理數(shù)課標版第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.教材研讀教材研讀2.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標的求法(i)若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.(ii)設A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則abx1y2-x2y1=0.1.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.答案答案AA(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,與同向的單位向量為=.故選A.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5ABABAB|ABAB34,552.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),則c=()A.4a-2bB.4a+2bC.-2a+4bD.2a+4b答案答案A設c=a+b(,R),則有(6,4)=(,)+(-,0)=(-,),即-=6,=4,從而=-2,故c=4a-2b.3.如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.e1與e1+e2B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與e1-e2D.e1+3e2與6e2+2e1答案答案 D選項A中,設e1+e2=e1,則無解;1,10,選項B中,設e1-2e2=(e1+2e2),則無解;選項C中,設e1+e2=(e1-e2),則無解;選項D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以兩向量是共線向量.1,22 , 1,1, 124.設e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若1e1+2e2=0,則1+2=.答案答案0解析解析假設10,由1e1+2e2=0,得e1=-e2,e1與e2共線,這與e1,e2是平面內(nèi)一組基底矛盾,故1=0,同理,2=0,1+2=0.215.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三點共線,則k=.答案答案-解析解析 =-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因為A、B、C三點共線,即與共線,所以=(k0),解得k=-.OAOBOC23ABOBOAACOCOAABAC42kk7223考點一平面向量基本定理及其應用考點一平面向量基本定理及其應用典例典例1(2017沈陽四中期中)在ABC中,點P是AB上一點,且=+,Q是BC的中點,AQ與CP的交點為M,又=t,則實數(shù)t的值為.答案答案 解析解析因為=+,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P為AB的一個三等分點(靠近A點),CP23CA13CBCMCP34CP23CA13CBCPCACBCPCACBCPAPPB考點突破考點突破又因為A,M,Q三點共線,設=,所以=-=-=-=+,又=t=t(-)=t=-t,AMAQCMAMACAQAC1122ABACAC2AB22ACCMCPAPAC13ABAC3tABAC故解得故t的值是.,232,2tt 3,41.2t34規(guī)律總結規(guī)律總結(1)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.(2)平面上A、B、C三點共線的充要條件是:對于平面內(nèi)任意一點P,存在唯一的一對實數(shù)x,y,使=x+y,且x+y=1.變式變式1-1在本例中,試問點M在AQ的什么位置?解析解析由例題知=+及=,又=2,=(-)+=+(1-)PAPBPCCM2AB22AC12CBCQCM12CBCA22CA2CBCA=+(1-)=.因此點M是AQ的中點.CQCA2CQ CA1-2在ABC中,點D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s=()A.B.C.-3D.0答案答案D由題意知=(-)=-,又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0,故選D.CDDBCDABAC2343CD23CB23ABAC23AB23ACCDABAC2323考點二平面向量的坐標運算考點二平面向量的坐標運算典例典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設=a,=b,=c,且=3c,=-2b.求:(1)3a+b-3c;(2)滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(3)M,N的坐標及向量的坐標.解析解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).ABBCCACMCNMN(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得65,385,mnmn 1,1.mn (3)設O為坐標原點,=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).CMOMOCOMOCCNONOCONOCMN方法技巧方法技巧平面向量坐標運算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標.(2)解題過程中,常利用“向量相等,則坐標相同”這一結論,由此可列方程(組)進行求解.2-1已知點A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,則點B的坐標為()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案答案 D設點B的坐標為(x,y),則=(x+1,y-5).由=3a,得解得ABABAB16,59,xy 5,14.xy故點B的坐標為(5,14).2-2在ABC中,點P在BC上,且=2,點Q是AC的中點,若=(4,3),=(1,5),則=()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案答案B=2,=3=3(+).Q是AC的中點,=2,又=+,=3+2(+)=(-6,21).BPPCPAPQBCBPPCBCPCPAACACAQAQAPPQBCPAAPPQ考點三平面向量共線的坐標表示考點三平面向量共線的坐標表示典例典例3平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求實數(shù)k.解析解析(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由題意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=-.43,22,mnmn5,98.9mn1613規(guī)律總結規(guī)律總結1.向量共線的兩種表示形式若ab(b0),則a=b;x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般涉及坐標時應用.2.與向量共線有關的題型有:(1)證三點共線;(2)已知兩向量共線,求相關參數(shù).解決第(1)種問題時,可先證明相關兩向量共線,再說明兩向量有公共點;解決第(2)種問題時,可先利用向量共線的充要條件列方程(組),再求解.3-1(2017廣東揭陽一中期末)已知向量a=(3cos,2)與向量b=(3,4sin)平行,則銳角等于()A.B.C.D.答案答案A因為a=(3cos,2),b=(3,4sin),且ab,所以3cos4sin-23=0,解得sin2=1.因為,所以2(0,),所以2=,即=.4635120,224