第一部分教材梳理 第2節(jié)圖形的相似 第六章圖形與變換 坐標(biāo) 知識(shí)梳理 概念定理 1 比例的有關(guān)概念和性質(zhì) 1 線段的比 兩條線段的長(zhǎng)度之比叫做兩條線段的比 2 比例線段 在四條線段中 如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比那么這四條線段叫做成比例線段 簡(jiǎn)稱比例線段 4 平行線分線段成比例 定理 兩條直線被一組平行線所截 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 5 黃金分割 把線段AB分成兩條線段AC BC AC BC 使得AC2 AB BC 則點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn) 其中2 相似圖形 1 定義 形狀相同的圖形叫做相似圖形 2 性質(zhì) 相似圖形的形狀必須完全相同 相似圖形的大小不一定相同 兩個(gè)物體形狀相同 大小相同時(shí)它們是全等的 全等是相似的一種特殊情況 3 相似多邊形 1 定義 如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形 2 相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比 3 相似比為1的相似多邊形是全等形 4 性質(zhì) 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 周長(zhǎng)比等于相似比 面積比等于相似比的平方 4 相似三角形 1 定義 如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 對(duì)應(yīng)角相等 那么這兩個(gè)三角形相似 2 相似三角形的判定 基本定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 判定定理1 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似 判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 判定定理3 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 3 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形的對(duì)應(yīng)線段 對(duì)應(yīng)中線 對(duì)應(yīng)角平分線 對(duì)應(yīng)高 的比都等于相似比 相似三角形的面積的比等于相似比的平方 5 圖形的位似 1 位似圖形的定義 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)邊互相平行 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 注意 兩個(gè)圖形必須是相似形 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)邊平行 2 位似圖形與坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中 如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心 相似比為k 那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或 k 主要公式 如圖1 6 2 1 在Rt ABC中 BAC 90 AD是斜邊BC上的高 則滿足 ABC DBA DAC 則有 AB2 BD BC AD2 BD DC AC2 CD BC 方法規(guī)律 判定三角形相似的幾種思路方法 1 平行線法 平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 這是判定三角形相似的一種基本方法 當(dāng)已知條件中有平行線時(shí)可考慮采用此方法 這里 相似的基本圖形可分別記為 A 型 如圖1 6 2 2 和 X 型 如圖1 6 2 2 在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 2 三邊法 三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似 若已知條件中給出三組邊的數(shù)量關(guān)系時(shí) 可考慮證明三邊成比例 3 兩邊及其夾角法 兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí) 可考慮找夾邊成比例 反之 若已知夾邊成比例 可考慮找夾角相等 4 兩角法 有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí) 可考慮再找另一對(duì)等角 中考考點(diǎn)精講精練 考點(diǎn)1比例的有關(guān)概念和性質(zhì) 考點(diǎn)精講 例1 如圖1 6 2 3 l1 l2 l3 兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A B C和D E F 已知?jiǎng)t的值為 考題再現(xiàn)1 2016蘭州 如圖1 6 2 4 在 ABC中 DE BC C 2 2016杭州 如圖1 6 2 5 已知直線a b c 直線m交直線a b c于點(diǎn)A B C 直線n交直線a b c于點(diǎn)D E F 若 B 考點(diǎn)演練3 的值為 4 已知點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn) AC BC 若AB 4cm 則AC的長(zhǎng)為 D A 5 如圖1 6 2 6 AD BE CF 直線l1 l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A B C和點(diǎn)D E F DE 6 則EF 9 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題 難度較低 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于熟練掌握比例 平行線分線段成比例 黃金分割等的概念及性質(zhì) 相關(guān)要點(diǎn)詳見 知識(shí)梳理 部分 考點(diǎn)2相似多邊形和相似比 考點(diǎn)精講 例2 兩個(gè)相似多邊形的面積比是9 16 其中較小多邊形的周長(zhǎng)為36cm 則較大多邊形的周長(zhǎng)為 A 48cmB 54cmC 56cmD 64cm思路點(diǎn)撥 根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比 周長(zhǎng)之比等于相似比 而面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可 答案 A 考題再現(xiàn)1 2014佛山 若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1 4 則它們的周長(zhǎng)之比為 A 1 4B 1 2C 2 1D 4 1 B 考點(diǎn)演練2 如圖1 6 2 7 梯形ABCD中 AD BC E F兩點(diǎn)分別在AB DC上 若AE 4 EB 6 DF 2 FC 3 且梯形AEFD與梯形EBCF相似 則AD與BC的長(zhǎng)度比為 A 1 2B 2 3C 2 5D 4 9 D 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題 難度較低 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于掌握相似多邊形的概念和性質(zhì) 注意以下要點(diǎn) 1 相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 即相似比 2 相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比 面積比等于相似比的平方 考點(diǎn)3相似三角形的性質(zhì) 考點(diǎn)精講 例3 2015佛山 如圖1 6 2 8所示 在 ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 點(diǎn)E F是AD上的點(diǎn) 且AE EF FD 連接BE BF 使它們分別與AO相交于點(diǎn)G H 1 求EG BG的值 2 求證 AG OG 3 設(shè)AG a GH b HO c 求a b c的值 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO AC AD BC AD BC 從而可得 AEG CBG 由AE EF FD可得BC 3AE 然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì) 即可求出EG BG的值 2 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GC 3AG 則有AC 4AG 從而可得AO AC 2AG 即可得到GO AO AG AG 3 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG AO AH AC 結(jié)合AO AC 即可得到a AC b AC c AC 從而可得到a b c的值 解 1 四邊形ABCD是平行四邊形 AO AC AD BC AD BC AEG CBG AE EF FD BC AD 3AE GC 3AG GB 3EG EG BG 1 3 2 GC 3AG AC 4AG AO AC 2AG GO AO AG AG 考題再現(xiàn)1 2015廣東 若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2 3 則它們的面積比是 2 2016廣州 如圖1 6 2 9 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 直線y x 3與x軸交于點(diǎn)C 與直線AD交于點(diǎn)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 0 1 1 求直線AD的解析式 2 直線AD與x軸交于點(diǎn)B 若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn) 不與點(diǎn)B重合 當(dāng) BOD與 BCE相似時(shí) 求點(diǎn)E的坐標(biāo) 4 9 解 1 設(shè)直線AD的解析式為y kx b 2 直線AD與x軸的交點(diǎn)為 2 0 OB 2 點(diǎn)D的坐標(biāo)為 0 1 OD 1 y x 3與x軸交于點(diǎn)C 3 0 OC 3 BC 5 BOD與 BCE相似 3 2015茂名 如圖1 6 2 10 Rt ABC中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā) 在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng) 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā) 在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為連接MN 1 若 BMN與 ABC相似 求t的值 2 如圖1 6 2 10 連接AN CM 若AN CM 求t的值 AN CM ACB 90 CAN ACM 90 MCD ACM 90 CAN MCD MD CB MDC ACB 90 CAN DCM 考點(diǎn)演練4 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2 3 那么這兩個(gè)相似三角形面積的比是 A 2 3B 2 3C 4 9D 8 275 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為2 3 周長(zhǎng)的和是20 則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為 A 8和12B 9和11C 7和13D 6和14 C A 6 如圖1 6 2 11 矩形ABCD中 AB 3 BC 10 點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 若以A P B為頂點(diǎn)的三角形與 PDC相似 則AP 1或5或9 7 如圖1 6 2 12 已知 ABC ADE AB 30cm AD 18cm BC 20cm BAC 75 ABC 40 1 求 ADE和 AED的度數(shù) 2 求DE的長(zhǎng) 解 1 BAC 75 ABC 40 C 180 BAC ABC 180 75 40 65 ABC ADE ADE ABC 40 AED C 65 2 ABC ADE 解得DE 12 cm 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型不固定 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的性質(zhì) 相關(guān)要點(diǎn)詳見 知識(shí)梳理 部分 注意以下要點(diǎn) 兩個(gè)三角形相似 如果未指明哪一組邊是對(duì)應(yīng)邊 哪一對(duì)角是對(duì)應(yīng)角 則應(yīng)進(jìn)行分類討論 將各種可能的情況一一呈現(xiàn)出來 不遺漏 不偏頗地進(jìn)行求解或證明 考點(diǎn)4相似三角形的判定 考點(diǎn)精講 例4 2016齊齊哈爾 如圖1 6 2 13 在 ABC中 AD BC BE AC 垂足分別為點(diǎn)D E AD與BE相交于點(diǎn)F 1 求證 ACD BFD 2 當(dāng)tan ABD 1 AC 3時(shí) 求BF的長(zhǎng) 思路點(diǎn)撥 1 由 C DBF 90 C DAC 90 推出 DBF DAC 由此即可得證 2 先證明AD BD 由 ACD BFD 得即可得解 1 證明 AD BC BE AC BDF ADC BEC 90 C DAC 90 C DBF 90 DBF DAC ACD BFD 考題再現(xiàn)1 2016廣東 如圖1 6 2 14 O是 ABC的外接圓 BC是 O的直徑 ABC 30 過點(diǎn)B作 O的切線BD 與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D 與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E 過點(diǎn)A作 O的切線AF 與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F 求證 ACF DAE 證明 BC是 O的直徑 BAC 90 ABC 30 ACB 60 OA OC AOC 60 AF是 O的切線 OAF 90 AFC 30 DE是 O的切線 DBC 90 D AFC 30 又 DAE ACF 180 60 120 ACF DAE 2 2016杭州 如圖1 6 2 15 在 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB AC上 AED B 射線AG分別交線段DE BC于點(diǎn)F G 且 1 求證 ADF ACG 2 1 證明 AED B DAE DAE ADF C ADF ACG 2 解 ADF ACG 考點(diǎn)演練3 如圖1 6 2 16 下列條件不能判定 ADB ABC的是 A ABD ACBB ADB ABCC AB2 AD ACD D 4 如圖1 6 2 17 在平行四邊形ABCD中 過點(diǎn)A作AE BC 垂足為點(diǎn)E 連接DE F為線段DE上一點(diǎn) 且 AFE B 求證 ADF DEC 證明 四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC AB CD ADF CED B C 180 AFE AFD 180 AFE B AFD C ADF DEC 5 如圖1 6 2 18 點(diǎn)P是 ABCD的邊AB上的一點(diǎn) 射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E 則圖中相似的三角形有 A 0對(duì)B 1對(duì)C 2對(duì)D 3對(duì) D 6 已知如圖1 6 2 19 在 ABC中 ABC 90 以AB上的一點(diǎn)O為圓心 以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D 交AB于點(diǎn)E 求證 AC AD AB AE 證明 如答圖1 6 2 3 連接DE AE是直徑 ADE 90 ABC 90 ADE ABC 又 DAE BAC ADE ABC AC AD AB AE 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型一般為解答題 難度中等偏高 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于熟練掌握并靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法 相關(guān)要點(diǎn)詳見 知識(shí)梳理 部分 注意以下要點(diǎn) 相似三角形的判定問題常在三角形或圓的綜合題出現(xiàn) 無論怎樣出題 解題時(shí)關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件提供的信息 靈活選擇判定三角形相似的方法與思路 正確地證出三角形相似 考點(diǎn)5圖形的位似 考點(diǎn)精講 例5 如圖1 6 2 20 以點(diǎn)O為位似中心 將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A B C D E 已知OA 10cm OA 20cm 則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A B C D E 的周長(zhǎng)的比值是 思路點(diǎn)撥 由五邊形ABCDE與五邊形A B C D E 位似 可得五邊形ABCDE 五邊形A B C D E 又由OA 10cm OA 20cm 即可求得其相似比 根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于其相似比 即可得解 答案 1 2 考題再現(xiàn)1 2016十堰 如圖1 6 2 21 以點(diǎn)O為位似中心 將 ABC縮小后得到 A B C 已知OB 3OB 則 A B C 與 ABC的面積比為 A 1 3B 1 4C 1 5D 1 9 D 2 2016威海 如圖1 6 2 22 直線與x軸交于點(diǎn)A 與y軸交于點(diǎn)B BOC與 B O C 是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形 且相似比為1 3 則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 8 3 或 4 3 考點(diǎn)演練3 如圖1 6 2 23 ABC和 A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形 若C1為OC的中點(diǎn) AB 4 則A1B1的長(zhǎng)為 A 1B 2C 4D 84 如圖1 6 2 24 以O(shè)為位似中心將四邊形ABCD放大后得到四邊形A B C D 若OA 4 OA 8 則四邊形ABCD和四邊形A B C D 的周長(zhǎng)的比為 B 1 2 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題 難度較低 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于掌握位似圖形的概念和性質(zhì) 同時(shí)抓住位似是相似的特殊形式 注意以下要點(diǎn) 滿足 兩個(gè)圖形是相似形 兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過同一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)邊平行 這樣的兩個(gè)圖形才是位似圖形 課堂鞏固訓(xùn)練 1 若x y 1 3 2y 3z 則的值是 2 如圖1 6 2 25 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于點(diǎn)D 若AC 2 則AD的長(zhǎng)是 A C 3 如圖1 6 2 26 直線l1 l2 l3 直線AC分別交l1 l2 l3于點(diǎn)A B C 直線DF分別交l1 l2 l3于點(diǎn)D E F AC與DF相交于點(diǎn)H 且AH 2 HB 1 BC 5 則的值為 4 兩個(gè)相似多邊形的一組對(duì)應(yīng)邊分別是3cm和4 5cm 如果它們的面積之和是78cm2 那么較大的多邊形的面積是 A 44 8cm2B 42cm2C 52cm2D 54cm2 D D 5 在 ABC中 AC 6 AB 9 D是AC邊上一點(diǎn) 且AD DC 1 2 若E為AB邊上的點(diǎn) ABC與以A D E為頂點(diǎn)的三角形相似 則AE的長(zhǎng)度為 A 3B 4 5C 43或3D 2或4 56 2016隨州 如圖1 6 2 27 D E分別是 ABC的邊AB BC上的點(diǎn) 且DE AC AE CD相交于點(diǎn)O 若S DOE S COA 1 25 則S BDE與S CDE的比是 A 1 3B 1 4C 1 5 D 1 25 C B 7 2016臨夏州 如圖1 6 2 28 已知EC AB EDA ABF 1 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 2 求證 OA2 OE OF 證明 1 EC AB EDA DAB EDA ABF DAB ABF AD BC 又 DC AB 四邊形ABCD為平行四邊形 2 EC AB OAB OED AD BC OBF ODA OA2 OE OF 8 2016懷化 如圖1 6 2 29 ABC為銳角三角形 AD是BC邊上的高 正方形EFGH的一邊FG在BC上 頂點(diǎn)E H分別在AB AC上 已知BC 40cm AD 30cm 1 求證 AEH ABC 2 求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積 1 證明 四邊形EFGH是正方形 EH BC AEH B AHE C AEH ABC 2 解 如答圖1 6 2 4 設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M EFD FEM FDM 90 四邊形EFDM是矩形 EF DM 設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x AEH ABC 正方形EFGH的邊長(zhǎng)為cm 面積為cm2