第十二講 容斥原埋家庭是幼兒語(yǔ)言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開(kāi)家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng)，要求孩子回家向家長(zhǎng)朗誦兒歌，表演故事。我和家長(zhǎng)共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀能力提高很快。 在很多計(jì)數(shù)問(wèn)題中常用到數(shù)學(xué)上的一個(gè)包含與排除原理，也稱為容斥原理.為了說(shuō)明這個(gè)原理，我們先介紹一些集合的初步知識(shí)。這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛(ài)生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛(ài)心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫(xiě)起文章來(lái)還用亂翻參考書(shū)嗎? 在討論問(wèn)題時(shí)，常常需要把具有某種性質(zhì)的同類事物放在一起考慮.如：A=五（1）班全體同學(xué).我們稱一些事物的全體為一個(gè)集合.A五（1）班全體同學(xué)就是一個(gè)集合。課本、報(bào)刊雜志中的成語(yǔ)、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫(xiě)作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒(méi)有徹底“記死”的緣故。要解決這個(gè)問(wèn)題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語(yǔ)、一則名言警句即可。可以寫(xiě)在后黑板的“積累專欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫(xiě),教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語(yǔ)、300多則名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語(yǔ)典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫(xiě)作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取”出來(lái),使文章增色添輝。 例1 B全體自然數(shù)=1，2，3，4，是一個(gè)具體有無(wú)限多個(gè)元素的集合。例2 C=在1，2，3，100中能被3整除的數(shù)（3，6，9，12，99是一個(gè)具有有限多個(gè)元素的集合。集合通常用大寫(xiě)的英文字母A、B、C、表示.構(gòu)成這個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同學(xué)均是集合A的一個(gè)元素.又如在例1中任何一個(gè)自然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無(wú)限多個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.像集合C這樣含有有限多個(gè)元素的集合稱為有限集.有限集合所含元素的個(gè)數(shù)常用符號(hào)|A|、|B|、|C|、表示。記號(hào)AB表示所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.就是右邊示意圖中兩個(gè)圓所覆蓋的部分.集合AB叫做集合A與集合B的并集.“”讀作“并”，“AB”讀作“A并B”。例3 設(shè)集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，則AB=1，2，3，4，6，8.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只寫(xiě)一個(gè)。記號(hào)AB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁(yè)圖中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合.它稱為集合A、B的交集.符號(hào)“”讀作“交”，“AB”讀作“A交B”.如例3中的集合A、B，則AB=2，4。下面再舉例介紹補(bǔ)集的概念。例4 設(shè)集合I=1，3，5，7，9，集合A=3，5，7。補(bǔ)集（或余集），如圖中陰影部分表示的集合（整個(gè)長(zhǎng)方形表示集合I）.對(duì)于兩個(gè)沒(méi)有公共元素的集合A和B，顯然有|AB|=|A|+|B|。例如，A=1，2，100，B=101，則所以|AB|1011001=|A|B|。如果集合A與B有公共元素，例如A1，2，100，B90，91，101，則AB（90，91，100，AB=1，2，101.此時(shí)，|AB|與|A|+|B|有什么關(guān)系呢？在這個(gè)例中，|AB|=101，|A|B|10012=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為AB的元素個(gè)數(shù).這是合理的，因?yàn)樵谇髚AB|時(shí)，90，91，100這11個(gè)數(shù)各被計(jì)入一次，而在求|A|B|時(shí)，這11個(gè)數(shù)各被計(jì)入兩次（即多算了一次），并且這11個(gè)數(shù)組成的集合恰為AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|，（1）這就是關(guān)于兩個(gè)集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個(gè)數(shù)，等于集合A的元素個(gè)數(shù)與集合B的元素個(gè)數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個(gè)數(shù)。（1）是容斥原理的第一個(gè)公式.我們還可以用右圖來(lái)說(shuō)明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示AB中互不重疊的部分的元素個(gè)數(shù)?？梢?jiàn)：|A|=N1N3，|B|=N2N3，|AB|=N3.因此|AB|=N1N2N3（N1N3）+（N2N3）-N3=|A|+|B|-|AB|。我們知道，當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，有|AB|A|+|B|.實(shí)際上這是公式（1）的特殊情形，因?yàn)榇藭r(shí)例5 桌上有兩張圓紙片A、B.假設(shè)圓紙片A的面積為30平方厘米，圓紙片B的面積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米.則這兩張圓紙片覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式（1）可以算出為：AB=3020-1040（平方厘米）。例6 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。分析 解這類問(wèn)題時(shí)首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)規(guī)律是：在n個(gè)連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個(gè)數(shù)能被n整除.根據(jù)這個(gè)規(guī)律我們可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為33個(gè)，被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)，而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個(gè)，因而得到解：設(shè)A=在1100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，B在1100的自然數(shù)中能被7整除的數(shù)，則AB=在1100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)。100÷3331，A33。100÷7142，B=14。100÷21416，AB=4。由容斥原理的公式（1）：AB3314-4=43。答：在1100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個(gè)。例7 求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析 如果在1100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù)，剩下的數(shù)就既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)，即問(wèn)題要求的結(jié)果。解：設(shè)A在1100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)，B=在1100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù)，數(shù).為此先求AB。100÷50=20，A=20又100÷6164，B=16100÷30310，AB=3，AB=A+B-AB=2016-333。答：在1100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個(gè)。我們也可以把公式（1）用于求幾何圖形的面積.這時(shí)，A和B是平面上的兩個(gè)點(diǎn)集（即點(diǎn)的集合），都是幾何圖形.A，B，分別表示A的面積，B的面積，。例8 設(shè)下面圖中正方形的邊長(zhǎng)為1厘米，半圓均以正方形的邊為直徑，求圖中陰影部分的面積。分析 如圖，四個(gè)直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形，還有四個(gè)重疊部分.這正好是要求的陰影部分的面積.或者，用A表示上、下兩個(gè)半圓，用B表示左、右兩個(gè)半圓，則AB為邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，AB為圖中陰影部分.由（1）可得AB=A+B-AB，因此可求出陰影部分的面積。解法1:大正方形面積=4個(gè)直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積-1×10.57（平方厘米）。上頁(yè)圖（a）中陰影面積=0.57（平方厘米）。答：陰影面積為0.57平方厘米。上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質(zhì)來(lái)分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題.如果把一組事物按三種不同性質(zhì)來(lái)分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個(gè)數(shù)的公式該是什么樣的呢？我們?nèi)杂脠D形來(lái)說(shuō)明它具有與公式（1）類似的公式：ABC=ABC-AB-AC-BCABC， （2）其中ABC=A（BC），ABC=A（BC）.圖中三個(gè)圓A、B、C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合，并如圖用M1、M2、M3、M7表示由三個(gè)圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個(gè)數(shù)，可見(jiàn)：ABCM1M2+M7（M1M4M6M7）+（M2M4M5M7）+（M3M5M6M7）-（M4+M7）+（M5+M7）+（M6M7）M7ABC-AB-BC-AC+ABC，即公式（2）成立。事實(shí)上這個(gè)規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來(lái)分類的情形.設(shè)集合M中的每個(gè)元素至少具有t種性質(zhì)中的一種，用n1表示各個(gè)具有1種性質(zhì)的集合中的元素個(gè)數(shù)的和，n2表示各個(gè)具有2種性質(zhì)的集合中元素個(gè)數(shù)的和，nt表示具有t種性質(zhì)的集合中元素的個(gè)數(shù)，則集合M中元素的個(gè)數(shù)m為：m=n1-n2n3-n4+±nt最后一項(xiàng)當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)取“-”號(hào)，否則取“”號(hào)。例9 某校有學(xué)生960人，其中510人訂閱“中國(guó)少年報(bào)”，330人訂閱“少年文藝”，120人訂閱“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報(bào)”；其中有270人訂閱兩種報(bào)刊，有58人訂閱三種報(bào)刊.問(wèn)這個(gè)學(xué)校中沒(méi)有訂閱任何報(bào)刊的學(xué)生有多少人？解：設(shè)A訂“中國(guó)少年報(bào)”的學(xué)生，B=訂“少年文藝”的學(xué)生，C=訂“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報(bào)”的學(xué)生，I=全校學(xué)生，=212（人）。答：全校有212名學(xué)生沒(méi)訂閱任何報(bào)刊。解：如右圖，設(shè)這次競(jìng)賽共有k道題，用集合A、B分別表示甲、乙答錯(cuò)的題目.圖中字母a、b、c、d分別表示集合A、B在全部題目作成的集合I中形成的各個(gè)無(wú)重復(fù)部分的元素個(gè)數(shù)，可見(jiàn)d為問(wèn)題所求.依題意列方程：注意到a、b、c、d均表示題目的道數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)或零，因此k為12的倍數(shù)：12、24、.k=12，b1，c2，a=1，d=12-（abc）=12-（121）=8（道）。答：甲、乙兩人都對(duì)的題共8道。習(xí)題十二1. 某班有50人，會(huì)游泳的有27人，會(huì)體操的有18人，都不會(huì)的有15人.問(wèn)既會(huì)游泳又會(huì)體操的有多少人？2. 在11000這1000個(gè)自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少個(gè)？3. 五環(huán)圖中每一個(gè)環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形（圖中陰影部分）的面積相等.已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米.求每個(gè)小曲邊四邊形的面積。4. 某班全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳和籃球三項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，有4個(gè)學(xué)生這三項(xiàng)均未達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目及人數(shù)如下表：?jiǎn)栠@個(gè)班有多少名學(xué)生？5有100位學(xué)生回答A、B兩題.A、B兩題都沒(méi)回答對(duì)的有10人，有75人答對(duì)A題，83人答對(duì)B題，問(wèn)有多少人A、B兩題都答對(duì)？第 6 頁(yè)