數(shù)學(xué) 專題3規(guī)律探究問題 規(guī)律探究性問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù) 式 圖形 題目的情景給出有限的幾項 或是給出與圖形有關(guān)的操作 變化過程 要求通過觀察 分析 推理 探求其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律 進(jìn)而歸納或猜想出共同特征 或者發(fā)現(xiàn)變化的趨勢 在解答過程中需要經(jīng)歷觀察 歸納 猜想 試驗 證明等數(shù)學(xué)活動 以加深學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解 認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系 解題方法和步驟是 1 通過對幾個特例的分析 利用特殊值 特殊點(diǎn) 特殊數(shù)量 特殊線段 特殊位置等 從特殊到一般 尋找規(guī)律并且歸納 2 猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論 3 驗證或說明結(jié)論是否正確 2 2017 預(yù)測 設(shè)一列數(shù)中相鄰的三個數(shù)依次為m n p 且滿足p m2 n 若這列數(shù)為 1 3 2 a 7 b 則b 解析 根據(jù)題意求出a 再代入關(guān)系式即可得出b的值 根據(jù)題意得 a 32 2 11 則b 112 7 128 128 3 原創(chuàng)題 觀察下列等式 第1層1 2 3第2層4 5 6 7 8第3層9 10 11 12 13 14 15第4層16 17 18 19 20 21 22 23 24在上述數(shù)字寶塔中 從上往下數(shù) 2016在第 層 解析 第一層 第一個數(shù)為12 1 最后一個數(shù)為22 1 3 第二層 第一個數(shù)為22 4 最后一個數(shù)為32 1 8 第三層 第一個數(shù)為32 9 最后一個數(shù)為42 1 15 442 1936 452 2025 又 1936 2016 2025 在上述數(shù)字寶塔中 從上往下數(shù) 2016在第44層 44 4 設(shè)an為正整數(shù)n4的末位數(shù) 如a1 1 a2 6 a3 1 a4 6 求a1 a2 a3 a2013 a2014 a2015的值 解 正整數(shù)n4的末位數(shù)依次是1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 十個一循環(huán) 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 33 2015 10 201 5 33 201 1 6 1 6 5 6633 19 6652 故a1 a2 a3 a2013 a2014 a2015 6652 解答數(shù)字規(guī)律問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析數(shù)表中或行列中前后各數(shù)之間的關(guān)系 從而發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律 利用規(guī)律解題 5 請看楊輝三角 1 并觀察下列等式 2 2 根據(jù)前面各式的規(guī)律 則 a b 6 解析 通過觀察可以看出 a b 6的展開式為6次7項式 a的次數(shù)按降冪排列 b的次數(shù)按升冪排列 各項系數(shù)分別為1 6 15 20 15 6 1 a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6 B 解答數(shù)式規(guī)律問題的常用步驟 將所給每個數(shù)據(jù)化為有規(guī)律的代數(shù)式或等式 按規(guī)律順序排列這些式子 將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用代數(shù)式或等式表示出來 用題中所給數(shù)據(jù)驗證規(guī)律的正確性 10 如圖 在數(shù)軸上 點(diǎn)A表示1 現(xiàn)將點(diǎn)A沿軸做如下移動 第一次點(diǎn)A向左移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)A1 第二次將點(diǎn)A1向右移動6個單位長度到達(dá)點(diǎn)A2 第三次將點(diǎn)A2向左移動9個單位長度到達(dá)點(diǎn)A3 按照這種移動規(guī)律移動下去 第n次移動到點(diǎn)An 如果點(diǎn)An與原點(diǎn)的距離不小于20 那么n的最小值是 解析 序號為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左邊 各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3 序號為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右側(cè) 各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3 于是可得到A13表示的數(shù)為 17 3 20 A12表示的數(shù)為16 3 19 則可判斷點(diǎn)An與原點(diǎn)的距離不小于20時 n的最小值是13 13 11 原創(chuàng)題 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 函數(shù)y 2x和y x的圖象分別為直線l1 l2 過點(diǎn) 1 0 作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A1 過點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2 過點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3 過點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4 依次進(jìn)行下去 則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為 解析 寫出部分An點(diǎn)的坐標(biāo) 根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律 A2n 1 2 n 2 2 n n為自然數(shù) 依此規(guī)律即可得出結(jié)論 觀察 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 A1 1 2 A2 2 2 A3 2 4 A4 4 4 A5 4 8 A2n 1 2 n 2 2 n n為自然數(shù) 2017 1008 2 1 A2017的坐標(biāo)為 2 1008 2 2 1008 21008 21009 21008 21009 12 2017 預(yù)測 在平面直角坐標(biāo)系中 直線l y x 1與x軸交于點(diǎn)A1 如圖所示依次作正方形A1B1C1O 正方形A2B2C2C1 正方形AnBnCnCn 1 使得點(diǎn)A1 A2 A3 在直線l上 點(diǎn)C1 C2 C3 在y軸正半軸上 則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是 解析 y x 1與x軸交于點(diǎn)A1 A1點(diǎn)坐標(biāo) 1 0 四邊形A1B1C1O是正方形 B1坐標(biāo) 1 1 C1A2 x軸 A2坐標(biāo) 2 1 四邊形A2B2C2C1是正方形 B2坐標(biāo) 2 3 C2A3 x軸 A3坐標(biāo) 4 3 四邊形A3B3C3C2是正方形 B3 4 7 B1 20 21 1 B2 21 22 1 B3 22 23 1 Bn坐標(biāo) 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 13 甲 乙 丙三位同學(xué)進(jìn)行報數(shù)游戲 游戲規(guī)則為 甲報1 乙報2 丙報3 再甲報4 乙報5 丙報6 依次循環(huán)反復(fù)下去 當(dāng)報出的數(shù)為2014時游戲結(jié)束 若報出的數(shù)是偶數(shù) 則該同學(xué)得1分 當(dāng)報數(shù)結(jié)束時甲同學(xué)的得分是 分 336 將所給的一些特殊數(shù)據(jù)排序 發(fā)現(xiàn)循環(huán)的規(guī)律 14 原創(chuàng)題 一組正方形按如圖所示的方式放置 其中頂點(diǎn)B1在y軸上 頂點(diǎn)C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3 在x軸上 已知正方形A1B1C1D1的邊長為1 B1C1O 60 B1C1 B2C2 B3C3 求正方形A2016B2016C2016D2016的邊長 16 正方形A1B1C1O A2B2C2C1 A3B3C3C2 按如圖的方式放置 點(diǎn)A1 A2 A3 和點(diǎn)C1 C2 C3 分別在直線y x 1和x軸上 則點(diǎn)B6的坐標(biāo)是 63 32 18 如圖 正方形ABCB1中 AB 1 AB與直線l的夾角為30 延長CB1交直線l于點(diǎn)A1 作正方形A1B1C1B2 延長C1B2交直線l于點(diǎn)A2 作正方形A2B2C2B3 延長C2B3交直線l于點(diǎn)A3 作正方形A3B3C3B4 依此規(guī)律 求A2014A2015 在規(guī)律探索題中 往往把有幾何背景的問題 如 三角形 特殊四邊形 圓和圖形的變換等作為素材 不是簡單的數(shù)數(shù)來探究規(guī)律 而是要利用幾何的性質(zhì) 定理 通過計算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律 19 2017 預(yù)測 如圖 用黑白兩種顏色的菱形紙片 按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案 若第n個圖案中有2017個白色紙片 則n的值為 A 671B 672C 673D 674 解析 將已知三個圖案中白色紙片數(shù)拆分 得出規(guī)律 每增加一個黑色紙片時 相應(yīng)增加3個白色紙片 據(jù)此可得第n個圖案中白色紙片數(shù) 從而可得關(guān)于n的方程 解方程可得 第1個圖案中白色紙片有4 1 1 3張 第2個圖案中白色紙片有7 1 2 3張 第3個圖案中白色紙片有10 1 3 3張 第n個圖案中白色紙片有1 n 3 3n 1 張 根據(jù)題意得3n 1 2017 解得n 672 故選B B 20 2017 預(yù)測 下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的 其中第 個圖形中一共有4個小圓圈 第 個圖形中一共有10個小圓圈 第 個圖形中一共有19個小圓圈 按此規(guī)律排列 則第 個圖形中小圓圈的個數(shù)為 A 64B 77C 80D 85 D C 解決這類問題的關(guān)鍵是 仔細(xì)分析前后兩個圖形中基礎(chǔ)圖案的數(shù)量關(guān)系 從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律 即先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律 然后將每一個數(shù)字改寫為等式 再比較各等式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn) 分析不同點(diǎn) 數(shù)字 與等式序號之間的關(guān)系 從而得到一般規(guī)律 24 2017 預(yù)測 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 直線l y x 2交x軸于點(diǎn)A 交y軸于點(diǎn)A1 點(diǎn)A2 A3 在直線l上 點(diǎn)B1 B2 B3 在x軸的正半軸上 若 A1OB1 A2B1B2 A3B2B3 依次均為等腰直角三角形 直角頂點(diǎn)都在x軸上 則第n個等腰直角三角形AnBn 1Bn頂點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為 解析 先求出B1 B2 B3 的坐標(biāo) 探究規(guī)律后 即可根據(jù)規(guī)律解決問題 由題意得OA OA1 2 OB1 OA1 2 B1B2 B1A2 4 B2A3 B2B3 8 B1 2 0 B2 6 0 B3 14 0 2 22 2 6 23 2 14 24 2 Bn的橫坐標(biāo)為2n 1 2 2n 1 2 25 如圖 BOC 9 點(diǎn)A在OB上 且OA 1 按下列要求畫圖 以A為圓心 1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1 得第1條線段AA1 再以A1為圓心 1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2 得第2條線段A1A2 再以A2為圓心 1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3 得第3條線段A2A3 這樣畫下去 直到得第n條線段 之后就不能再畫出符合要求的線段了 則n 解析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得 A1AB的度數(shù) A2A1C的度數(shù) A3A2B的度數(shù) A4A3C的度數(shù) 依此得到規(guī)律 再根據(jù)三角形外角小于90 即可求解 9 C 27 原創(chuàng)題 如圖 一段拋物線 y x x 2 0 x 2 記為C1 它與x軸交于兩點(diǎn)O A1 將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180 得到C2 交x軸于A2 將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180 得到C3 交x軸于A3 如此進(jìn)行下去 直至得到C6 若點(diǎn)P 11 m 在第6段拋物線C6上 求m的值 解析 將這段拋物線C1通過配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點(diǎn) 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點(diǎn)到x軸的距離相等 且OA1 A1A2 照此類推可以推導(dǎo)知道點(diǎn)P 11 m 為拋物線C6的頂點(diǎn) 從而得到結(jié)果 解 y x x 2 x 1 2 1 0 x 2 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 A1坐標(biāo)為 2 0 C2由C1旋轉(zhuǎn)得到 OA1 A1A2 即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為 3 1 A2 4 0 照此類推可得 C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為 5 1 A3 6 0 C4頂點(diǎn)坐標(biāo)為 7 1 A4 8 0 C5頂點(diǎn)坐標(biāo)為 9 1 A5 10 0 C6頂點(diǎn)坐標(biāo)為 11 1 A6 12 0 m 1 28 如圖 拋物線y x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn) 橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn) 依次為A1 A2 A3 An 將拋物線y x2沿直線l y x向上平移 得一系列拋物線 且滿足下列條件 拋物線的頂點(diǎn)M1 M2 M3 Mn 都在直線l y x上 拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1 A2 A3 An 求頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)