第第4 4節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)最新考綱最新考綱1.1.以立體幾何的定義、公理和定以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點理為出發(fā)點, ,認識和理解空間中線認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. .2.2.能運用公理、定理和已獲得的能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題行關(guān)系的簡單命題. .考點專項突破考點專項突破知識鏈條完善知識鏈條完善解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來 【教材導讀】【教材導讀】 1.1.若直線若直線a a與平面與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行是否有內(nèi)無數(shù)條直線平行是否有a?a?提示提示: :不一定不一定, ,有可能有可能a a.2.2.如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都平行于另一個平面如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都平行于另一個平面, ,那么兩個平面一那么兩個平面一定平行嗎定平行嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,如果這無數(shù)條直線都平行如果這無數(shù)條直線都平行, ,則這兩個平面可能相交則這兩個平面可能相交, ,此時此時這無數(shù)條直線都平行于交線這無數(shù)條直線都平行于交線. .3.3.直線與直線平行有傳遞性直線與直線平行有傳遞性, ,那么平面與平面的平行有傳遞性嗎那么平面與平面的平行有傳遞性嗎? ?提示提示: :有有, ,即三個不重合的平面即三個不重合的平面,若若,則則.知識梳理知識梳理1.1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理此此 平面內(nèi)的平面內(nèi)的 交線交線 2.2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理abP相交直相交直 線線 平行平行 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.如果兩個平面平行如果兩個平面平行, ,那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面?zhèn)€平面. .2.2.垂直于同一條直線的兩個平面平行垂直于同一條直線的兩個平面平行. .3.3.夾在兩個平行平面間的平行線段相等夾在兩個平行平面間的平行線段相等. .對點自測對點自測1.1.下列說法中正確的是下列說法中正確的是( ( ) )一條直線如果和一個平面平行一條直線如果和一個平面平行, ,它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行; ;一條直線和一個平面平行一條直線和一個平面平行, ,它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點; ;過直線外一點過直線外一點, ,有且僅有一個平面和已知直線平行有且僅有一個平面和已知直線平行; ;如果直線如果直線l l和平面和平面平行平行, ,那么過平面那么過平面內(nèi)一點和直線內(nèi)一點和直線l l平行的直線在平行的直線在內(nèi)內(nèi). .(A)(A)(B)(B)(C)(C) (D) (D)D D 解析解析: :由線面平行的性質(zhì)定理知由線面平行的性質(zhì)定理知正確正確; ;由直線與平面平行的定義由直線與平面平行的定義知知正確正確; ;錯誤錯誤, ,因為經(jīng)過一點可作一直線與已知直線平行因為經(jīng)過一點可作一直線與已知直線平行, ,而經(jīng)過而經(jīng)過這條直線可作無數(shù)個平面這條直線可作無數(shù)個平面. .2.(2.(20152015安徽卷安徽卷) )已知已知m,nm,n是兩條不同直線是兩條不同直線,是兩個不同平面是兩個不同平面, ,則下列則下列命題正確的是命題正確的是( ( ) )(A)(A)若若,垂直于同一平面垂直于同一平面, ,則則與與平行平行(B)(B)若若m,nm,n平行于同一平面平行于同一平面, ,則則m m與與n n平行平行(C)(C)若若,不平行不平行, ,則在則在內(nèi)不存在與內(nèi)不存在與平行的直線平行的直線(D)(D)若若m,nm,n不平行不平行, ,則則m m與與n n不可能垂直于同一平面不可能垂直于同一平面解析解析: :若若,垂直于同一個平面垂直于同一個平面,則則,可以都過可以都過的同一條垂的同一條垂線線, ,即即,可以相交可以相交, ,故故A A錯錯; ;若若m,nm,n平行于同一個平面平行于同一個平面, ,則則m m與與n n可能平可能平行行, ,也可能相交也可能相交, ,還可能異面還可能異面, ,故故B B錯錯; ;若若,不平行不平行, ,則則,相交相交, ,設(shè)設(shè)=l,=l,在在內(nèi)存在直線內(nèi)存在直線a,a,使使al,al,則則a,a,故故C C錯錯; ;從原命題的逆從原命題的逆否命題進行判斷否命題進行判斷, ,若若m m與與n n垂直于同一個平面垂直于同一個平面, ,由線面垂直的性質(zhì)定理由線面垂直的性質(zhì)定理知知mn,mn,故故D D正確正確. .D D 3.3.下列命題中下列命題中, ,錯誤的是錯誤的是( ( ) )(A)(A)一條直線與兩個平行平面中的一個相交一條直線與兩個平行平面中的一個相交, ,則必與另一個平面相交則必與另一個平面相交(B)(B)平行于同一平面的兩個不同平面平行平行于同一平面的兩個不同平面平行(C)(C)如果平面如果平面不垂直平面不垂直平面,那么平面那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平內(nèi)一定不存在直線垂直于平面面(D)(D)若直線若直線l l不平行平面不平行平面,則在平面則在平面內(nèi)不存在與內(nèi)不存在與l l平行的直線平行的直線解析解析: :A A中中, ,如果已知直線與另一個平面不相交如果已知直線與另一個平面不相交, ,則有兩種情形則有兩種情形: :在平面在平面內(nèi)或與平面平行內(nèi)或與平面平行, ,不管哪種情形都得出這條直線與第一個平面不能相不管哪種情形都得出這條直線與第一個平面不能相交交, ,出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾, ,故故A A正確正確;B;B是兩個平面平行的一種判定定理是兩個平面平行的一種判定定理,B,B正確正確;C;C中中, ,如果平面如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)有一條直線垂直于平面,則平面則平面垂直于平面垂直于平面(這是這是面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理),),故故C C正確正確;D;D是錯誤的是錯誤的, ,事實上事實上, ,直線直線l l不平行平面不平行平面,可能有可能有l(wèi) l,則則內(nèi)有無數(shù)條直線與內(nèi)有無數(shù)條直線與l l平行平行. .D D 4.(4.(20162016全國全國卷卷),),是兩個平面是兩個平面,m,n,m,n是兩條直線是兩條直線, ,有下列四個命題有下列四個命題: :如果如果mn,m,n,mn,m,n,那么那么.如果如果m,n,m,n,那么那么mn.mn.如果如果,m,m,那么那么m.m.如果如果mn,mn,那么那么m m與與所成的角和所成的角和n n與與所成的角相等所成的角相等. .其中正確的命題有其中正確的命題有.(.(填寫所有正確命題的編號填寫所有正確命題的編號)解析解析: :可能有可能有m,m,即即,得得錯錯, ,正確正確. .答案答案: :5.5.如圖所示如圖所示, ,在四面體在四面體ABCDABCD中中,M,N,M,N分別是分別是ACD,ACD,BCDBCD的重心的重心, ,則四面體則四面體的四個面中與的四個面中與MNMN平行的是平行的是.答案答案: :平面平面ABCABC、平面、平面ABDABD考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識 考點一考點一 與平行相關(guān)命題的判定與平行相關(guān)命題的判定【例【例1 1】 導學號導學號 18702363 18702363 已知直線已知直線l,m,l,m,其中只有其中只有m m在平面在平面內(nèi)內(nèi), ,則則“l(fā)”l”是是“l(fā)m”lm”的的( () )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: :若若l,l,則則l l與與內(nèi)的直線平行或異面內(nèi)的直線平行或異面; ;若若lm,llm,l不在平面不在平面內(nèi)內(nèi), ,則則l,l,所以所以“l(fā)”l”是是“l(fā)m”lm”的必要不充分條件的必要不充分條件. .故選故選B.B.反思歸納反思歸納 在解決平行關(guān)系基本問題時在解決平行關(guān)系基本問題時(1)(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件, ,如線面平行的條件中線在如線面平行的條件中線在面外易被忽視面外易被忽視. .(2)(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形, ,結(jié)合圖形作出判斷結(jié)合圖形作出判斷. .(3)(3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確會舉反例或用反證法推斷命題是否正確. .【即時訓練】【即時訓練】 已知直線已知直線a a與直線與直線b b平行平行, ,直線直線a a與平面與平面平行平行, ,則直線則直線b b與與的關(guān)系為的關(guān)系為( () )(A)(A)平行平行 (B)(B)相交相交(C)(C)直線直線b b在平面在平面內(nèi)內(nèi)(D)(D)平行或直線平行或直線b b在平面在平面內(nèi)內(nèi)解析解析: :依題意依題意, ,直線直線a a必與平面必與平面內(nèi)的某直線平行內(nèi)的某直線平行, ,又又ab,ab,因此直線因此直線b b與與平面平面的位置關(guān)系是平行或直線的位置關(guān)系是平行或直線b b在平面在平面內(nèi)內(nèi). .故選故選D.D.考點二考點二 直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)考查角度考查角度1:1:證明直線與平面平行證明直線與平面平行【例【例2 2】 ( (20162016安徽池州模擬安徽池州模擬) )如圖所示如圖所示, ,斜三棱柱斜三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,點點D,DD,D1 1分別為分別為AC,AAC,A1 1C C1 1的中點的中點. .(1)(1)證明證明:AD:AD1 1平面平面BDCBDC1 1; ; 證明證明: :(1)(1)因為因為D D1 1,D,D分別為分別為A A1 1C C1 1與與ACAC的中點的中點, ,四邊形四邊形ACCACC1 1A A1 1為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以C C1 1D D1 1 DA,DA,所以四邊形所以四邊形ADCADC1 1D D1 1為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以ADAD1 1CC1 1D,D,又又ADAD1 1 平面平面BDCBDC1 1,C,C1 1D D平面平面BDCBDC1 1, ,所以所以ADAD1 1平面平面BDCBDC1 1. . 證明證明: : (2)(2)連接連接D D1 1D,D,因為因為BBBB1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1,BB,BB1 1平面平面BBBB1 1D D1 1D,D,平面平面ACCACC1 1A A1 1平面平面BBBB1 1D D1 1D=DD=D1 1D,D,所以所以BBBB1 1DD1 1D,D,又又D D1 1,D,D分別為分別為A A1 1C C1 1與與ACAC的中點的中點, ,所以所以BBBB1 1=DD=DD1 1, ,故四邊形故四邊形BDDBDD1 1B B1 1為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以BDBBDB1 1D D1 1, ,又又BDBD 平面平面ABAB1 1D D1 1,B,B1 1D D1 1平面平面ABAB1 1D D1 1, ,所以所以BDBD平面平面ABAB1 1D D1 1. .(2)(2)證明證明:BD:BD平面平面ABAB1 1D D1 1. . 證明直線與平面平行常用的方法有證明直線與平面平行常用的方法有(1)(1)定義法定義法: :一般用反證法一般用反證法; ;(2)(2)判定定理法判定定理法: :關(guān)鍵是在平面內(nèi)找關(guān)鍵是在平面內(nèi)找( (或作或作) )一條直線與已知直線平行一條直線與已知直線平行, ,證明時注意用符號語言敘述證明過程證明時注意用符號語言敘述證明過程; ;(3)(3)性質(zhì)判定法性質(zhì)判定法: :即兩平面平行時即兩平面平行時, ,其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面于另一個平面. .反思歸納反思歸納 (1)(1)證明證明: :因為因為BCBC平面平面GEFH,BCGEFH,BC平面平面PBC,PBC,且平面且平面PBCPBC平面平面GEFH=GH,GEFH=GH,所以所以GHBC.GHBC.同理可證同理可證EFBC.EFBC.因此因此GHEF.GHEF.考查角度考查角度2:2:直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例【例3 3】 ( (20142014安徽卷安徽卷) )如圖如圖, ,四棱錐四棱錐P P- -ABCDABCD的底面是邊長為的底面是邊長為8 8的正方形的正方形, ,四條側(cè)棱長均為四條側(cè)棱長均為2 .2 .點點G,E,F,HG,E,F,H分別是棱分別是棱PB,AB,CD,PCPB,AB,CD,PC上共面的四點上共面的四點, ,平面平面GEFHGEFH平面平面ABCD,BCABCD,BC平面平面GEFH.GEFH.(1)(1)證明證明:GHEF;:GHEF;17(2)(2)解解: :連接連接AC,BDAC,BD交于點交于點O,BDO,BD交交EFEF于點于點K,K,連接連接OP,GK.OP,GK.因為因為PA=PC,OPA=PC,O是是ACAC的中點的中點, ,所以所以POAC,POAC,同理可得同理可得POBD.POBD.又又BDAC=O,BDAC=O,且且AC,BDAC,BD都在底面內(nèi)都在底面內(nèi), ,所以所以POPO底面底面ABCD.ABCD.又因為平面又因為平面GEFHGEFH平面平面ABCD,ABCD,且且POPO 平面平面GEFH,GEFH,所以所以POPO平面平面GEFH.GEFH.因為平面因為平面PBDPBD平面平面GEFH=GK,GEFH=GK,所以所以POGK,POGK,且且GKGK底面底面ABCD,ABCD,從而從而GKEF.GKEF.所以所以GKGK是梯形是梯形GEFHGEFH的高的高. .(2)(2)若若EB=2,EB=2,求四邊形求四邊形GEFHGEFH的面積的面積. .反思歸納反思歸納 (1)(1)線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個平面與該平面的交線平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個平面與該平面的交線平行. .(2)(2)證明線線平行的常用方法證明線線平行的常用方法利用公理利用公理4:4:找第三線找第三線, ,只需證明兩線都與第三線平行即可只需證明兩線都與第三線平行即可. .利用三角形的中位線的性質(zhì)利用三角形的中位線的性質(zhì). .構(gòu)建平行四邊形利用其對邊平行構(gòu)建平行四邊形利用其對邊平行. .考點三考點三 平面與平面平行的判定與性質(zhì)平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例【例4 4】 導學號導學號 18702364 18702364 ( (20162016河北衡水模擬河北衡水模擬) )如圖所示的幾何體如圖所示的幾何體ABCDFEABCDFE中中, ,ABC,ABC,DFEDFE都是等邊三角形都是等邊三角形, ,且所在平面平行且所在平面平行, ,四邊形四邊形BCEDBCED是是邊長為邊長為2 2的正方形的正方形, ,且所在平面垂直于平面且所在平面垂直于平面ABC.ABC.(1)(1)求幾何體求幾何體ABCDFEABCDFE的體積的體積; ;(2)(2)證明證明: :平面平面ADEADE平面平面BCF.BCF.(2)(2)證明證明: :由由(1)(1)知知AOFG,AO=FG,AOFG,AO=FG,所以四邊形所以四邊形AOFGAOFG為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以AGOF.AGOF.又因為又因為DEBC,DEAG=G,DEDEBC,DEAG=G,DE平面平面ADE,AGADE,AG平面平面ADE,FOBC=O,FOADE,FOBC=O,FO平面平面BCF,BCBCF,BC平面平面BCF,BCF,所以平面所以平面ADEADE平面平面BCF.BCF. 判定平面與平面平行的方法判定平面與平面平行的方法(1)(1)利用定義利用定義; ;(2)(2)利用面面平行的判定定理利用面面平行的判定定理; ;(3)(3)利用面面平行的判定定理的推論利用面面平行的判定定理的推論; ;(4)(4)面面平行的傳遞性面面平行的傳遞性(,(,););(5)(5)利用線面垂直的性質(zhì)利用線面垂直的性質(zhì)(l,l(l,l).).反思歸納反思歸納 【即時訓練】【即時訓練】 導學號導學號 1870236518702365 如圖如圖, ,幾何體幾何體ABCDABCD- -B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,四邊形四邊形ABCDABCD為菱形為菱形,BAD=60,BAD=60,AB=a,AB=a,平面平面B B1 1C C1 1D D1 1平面平面ABCD,BBABCD,BB1 1,CC,CC1 1,DD,DD1 1都垂都垂直于平面直于平面ABCD,ABCD,且且BBBB1 1= a,E= a,E為為CCCC1 1的中點的中點. . (1) (1)求證求證: :DBDB1 1E E為等腰直角三角形為等腰直角三角形; ;2(2)(2)求證求證:AC:AC平面平面DBDB1 1E.E.備選例題備選例題【例【例1 1】 如圖如圖, ,已知直角梯形已知直角梯形ACDEACDE所在的平面垂直于平面所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ABC,BAC=ACD=90ACD=90,EAC=60,EAC=60,AB=AC=AE.,AB=AC=AE.(1)(1)在直線在直線BCBC上是否存在一點上是否存在一點P,P,使得使得DPDP平面平面EAB?EAB?請證明你的結(jié)論請證明你的結(jié)論; ;(2)(2)求平面求平面EBDEBD與平面與平面ABCABC所成的銳二面角所成的銳二面角的余弦值的余弦值. .【例【例2 2】 ( (20162016南通階段測試南通階段測試) )一個正方體的平面展開圖及該正方體的直一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示觀圖的示意圖如圖所示. .(1)(1)請將字母請將字母F,G,HF,G,H標記在正方體相應(yīng)的頂點處標記在正方體相應(yīng)的頂點處( (不需說明理由不需說明理由););解解: :(1)(1)點點F,G,HF,G,H的位置如圖所示的位置如圖所示. .(2)(2)判斷平面判斷平面BEGBEG與平面與平面ACHACH的位置關(guān)系的位置關(guān)系, ,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. .解解: :(2)(2)平面平面BEGBEG平面平面ACH,ACH,證明如下證明如下: :因為因為ABCDABCD- -EFGHEFGH為正方體為正方體, ,所以所以BCFG,BC=FG,BCFG,BC=FG,又又FGEH,FG=EH,FGEH,FG=EH,所以所以BCEH,BC=EH,BCEH,BC=EH,于是四邊形于是四邊形BCHEBCHE為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以BECH.BECH.又又CHCH平面平面ACH,BEACH,BE 平面平面ACH,ACH,所以所以BEBE平面平面ACH.ACH.同理同理BGBG平面平面ACH.ACH.又又BEBG=B,BEBG=B,所以平面所以平面BEGBEG平面平面ACH.ACH.線、面平行中的探索性問題線、面平行中的探索性問題解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化【典例】【典例】(12(12分分) ) ( (20142014四川卷四川卷) )在如圖所示的多面體中在如圖所示的多面體中, ,四邊形四邊形ABBABB1 1A A1 1和和ACCACC1 1A A1 1都為矩形都為矩形. .(1)(1)若若ACBC,ACBC,證明證明: :直線直線BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1; ;(2)(2)設(shè)設(shè)D,ED,E分別是線段分別是線段BC,CCBC,CC1 1的中點的中點, ,在線段在線段ABAB上是否存在一點上是否存在一點M,M,使直線使直線DEDE平面平面A A1 1MC?MC?請證明你的結(jié)論請證明你的結(jié)論. .審題指導審題指導關(guān)鍵信息關(guān)鍵信息信息轉(zhuǎn)化信息轉(zhuǎn)化四邊形四邊形ABBABB1 1A A1 1和四邊形和四邊形ACCACC1 1A A1 1都都是矩形是矩形AAAA1 1平面平面ABCABCAAAA1 1BCBCD,ED,E分別是線段分別是線段BC,CCBC,CC1 1的中點的中點存在點存在點M M有可能是有可能是ABAB的中點的中點, ,利用中利用中位線得線線平行位線得線線平行, ,從而得線面平行從而得線面平行解題突破解題突破:(1):(1)利用兩個四邊形是矩形得利用兩個四邊形是矩形得AAAA1 1AC,AAAC,AA1 1AB,AB,從而從而AAAA1 1平平面面ABC,ABC,得得AAAA1 1BC,BC,從而證從而證BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1;(2);(2)充分利用三角形中位線充分利用三角形中位線得線線平行得線線平行, ,從而得線面平行從而得線面平行滿分展示滿分展示: :(1)(1)證明證明: :因為四邊形因為四邊形ABBABB1 1A A1 1和四邊形和四邊形ACCACC1 1A A1 1都是矩形都是矩形, ,所以所以AAAA1 1AB,AAAB,AA1 1AC.AC.因為因為AB,ACAB,AC為平面為平面ABCABC內(nèi)兩條相交直線內(nèi)兩條相交直線, ,所以所以AAAA1 1平面平面ABC.ABC.2 2分分因為直線因為直線BCBC平面平面ABC,ABC,所以所以AAAA1 1BC.BC.3 3分分又由已知又由已知,ACBC,AA,ACBC,AA1 1,AC,AC為平面為平面ACCACC1 1A A1 1內(nèi)兩條相交的直線內(nèi)兩條相交的直線, ,所以所以BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1. .6 6分分答題模板答題模板: :解決立體幾何中的探索性問題的步驟解決立體幾何中的探索性問題的步驟第一步第一步: :寫出探求的最后結(jié)論寫出探求的最后結(jié)論. .第二步第二步: :證明探求結(jié)論的正確性證明探求結(jié)論的正確性. .第三步第三步: :給出明確答案給出明確答案. .第四步第四步: :反思回顧反思回顧, ,查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范. .