第一部分教材梳理 第4節(jié)等腰三角形與等邊三角形 第四章圖形的認(rèn)識(shí) 一 知識(shí)梳理 概念定理 1 等腰三角形 1 定義 兩邊相等的三角形叫做等腰三角形 2 性質(zhì) 性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 簡(jiǎn)稱 等邊對(duì)等角 推論 等腰三角形頂角的平分線 底邊上的中線及底邊上的高線互相重合 簡(jiǎn)稱 三線合一 3 其他性質(zhì) 等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能為銳角 不能為鈍角 或直角 但頂角可為鈍角 或直角 等腰三角形的三邊關(guān)系 設(shè)腰長(zhǎng)為a 底邊長(zhǎng)為b 則 等腰三角形的三角關(guān)系 設(shè)頂角為 A 底角為 B C 則 A B C 180 2 B 4 判定 定義法 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 判定定理 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形 簡(jiǎn)稱 等角對(duì)等邊 2 等邊三角形 1 定義 三邊相等的三角形叫做等邊三角形 2 性質(zhì) 性質(zhì)定理 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等 并且每個(gè)角都等于60 等邊三角形是特殊的等腰三角形 它具有等腰三角形的所有性質(zhì) 它的每一個(gè)內(nèi)角的角平分線都與其對(duì)邊的中線和高線重合 3 判定 定義法 三條邊都相等的三角形是等邊三角形 判定定理1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 判定定理2 有一個(gè)角等于60 的等腰三角形是等邊三角形 方法規(guī)律 中考考點(diǎn)精講精練 考點(diǎn)等腰三角形 等邊三角形的性質(zhì)和判定 考點(diǎn)精講 例1 2016濱州 如圖1 4 4 1 ABC中 D為AB上一點(diǎn) E為BC上一點(diǎn) 且AC CD BD BE A 50 則 CDE的度數(shù)為 A 50 B 51 C 51 5 D 52 5 思路點(diǎn)撥 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出 A CDA 50 B DCB BDE BED 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出 B 25 由三角形的內(nèi)角和定理求出 BDE 最后根據(jù)平角的定義即可求出 CDE的度數(shù) 答案 D 例2 2016內(nèi)江 已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3 點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn) 則點(diǎn)P到三邊的距離之和為 思路點(diǎn)撥 作出圖形 如圖1 4 4 2 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長(zhǎng) 再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到三邊的距離之和等于高線的長(zhǎng)度 從而得解 考題再現(xiàn)1 2016泰安 如圖1 4 4 3 在 PAB中 PA PB M N K分別是PA PB AB上的點(diǎn) 且AM BK BN AK 若 MKN 44 則 P的度數(shù)為 A 44 B 66 C 88 D 92 2 2015南寧 如圖1 4 4 4 在 ABC中 AB AD DC B 70 則 C的度數(shù)為 A 35 B 40 C 45 D 50 D A 3 2015泉州 如圖1 4 4 5 在等邊三角形ABC中 AD BC于點(diǎn)D 則 BAD 30 4 2015北京 如圖1 4 4 6 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC于點(diǎn)E 求證 CBE BAD 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 AD BC CAD BAD 又 BE AC CBE C CAD C 90 CBE BAD 考點(diǎn)演練5 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為24 腰長(zhǎng)為x 則x的取值范圍是 A x 12B x 6C 6 x 12D 0 x 12 C 6 如圖1 4 4 7 在等邊三角形ABC中 點(diǎn)D E分別在邊BC AC上 且DE AB 過(guò)點(diǎn)E作EF DE 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 1 求 F的度數(shù) 2 若CD 2 求DF的長(zhǎng) 解 1 ABC是等邊三角形 B 60 DE AB EDC B 60 EF DE DEF 90 F 90 EDC 30 2 ACB 60 EDC 60 EDC是等邊三角形 ED DC 2 DEF 90 F 30 DF 2DE 4 7 如圖1 4 4 8 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)D E F分別在AB BC AC邊上 且BE CF BD CE 1 求證 DEF是等腰三角形 2 當(dāng) A 40 時(shí) 求 DEF的度數(shù) 1 證明 AB AC ABC ACB 在 DBE和 ECF中 DBE ECF DE EF DEF是等腰三角形 2 解 DBE ECF BDE CEF DEB EFC A B C 180 B 180 40 70 BDE DEB 110 FEC DEB 110 DEF 180 110 70 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)的題型不固定 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于掌握等腰三角形 等邊三角形的性質(zhì)和判定定理 相關(guān)要點(diǎn)詳見(jiàn) 知識(shí)梳理 部分 注意以下要點(diǎn) 等腰三角形和等邊三角形屬于特殊的三角形 在廣東中考中單獨(dú)出題考查的情況雖然不多 但這兩種圖形常與其他幾何圖形 如 特殊的 平行四邊形 圓等結(jié)合進(jìn)行綜合考查 題目非常靈活 熟練掌握等腰三角形 等邊三角形的有關(guān)概念和定理并加以靈活運(yùn)用對(duì)解題非常關(guān)鍵 備考時(shí)需多加留意 課堂鞏固訓(xùn)練 1 下列三角形 有兩個(gè)角等于60 有一個(gè)角等于60 的等腰三角形 三個(gè)外角 每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角 都相等的三角形 一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形 其中是等邊三角形的有 A B C D 2 2016安順 已知實(shí)數(shù)x y滿足 則以x y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是 A 20或16B 20C 16D 以上答案均不對(duì) D B 3 2016邵陽(yáng) 如圖1 4 4 9所示 點(diǎn)D是 ABC的邊AC上一點(diǎn) 不含端點(diǎn) AD BD 則下列結(jié)論正確的是 A AC BCB AC BCC A ABCD A ABC4 如圖1 4 4 10 在 ABC中 AB AC BD平分 ABC交AC于點(diǎn)D AE BD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E 若 E 35 則 BAC的度數(shù)為 A 40 B 45 C 60 D 70 A A 5 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)P 2 2 點(diǎn)Q在y軸上 PQO是等腰三角形 則滿足條件的點(diǎn)Q共有 A 5個(gè)B 4個(gè)C 3個(gè)D 2個(gè) B 6 如圖1 4 4 11 ABC中 BE平分 ABC CE平分 ACB DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)E 分別與AB AC相交于點(diǎn)D F 且DF BC 1 求證 DEB是等腰三角形 2 求證 DF BD CF 證明 1 BE平分 ABC ABE CBE DF BC DEB CBE ABE DEB BD DE DEB是等腰三角形 2 CE平分 ACB ACE BCE DF BC FEC BCE ACE FEC EF CF BD DE DF BD CF 7 2016菏澤 如圖1 4 4 12 ACB和 DCE均為等腰三角形 點(diǎn)A D E在同一直線上 連接BE CAB CBA CDE CED 50 1 求證 AD BE 2 求 AEB的度數(shù) 1 證明 CAB CBA CDE CED 50 ACB DCE 180 2 50 80 ACB ACD DCB DCE DCB BCE ACD BCE ACB和 DCE均為等腰三角形 AC BC DC EC 在 ACD和 BCE中 ACD BCE SAS AD BE 2 解 ACD BCE ADC BEC 點(diǎn)A D E在同一直線上 且 CDE 50 ADC 180 CDE 130 BEC 130 BEC CED AEB 且 CED 50 AEB BEC CED 130 50 80 8 已知 如圖1 4 4 13 ABC CDE都是等邊三角形 AD BE相交于點(diǎn)O 點(diǎn)M N分別是線段AD BE的中點(diǎn) 1 求證 AD BE 2 求 DOE的度數(shù) 3 求證 MNC是等邊三角形 解 1 ABC CDE都是等邊三角形 AC BC CD CE ACB DCE 60 ACB BCD DCE BCD ACD BCE 在 ACD和 BCE中 ACD BCE SAS AD BE 2 解 ACD BCE ADC BEC DCE是等邊三角形 CED CDE 60 ADE BED ADC CDE BED ADC 60 BED CED 60 60 60 120 DOE 180 ADE BED 60 3 證明 ACD BCE CAD CBE AD BE AC BC 又 點(diǎn)M N分別是線段AD BE的中點(diǎn) 在 ACM和 BCN中 AC BC ACM BCN CM CN ACM BCN 又 ACB 60 ACM MCB 60 BCN MCB 60 MCN 60 MNC是等邊三角形