第第10課指數(shù)式與指數(shù)函數(shù)課指數(shù)式與指數(shù)函數(shù)課 前 熱 身激活思維4 3. (必修1P67練習(xí)1改編)若函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_. 【解析】由題意得a23a31且a0，a1，所以a2.2 4. (必修1P52習(xí)題1改編)當(dāng)x0時(shí)，指數(shù)函數(shù)f(x)(a1)x，且(a1)x0時(shí)，(a1)x1恒成立，所以0a11，即1a0且a1)的圖象如圖所示，那么ab_. 【解析】由圖可知，此函數(shù)過(guò)點(diǎn)(2,0)和(0，3)，則有a2b0，且1b3，解得a2，b4，所以ab2.2 (第5題) 1.指數(shù)中的相關(guān)概念 (1) n次方根 正數(shù)的奇次方根是一個(gè)_，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)_，0的奇次方根是_；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值_、符號(hào)_的數(shù)，0的偶次方根是_，負(fù)數(shù)_知識(shí)梳理正數(shù)負(fù)數(shù)0相等相反0沒(méi)有偶次方根a |a| 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a1圖象性質(zhì)定義域RR值域(0，)(0，)過(guò)定點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(0,1)，即x0時(shí)，y1過(guò)點(diǎn)(0,1)，即x0時(shí)，y1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)課 堂 導(dǎo) 學(xué)指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)冪的運(yùn)算例例 1 【精要點(diǎn)評(píng)】指數(shù)冪化簡(jiǎn)與求值的原則及要求：(1) 化簡(jiǎn)原則：化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；注意運(yùn)算的先后順序(2) 結(jié)果要求：若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示；結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)下列各式(a0，b0)： 【思維引導(dǎo)】按照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，含根式的化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再計(jì)算或化簡(jiǎn)變變 式式 【精要點(diǎn)評(píng)】若式子中既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、又有根式，則可先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算在指數(shù)式運(yùn)算中，注重運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式已知函數(shù)f(x)|2x1|. (1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 比較f(x1)與f(x)的大小 【思維引導(dǎo)】(1) 對(duì)于y|2x1|的圖象，我們通過(guò)y2x的圖象翻折得到，在翻折指數(shù)函數(shù)圖象時(shí)一定要注意漸近線也要隨之翻折，作出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解(2) 在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)，f(x1)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用例例 2 圖(1)圖(2) (例2) 【精要點(diǎn)評(píng)】(1) 指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解(2) 一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解(3) 函數(shù)yax，y|ax|和ya|x|的關(guān)系：函數(shù)yax與y|ax|是同一個(gè)函數(shù)的不同表現(xiàn)形式，函數(shù)ya|x|與yax不同，前者是一個(gè)偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x0時(shí)兩函數(shù)圖象重合畫(huà)出函數(shù)y2|x|的圖象，其圖象有什么特征？根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間 【解答】當(dāng)x0時(shí)，y2|x|2x； 所以函數(shù)y2|x|的圖象如圖所示 由圖象可知，y2|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且值域是1，)，單調(diào)減區(qū)間是(，0，單調(diào)增區(qū)間是0，)變式變式1(2016南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州二調(diào))已知函數(shù)f(x)loga(xb)(a0且a1，bR)的圖象如圖所示，那么ab的值是_變式變式2(變式2) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例例 3 (2) 令h(x)ax24x3， 由于f(x)有最大值3， 所以h(x)應(yīng)有最小值1， 【精要點(diǎn)評(píng)】求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決對(duì)于形如yag(x)的復(fù)合函數(shù)，關(guān)于單調(diào)區(qū)間有以下結(jié)論：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)yag(x)的單調(diào)性和yg(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)0a0，且axbx0，b0)，則a與b的大小關(guān)系是_ 【解析】取x1，則有ab1.ab 變式變式2指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例例 4 【解答】(1) 由ax10，得ax1，所以x0， 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0 (2) 對(duì)于定義域內(nèi)任意x，有變變 式式 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，且x1x2， 所以2x12x2，即2x12x20，得2x110,2x2 10， 所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)1成立，求a的取值范圍； (3) 當(dāng)a0，且x0,15時(shí)，不等式f(x1)f(2xa)2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【思維引導(dǎo)】以指數(shù)函數(shù)為載體，先經(jīng)過(guò)變形轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、基本不等式的問(wèn)題，然后再結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行處理備用例題備用例題 【解答】(1) F(x)2xa22x，x(，0 令2xm，m(0,1， 則F(m)mam2，m(0,1 當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(m)max1a. (2) 令2xt，即存在t(0,1，使得|t2at|1， (3) 由f(x1)f(2xa)2)，得x1(2xa)2恒成立 【精要點(diǎn)評(píng)】對(duì)于綜合性的問(wèn)題，要進(jìn)行合理且必要的轉(zhuǎn)化，而恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在在本題中，是將指數(shù)函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)及不等式的問(wèn)題，且問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化的思維訓(xùn)練在于平時(shí)的學(xué)習(xí)與積累課 堂 評(píng) 價(jià) 1. (2016通州中學(xué))比較大?。?.30.2,30.3，(0.3)0.6的大小關(guān)系是_(0.3)0.60.30.20，a1)的定義域和值域都是1,0，那么ab_. 3. (2015東北師大附中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|3x1|，cb3b；3b3a；3c3a2；3c3a2中，一定成立的是_(填序號(hào)) 【解析】如圖，作出y|3x1|的圖象如圖中實(shí)線部分所示，由cba且f(c)f(a)f(b)，知3c3b|3a1|3b1|，轉(zhuǎn)化為13c3a10,3c3a2，故填. (第3題) 又因?yàn)閥f(x)在R上單調(diào)遞減， 所以t22tk2t22t5在t0,5時(shí)恒成立， 所以kt24t5(t2)21在t0,5時(shí)恒成立 而當(dāng)t0,5時(shí)，1(t2)2110，所以k1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，1)