題型五圓的綜合題 典例精講 例 2017原創(chuàng) 如圖 半 O是 ABD的外接圓 AB AC 延長BD與AC交于點(diǎn)C 過點(diǎn)D作DE AC 垂足為點(diǎn)E 延長ED 交AB的延長線于點(diǎn)F 1 求證 EF是 O的切線 2 求證 FDB FAD 3 如果 O的半徑為5 sin ADE 求BF的長 例題圖 1 思維教練 要證明EF是 O的切線 只需證明OD DE 題中給出DE AC 若能證明OD AC 結(jié)論即可得證 連接OD 由AB為半 O的直徑得到 ADB 90 AB AC已知 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得DB DC 則OD為 ABC的中位線 所以O(shè)D AC就可證得 AB為 O的直徑 ADB 90 AD BC AB AC DB DC OA OB OD為 ABC的中位線 OD AC DE AC OD DE 又 OD為半 O的半徑 EF是 O的切線 例題解圖 證明 如解圖 連接OD 2 思維教練 要證兩三角形相似 根據(jù)已知條件易得角度等量關(guān)系 利用兩角分別對應(yīng)相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可 證明 EF是 O的切線 ODB BDF 90 OD OB OBD ODB OBD BDF 90 又 DAB OBD 90 DAB BDF BFD DFA FDB FAD 例題解圖 3 思維教練 要求BF的長度 觀察圖形BF未在直角三角形中 可以排除勾股定理 故可考慮用三角形相似 因?yàn)镺D AE 所以 FDO FEA 即 OB OD AB均已知 現(xiàn)在只需求出AE即可求解 由 2 易得 DAC DAB 則 ADE ABD sin ADE 已知 在Rt ADB中 可利用三角函數(shù)計(jì)算出AD的值 進(jìn)而在Rt ADE中求得AE的長度 解 DAC DAB ADE ABD 在Rt ADB中 sin ADE sin ABD AB 10 AD 8 在Rt ADE中 sin ADE AE OD AE FDO FEA 即 BF 例題解圖