廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院杜妮 關(guān)于線性方程組的若干教學(xué)體會(huì) 2020 3 21 2 與線性方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)史 線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線 關(guān)于 線性方程組 的教學(xué)體會(huì) 2020 3 21 3 線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成 然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn) 最古老的線性問(wèn)題是線性方程組的解法 中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 方程 中 已經(jīng)作了比較完整的敘述 其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換 消去未知量的方法 即高斯消元法 2020 3 21 4 在西方 線性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由萊布尼茨開(kāi)創(chuàng)的 他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問(wèn)題的深入 行列式和矩陣在18 19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生 為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具 從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展 2020 3 21 5 大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題 最終往往歸結(jié)為解線性方程組 因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿(mǎn)意的進(jìn)展 現(xiàn)在 線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位 2020 3 21 6 線性方程組為主線 如何判斷方程組是否有解 有解時(shí)如何求解 解的結(jié)構(gòu) 2020 3 21 7 行列式 矩陣 初等變換 2020 3 21 8 判斷解的存在性和唯一性 定義Ax b的系數(shù)矩陣 A 增廣矩陣 解的判定 2020 3 21 9 多解時(shí) 解與解之間的關(guān)系 向量 線性相關(guān)性 基礎(chǔ)解系 解的結(jié)構(gòu) 特解 導(dǎo)出組通解 2020 3 21 10 對(duì) 線性方程組 教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì) 1 討論一個(gè)向量能否由一組向量線性表示的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問(wèn)題 線性方程組有解 2020 3 21 11 2020 3 21 12 2 對(duì)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步分析 齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成子空間 但非齊次線性方程組的解向量集合則不然 下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無(wú)關(guān)組 2020 3 21 13 2020 3 21 14 注 對(duì)非齊次線性方程組 有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱(chēng)為其基礎(chǔ)解系 所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為1時(shí) 才是方程組的解 2020 3 21 15 3 方程組Ax 0的解全是Bx 0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示 方程組Ax 0的解與Bx 0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價(jià) 2020 3 21 16 例對(duì)實(shí)矩陣Am n 證明 2020 3 21 17 4 線性映射的核 例設(shè) 定義線性映射A 則KerA即為Ax 0的解空間 注 由同構(gòu)的思想 求線性映射的核空間的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求上述KerA的問(wèn)題 2020 3 21 18 例是V的一組基 是U的一組基 求 2020 3 21 19 2020 3 21 20 例 設(shè)V是四維行向量空間 內(nèi)積為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積 求V中與矩陣的每個(gè)行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間的維數(shù) 5 齊次線性方程組Ax 0的解空間即為與A的每個(gè)行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間 2020 3 21 21 謝謝