèi)發(fā)生四次多項式形式本征應(yīng)變時的彈性場問題，發(fā)現(xiàn)在夾雜內(nèi)部的彈性場存在奇性，而在夾雜外部不存在奇性。各向異性材料非橢圓夾雜多項式本征應(yīng)變問題的研究最近幾年才有報道。Sun et al.103研究了包含任意多邊形夾雜的二維各向異性壓電材料的線性本征應(yīng)變問題，給出了彈性和壓電場的封閉解答。Chen etal.104將問題推廣到半平面情況，Yue et al.105最近進(jìn)一步研究了二次多項式形式的本征應(yīng)變問題。以上研究代表了非均勻本征應(yīng)變問題的最新成果，然而在研究中廣泛利用了平面問題（包括各向同性材料、壓電材料、磁電彈材料）的格林函數(shù)106-109，由于格林函數(shù)本身在夾雜域內(nèi)的奇性特征，隨著本征應(yīng)變多項式次數(shù)的增加，問題解答的復(fù)雜程度會極大增加。因此，發(fā)展一種一般性的理論和方法來處理任意形狀夾雜的任意階次多項式本征應(yīng)變問題變得重要而迫切。鑒于以上分析，作為非橢圓夾雜 Eshelby 問題擴(kuò)展研究的第二個內(nèi)容，本論文將7 第 1 章 緒論分別以各向同性材料和各向異性磁電彈材料為背景，就任意多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題進(jìn)行探索研究。1.3 本文研究的目的和意義如前所述，非橢圓夾雜 Eshelby 問題的研究仍有很多問題是開放的，本文將從兩個方面對非橢圓夾雜 Eshelby 問題進(jìn)行擴(kuò)展研究，一是洛朗多項式型光滑夾雜的外場解問題，二是多邊形夾雜的多項式本征應(yīng)變問題，具體的研究目的有三：1、發(fā)展一種求解洛朗多項式型光滑夾雜外場解析解的通用方法，得到若干該類型夾雜外場的顯式解，分析并得到夾雜形狀對外場的影響范圍；2、3、以現(xiàn)有二維非橢圓夾雜均勻本征應(yīng)變問題的理論和方法為基礎(chǔ)，發(fā)展一套適用于多項式本征應(yīng)變問題的新的求解方法；對于各向同性材料和各向異性磁電彈材料，分別得到二維非橢圓（多邊形）夾雜發(fā)生任意多項式形式的本征應(yīng)變時擾動物理場的解析解，分析得到夾雜形狀和本征應(yīng)變多項式次數(shù)對擾動物理場的影響機(jī)制。本文研究洛朗多項式型光滑夾雜的外場解析解，將使該類非橢圓夾雜的彈性場變得完整，拓寬了非橢圓夾雜相關(guān)問題的研究領(lǐng)域；通過對多邊形夾雜在多項式本征應(yīng)變條件下擾動物理場的解析研究，探討微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)（大小、形狀、取向等）對擾動物理場的影響機(jī)制，為非橢圓異質(zhì)問題的解析求解，基體-顆粒型復(fù)合材料有效性質(zhì)的合理估計和性能設(shè)計等細(xì)觀力學(xué)問題奠定更堅實的理論基礎(chǔ)。1.4 本文的主要內(nèi)容本文圍繞二維非橢圓夾雜 Eshelby 問題進(jìn)行擴(kuò)展研究，以解析研究為特色。各章的研究內(nèi)容如下：第 2 章從 Eshelby 張量的邊界積分公式出發(fā)，發(fā)展了一種導(dǎo)出洛朗多項式型光滑夾雜外場解的通用方法，給出了任意旋輪線形和準(zhǔn)平行四邊形夾雜外場的顯式解，通