數(shù)學(xué) 專題5折疊問題 折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180 使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊 其中 折 是過程 疊 是結(jié)果 折疊的問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對稱變換 折疊更突出了軸對稱知識的應(yīng)用 折疊 或翻折 在三大圖形變換中是比較重要的 考查的較多 無論是選擇題 填空題 還是解答題都有以折疊為背景的試題 常常把矩形 正方形的紙片放置于直角坐標(biāo)系中 與函數(shù) 直角三角形 相似形等知識結(jié)合 貫穿其他幾何 代數(shù)知識來設(shè)題 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以得到 折疊重合部分一定全等 折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸 互相重合兩點(diǎn) 對稱點(diǎn) 之間的連線必被折痕垂直平分 對稱兩點(diǎn)與對稱軸上任意一點(diǎn)連結(jié)所得的兩條線段相等 對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等 在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論 借助輔助線構(gòu)造直角三角形 結(jié)合相似形 銳角三角函數(shù)等知識來解決有關(guān)折疊問題 1 以下四種沿AB折疊的方法中 不一定能判定紙帶兩條邊線a b互相平行的是 A 如圖1 展開后測得 1 2B 如圖2 展開后測得 1 2且 3 4C 如圖3 測得 1 2D 如圖4 展開后再沿CD折疊 兩條折痕的交點(diǎn)為O 測得OA OB OC OD 解析 根據(jù)折疊后圖形的不變性得出等量關(guān)系 對每一選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷 C 2 如圖 矩形ABCD中 AB 3 BC 5 點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn) 點(diǎn)P與點(diǎn)B C都不重合 現(xiàn)將 PCD沿直線PD折疊 使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處 過點(diǎn)P作 BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E 設(shè)BP x BE y 則下列圖象中 能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 解析 利用折疊的性質(zhì) 說明 BEP與 CPD相似 得出y與x的關(guān)系式 C 4 如圖 E是矩形ABCD中BC邊的中點(diǎn) 將 ABE沿AE折疊到 AEF F在矩形ABCD內(nèi)部 延長AF交DC于G點(diǎn) 若 AEB 55 求 DAF的度數(shù) 解析 由 ABE沿AE折疊到 AEF 得出 BAE FAE 由 AEB 55 ABE 90 求出 BAE 解 ABE沿AE折疊到 AEF BAE FAE AEB 55 ABE 90 BAE 90 55 35 DAF BAD BAE FAE 90 35 35 20 5 如圖 在邊長為6的正方形ABCD中 E是邊CD的中點(diǎn) 將 ADE沿AE對折至 AFE 延長EF交BC于點(diǎn)G 連結(jié)AG 1 求證 ABG AFG 2 求tan EGC的值 解析 1 根據(jù)正方形和折疊對稱的性質(zhì) 應(yīng)用HL即可證明 ABG AFG HL 2 根據(jù)全等三角形的性質(zhì) 得到BG FG 設(shè)BG FG x 將GC和EG用x的代數(shù)式表示 從而在Rt CEG中應(yīng)用勾股定理列方程求解即可 8 2017 預(yù)測 如圖 在邊長為2的菱形ABCD中 A 60 點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn) 連結(jié)MC 將菱形ABCD翻折 使點(diǎn)A落在線段CM上的點(diǎn)E處 折痕交AB于點(diǎn)N 求線段EC的長 解析 過點(diǎn)M作MF DC于點(diǎn)F 根據(jù)在邊長為2的菱形ABCD中 A 60 M為AD中點(diǎn) 得到2MD AD CD 2 從而得到 FDM 60 FMD 30 進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出EC的長即可 9 原創(chuàng)題 如圖 正方形ABCD的邊長為9 將正方形折疊 使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處 折痕為GH 若BE EC 2 1 求線段CH的長 解析 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DH EH 在直角 CEH中 若設(shè)CH x 則DH EH 9 x CE 3 可以根據(jù)勾股定理列出方程 從而解出CH的長 10 2016 紹興 如圖 矩形ABCD中 AB 4 BC 2 E是AB的中點(diǎn) 直線l平行于直線EC 且直線l與直線EC之間的距離為2 點(diǎn)F在矩形ABCD邊上 將矩形ABCD沿直線EF折疊 使點(diǎn)A恰好落在直線l上 求DF的長 12 將一張寬為4cm的長方形紙片 足夠長 折疊成如圖所示圖形 重疊部分是一個三角形 1 判斷該三角形的類型 并證明你的結(jié)論 2 求這個三角形面積的最小值 解析 當(dāng)AC AB時 重疊三角形面積最小 此時 ABC是等腰直角三角形 13 如圖 已知正方形ABCD的邊長為12 BE EC 將正方形邊CD沿DE折疊到DF 延長EF交AB于點(diǎn)G 連結(jié)DG 求 BEF的面積 解析 由折疊和正方形的性質(zhì) 在Rt BEG中 由勾股定理求出AG后再求 BGE的面積 最后由 BEF與 BGE的面積關(guān)系求 BEF的面積 15 如圖 在矩形ABCD中 E是AB邊的中點(diǎn) 沿EC對折矩形ABCD 使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處 折痕為EC 連結(jié)AP并延長AP交CD于點(diǎn)F 1 求證 四邊形AECF為平行四邊形 2 若 AEP是等邊三角形 連結(jié)BP 求證 APB EPC 3 若矩形ABCD的邊AB 6 BC 4 求 CPF的面積 解析 1 由折疊的性質(zhì)得到BE PE EC與PB垂直 利用兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形即可得證 2 由折疊的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到一對角相等 根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等 再由AP EB 利用AAS即可得證 3 過P作PM CD 分別求出高PM和底邊FC 利用三角形面積公式求解 16 如圖1 在矩形ABCD中 AB 4 AD 3 將矩形沿直線AC折疊 使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處 AE交CD于點(diǎn)F 連結(jié)DE 1 求證 DEC EDA 2 求DF的值 3 如圖2 若P為線段EC上一動點(diǎn) 過點(diǎn)P作 AEC的內(nèi)接矩形 使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上 頂點(diǎn)M N落在線段AC上 當(dāng)線段PE的長為何值時 矩形PQMN的面積最大 并求出其最大值 解決折疊問題時 一是要對圖形折疊有準(zhǔn)確定位 抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系 從點(diǎn) 線 面三個方面入手 發(fā)現(xiàn)其中變化的量和不變的量 發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系 二是要把握折疊的變化規(guī)律 充分挖掘圖形的幾何性質(zhì) 將其中基本的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來