專題11直角三角形探究 垂直是常見(jiàn)的兩直線的位置關(guān)系 常常以直角三角形為載體來(lái)編制綜合題 作為壓軸題出現(xiàn) 一是以直角三角形為背景 結(jié)合動(dòng)點(diǎn) 動(dòng)線和動(dòng)面 來(lái)探究函數(shù)圖象問(wèn)題 探究最值問(wèn)題 探究開放性問(wèn)題 二是探究直角三角形 如兩線垂直關(guān)系 等腰直角三角形等的存在性問(wèn)題 解題時(shí)需要畫出各種狀態(tài)圖形 觀察分析圖形 把復(fù)雜的圖形分解成兩直線垂直的基本圖形 利用勾股定理 三角函數(shù)等知識(shí) 把各相關(guān)線段代數(shù)化 轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題 方程問(wèn)題來(lái)解決 分析問(wèn)題時(shí)還需注意對(duì)圖形的分類 一般以直角頂點(diǎn)來(lái)分類 按直角頂點(diǎn)分類畫出圖形 利用直角三角形的勾股定理 三角形相似來(lái)解決 二 動(dòng)點(diǎn)在拋物線上5 2017 預(yù)測(cè) 如圖 拋物線L y ax2 bx c與x軸交于A B 3 0 兩點(diǎn) A在B的左側(cè) 與y軸交于點(diǎn)C 0 3 已知對(duì)稱軸x 1 1 求拋物線L的解析式 2 設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任意一點(diǎn) 點(diǎn)Q在直線l x 3上 PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 若能 求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方和下方時(shí) 注意等腰直角三角形的圖形特點(diǎn) 利用全等得出線段的等量關(guān)系 利用勾股定理轉(zhuǎn)化為方程 6 2017 預(yù)測(cè) 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知拋物線y x2 bx c過(guò)A B C三點(diǎn) 點(diǎn)A的坐標(biāo)是 3 0 點(diǎn)C的坐標(biāo)是 0 3 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上 1 b c 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 2 是否存在點(diǎn)P 使得 ACP是以AC為直角邊的直角三角形 若存在 求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 說(shuō)明理由 2 3 1 0 解 2 存在 第一種情況 當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí) 過(guò)點(diǎn)C作CP1 AC 交拋物線于點(diǎn)P1 過(guò)點(diǎn)P1作y軸的垂線 垂足為M OA OC AOC 90 OCA OAC 45 ACP1 90 MCP1 90 45 45 CP1M MC MP1 由 1 可得拋物線為y x2 2x 3 設(shè)P1 m m2 2m 3 則m 3 m2 2m 3 解得m1 0 舍去 m2 1 m2 2m 3 4 則P1的坐標(biāo)是 1 4 第二種情況 當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí) 過(guò)點(diǎn)A作AP2 AC 交拋物線于點(diǎn)P2 過(guò)點(diǎn)P2作y軸的垂線 垂足是N AP2交y軸于點(diǎn)F P2N x軸 由 CAO 45 OAP2 45 FP2N 45 AO OF 3 P2N NF 設(shè)P2 n n2 2n 3 則 n n2 2n 3 3 解得n1 3 舍去 n2 2 n2 2n 3 5 則P2的坐標(biāo)是 2 5 綜上所述 符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是 1 4 或 2 5 三 動(dòng)點(diǎn)在圓周上7 在平面直角坐標(biāo)系中 四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O 0 0 A 5 0 B m 2 C m 5 2 是否存在這樣的m 使得在邊BC上總存在點(diǎn)P 使 OPA 90 若存在 求出m的取值范圍 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 由題意得到BC 5 且與x軸平行 使 OPA 90 即求點(diǎn)P在OA為直徑的圓周上 8 如圖 AB是 O的直徑 弦BC 2cm ABC 60 1 求 O的直徑 2 若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 連結(jié)CD 當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí) CD與 O相切 3 若動(dòng)點(diǎn)E以2cm s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng) 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 連結(jié)EF 當(dāng)t為何值時(shí) BEF為直角三角形 解 1 O的直徑為4cm 2 當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm時(shí) CD與 O相切 3 根據(jù)題意得BE 4 2t BF t 如圖 當(dāng)EF BC時(shí) BEF BAC BE BA BF BC 即 4 2t 4 t 2 解得t 1 如圖 當(dāng)EF BA時(shí) BEF BCA BE BC BF BA 即 4 2t 2 t 4 解得t 1 6 當(dāng)t 1s或t 1 6s時(shí) BEF為直角三角形 在動(dòng)態(tài)背景下的直角三角形存在性問(wèn)題 解題關(guān)鍵是按直角頂點(diǎn)分類 畫出各種狀態(tài)圖 轉(zhuǎn)化為方程解決 列方程的方法常常用到勾股定理 三角形相似等 10 2017 預(yù)測(cè) 如圖 對(duì)稱軸為直線x 1的拋物線y x2 bx c與x軸相交于A B兩點(diǎn) 與y軸的交于C點(diǎn) 其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為 3 0 1 求拋物線的表達(dá)式 2 若將此拋物線向右平移m個(gè)單位 A B C三點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置也相應(yīng)的發(fā)生移動(dòng) 在移動(dòng)過(guò)程中 BOC能否成為等腰直角三角形 若能 求出m的值 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 y x2 2x 3 2 向右平移后B m 1 0 C m m2 2m 3 m2 2m 3 m 1 解得m 2 m 1 舍去 m2 2m 3 m 1 解得m 4 m 1 舍去 綜上可知 m的值為2或4 11 如圖 在 ABC中 AB 5 BC 3 AC 4 動(dòng)點(diǎn)E 與點(diǎn)A C不重合 在AC邊上 EF AB交BC于點(diǎn)F 試問(wèn)在AB上是否存在點(diǎn)P 使得 EFP為等腰直角三角形 若不存在 請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 若存在 請(qǐng)求出EF的長(zhǎng) 等腰直角三角形蘊(yùn)含兩個(gè)條件 即等腰和直角 在解題時(shí)可以先說(shuō)明是等腰三角形 然后證明頂角是直角 也可以先作垂直 再說(shuō)明是等腰三角形 或者畫出狀態(tài)圖 利用 等腰和直角 來(lái)求解