文數(shù)課標版第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質1.直線與平面平行的判定與性質直線與平面平行的判定與性質教材研讀教材研讀 判定性質定義定理圖形條件a= a,b , ab a a,a,=b 結論aba=ab2.面面平行的判定與性質面面平行的判定與性質 判定性質定義定理圖形條件= a,b, ab=P,a,b , =a, =b ,a結論aba判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線,則這條直線平行于這個平面.()(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內的任一條直線.()(3)如果一條直線a與平面內的無數(shù)條直線平行,則a.()(4)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行.()(6)設l為直線,為兩個不同的平面,若l且l,則.()(7)若,直線a,則a.() 1.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關系是()A.平行 B.相交C.異面 D.以上均有可能答案答案 D與一個平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.2.下列命題中,正確的是()A.若ab,b,則aB.若a,b,則abC.若a,b,則abD.若ab,b,a ,則a答案答案 D由直線與平面平行的判定定理知,只有選項D正確.3.設,是兩個不同的平面,m,n是平面內的兩條不同直線,l1,l2是平面內的兩條相交直線,則的一個充分不必要條件是()A.ml1且nl2 B.m且nl2C.m且n D.m且l1答案答案 A由ml1,m,l1,得l1,同理,l2,又l1,l2相交,所以,反之不成立,所以ml1且nl2是的一個充分不必要條件.4.已知平面,直線a,有下列命題:a與內的所有直線平行;a與內無數(shù)條直線平行;a與內的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是 .答案答案解析解析由面面平行的性質可知,過a與相交的平面與的交線才與a平行,故錯誤;正確;平面內的直線與直線a平行、異面均可,其中包括異面垂直,故錯誤.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的是 (只填序號).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.答案答案解析解析 如圖,因為AB C1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1BC1,從而正確;易證BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D,故平面AB1D1平面BDC1,從而正確;由圖易知AD1與DC1異面,故錯誤;因AD1BC1,AD1 平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正確.考點一直線與平面平行的判定和性質考點一直線與平面平行的判定和性質典例典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點.(1)證明AD1平面BDC1;(2)證明BD平面AB1D1.證明證明(1)D1,D分別為A1C1與AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,C1D1 DA,四邊形ADC1D1為平行四邊形,AD1C1D,考點突破考點突破又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)連接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點,BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.方法技巧方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a ,b,aba);(3)利用面面平行的性質定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(,a ,aa).變式變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點”變?yōu)椤癉,D1分別為AC,A1C1上的點”,則當?shù)扔诤沃禃r,BC1平面AB1D1?解析解析當=1時,BC1平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點,1111ADDC1111ADDC此時=1,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,由棱柱的性質知四邊形A1ABB1為平行四邊形,O為A1B的中點,在A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,1111ADDCOD1BC1,又OD1平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,BC1平面AB1D1,當=1時,BC1平面AB1D1.1111ADDC考點二平面與平面平行的判定與性質考點二平面與平面平行的判定與性質典例典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1平面BCHG.證明證明(1)G,H分別是A1B1,A1C1的中點,GH是A1B1C1的中位線,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四點共面.(2)E,F分別是AB,AC的中點,EFBC.EF 平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.易知A1G EB,四邊形A1EBG是平行四邊形,A1EGB.A1E 平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.方法技巧方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證明.2-1一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系,并證明你的結論.(2)平面BEG平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BCEH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BECH.又CH平面ACH,BE 平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH,又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.解析解析(1)點F,G,H的位置如圖所示.考點三平行關系的綜合問題考點三平行關系的綜合問題典例典例3 如圖所示,平面平面,點A,點C,點B,點D,點E,F分別在線段AB,CD上,且AE EB=CF FD.(1)求證:EF平面;(2)若E,F分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60,求EF的長.解析解析(1)證明:當AB,CD在同一平面內時,由平面平面,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,知ACBD.AE EB=CF FD,EFBD.又EF ,BD,EF平面.當AB與CD異面時,如圖所示,設平面ACD平面=DH,且DH=AC,平面平面,平面平面ACDH=AC,ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形,在AH上取一點G,使AG GH=CF FD,連接EG,FG,BH.則AE EB=CF FD=AG GH.GFHD,EGBH.又EGGF=G,BHHD=H,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF平面.綜合可知EF平面.(2)如圖所示,連接AD,取AD的中點M,連接ME,MF.E,F分別為AB,CD的中點,MEBD,MFAC,且ME=BD=3,MF=AC=2.EMF為AC與BD所成的角或其補角,EMF=60或120.在EFM中,由余弦定理得1212EF=,即EF=或EF=.222cosMEMFME MFEMF221322 3 22 1367191.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關系,它們之間可以相互轉化,其轉化關系如下: 規(guī)律總結規(guī)律總結2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應用性質定理時,其順序正好相反,但也要注意,轉化的方向總是由題目的具體條件而定,絕對不可過于“模式化”.3-1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接AC、BD交于點O,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點.問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ平面PAO? 解析解析當Q為CC1的中點時,平面D1BQ平面PAO.證明:在正方體AC1中,Q為CC1的中點,P為DD1的中點,易知QBPA.QB 平面PAO,PA平面PAO,QB平面PAO.P、O分別為DD1、DB的中點,POD1B,又D1B 平面PAO,PO平面PAO,D1B平面PAO,又D1BQB=B,D1B平面D1BQ,QB平面 D1BQ,平面D1BQ平面PAO.