數(shù)學 第21講與圓有關(guān)的位置關(guān)系 廣西專用 1 點和圓的位置關(guān)系 設(shè)d為點P到圓心的距離 r為圓的半徑 點P在圓上 點P在圓內(nèi) 點P在圓外 2 過三點的圓 經(jīng)過不在同一直線上的三點 有且只有一個圓 經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形的外心是三邊 的交點 這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形 銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部 直角三角形的外心在斜邊中點處 鈍角三角形的外心在三角形的外部 d r d r d r 垂直平分線 3 圓的內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形的對角 互補 4 直線和圓的位置關(guān)系 1 設(shè)r是 O的半徑 d是圓心O到直線l的距離 2 切線的性質(zhì) 切線的性質(zhì)定理 圓的切線 經(jīng)過切點的半徑 推論1 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 推論2 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 3 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且 這條半徑的直線是圓的切線 4 三角形的內(nèi)切圓 和三角形三邊都 的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 內(nèi)切圓的圓心是 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊的距離 且在三角形內(nèi)部 垂直于 圓心 切點 垂直于 相切 三角形三條角平分線的交點 內(nèi)心 1 證直線為圓的切線的兩種方法 1 若知道直線和圓有公共點時 常連接公共點和圓心 證明直線垂直半徑 2 不知道直線和圓有公共點時 常過圓心向直線作垂線 證明垂線段的長等于圓的半徑 2 圓中的分類討論圓是一種極為重要的幾何圖形 由于圖形位置 形狀及大小的不確定 經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況 1 由于點在圓周上的位置的不確定而分類討論 2 由于弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論 3 由于弦的位置不確定而分類討論 4 由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論 3 常見的輔助線 1 當已知條件中有切線時 常作過切點的半徑 利用切線的性質(zhì)定理來解題 2 遇到兩條相交的切線時 切線長 常常連接切點和圓心 連接圓心和圓外的一點 連接兩切點 C 1 2016 梧州 已知半徑為5的圓 其圓心到直線的距離是3 此時直線和圓的位置關(guān)系為 A 相離B 相切C 相交D 無法確定 3 2016 玉林 如圖 AB是 O的直徑 點C D在圓上 且四邊形AOCD是平行四邊形 過點D作 O的切線 分別交OA延長線與OC延長線于點E F 連接BF 1 求證 BF是 O的切線 2 已知圓的半徑為1 求EF的長 4 2016 賀州 如圖 在 ABC中 E是AC邊上的一點 且AE AB BAC 2 CBE 以AB為直徑作 O交AC于點D 交BE于點F 1 求證 BC是 O的切線 2 若AB 8 BC 6 求DE的長 A 點評 解決此類題目的關(guān)鍵是牢記直線與圓的三種位置關(guān)系中 圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系 對應訓練 1 1 2014 梧州 已知 O的半徑是5 點A到圓心O的距離是7 則點A與 O的位置關(guān)系是 A 點A在 O上B 點A在 O內(nèi)C 點A在 O外D 點A與圓心O重合 C 2 2016 永州 如圖 給定一個半徑長為2的圓 圓心O到水平直線l的距離為d 即OM d 我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為m 如d 0時 l為經(jīng)過圓心O的一條直線 此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點 即m 4 由此可知 當d 3時 m 當m 2時 d的取值范圍是 1 1 d 3 例2 2016 百色 如圖 已知AB為 O的直徑 AC為 O的切線 OC交 O于點D BD的延長線交AC于點E 1 求證 1 CAD 2 若AE EC 2 求 O的半徑 對應訓練 2 1 2016 南寧 如圖 在Rt ABC中 C 90 BD是角平分線 點O在AB上 以點O為圓心 OB為半徑的圓經(jīng)過點D 交BC于點E 求證 AC是 O的切線 若OB 10 CD 8 求BE的長 解 連接OD BD為 ABC平分線 1 2 OB OD 1 3 2 3 OD BC ODA C C 90 ODA 90 則AC為圓O的切線 過O作OG BC 四邊形ODCG為矩形 GC OD OB 10 OG CD 8 在Rt OBG中 利用勾股定理得 BG 6 BE 2BG 12 試題在Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 若以C為圓心 R為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點 求R的值 錯解 剖析當 C與AB相切時 只有一個交點 同時要注意AB是線段 當圓的半徑R在一定范圍內(nèi)時 斜邊AB與 C相交且只有一個公共點