第二部分中考題型專項(xiàng)突破 專項(xiàng)五解答題 三 題型 題型分析 解答題 三 是廣東中考數(shù)學(xué)試卷中的最后一種題型 也是難度最大的一種題型 通常是由三道包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的幾何與代數(shù)綜合題組成 解此類問題要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的解題技能 通過對(duì)廣東中考命題規(guī)律的分析 我們發(fā)現(xiàn)解答題 三 的常見題型有一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題 二次函數(shù)綜合題 圓的綜合題 三角形綜合題 四邊形綜合題等類型 在復(fù)習(xí)備考時(shí) 需要同學(xué)們針對(duì)各種類型的綜合題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練 不斷提高自己分析與解決問題的能力 積累做題經(jīng)驗(yàn) 爭(zhēng)取在本大題上取得最為理想的成績(jī) 分類突破訓(xùn)練 考點(diǎn)類型1一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016茂名 如圖2 5 1 一次函數(shù)y x b的圖象與反比例函數(shù) k為常數(shù) k 0 的圖象交于點(diǎn)A 1 4 和點(diǎn)B a 1 1 求反比例函數(shù)的表達(dá)式和a b的值 2 若A O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱 請(qǐng)連接AO 并求出直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo) 解 1 點(diǎn)A 1 4 在反比例函數(shù) k為常數(shù) k 0 的圖象上 k 1 4 4 反比例函數(shù)解析式為把點(diǎn)A 1 4 B a 1 分別代入y x b中 得 2 連接AO 設(shè)線段AO與直線l相交于點(diǎn)M 如答圖2 5 1所示 A O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱 點(diǎn)M為線段OA的中點(diǎn) 點(diǎn)A 1 4 O 0 0 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2 2016重慶 如圖2 5 2 在平面直角坐標(biāo)系中 一次函數(shù)y ax b a 0 的圖形與反比例函數(shù) k 0 的圖象交于第二 四象限內(nèi)的A B兩點(diǎn) 與y軸交于C點(diǎn) 過點(diǎn)A作AH y軸 垂足為H OH 3 tan AOH 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 m 2 1 求 AHO的周長(zhǎng) 2 求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式 解 1 由OH 3 tan AOH 得AH 4 即A 4 3 由勾股定理 得 AHO的周長(zhǎng) AO AH OH 3 4 5 12 2 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入 得k 4 3 12 反比例函數(shù)的解析式為當(dāng)y 2時(shí) 解得x 6 即B 6 2 將A B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y ax b 得 3 2016泰安 如圖2 5 3 在平面直角坐標(biāo)系中 正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 3 點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上 點(diǎn)D M分別在邊AB OA上 且AD 2DB AM 2MO 一次函數(shù)y kx b的圖象過點(diǎn)D和M 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D 與BC的交點(diǎn)為N 1 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式 2 若點(diǎn)P在直線DM上 且使 OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 解 1 正方形OABC的頂點(diǎn)C 0 3 OA AB BC OC 3 OAB B BCO 90 AD 2DB AD AB 2 D 3 2 把D坐標(biāo)代入 得m 6 反比例函數(shù)的解析式為 AM 2MO MO OA 1 即M 1 0 把M與D的坐標(biāo)代入y kx b中 得解得k b 1 則一次函數(shù)的解析式為y x 1 2 把y 3代入 得x 2 N 2 3 即NC 2 設(shè)P x y OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等 解得y 9 當(dāng)y 9時(shí) x 10 當(dāng)y 9時(shí) x 8 則點(diǎn)P坐標(biāo)為 10 9 或 8 9 4 2016樂山 如圖2 5 4 反比例函數(shù)與一次函數(shù)y ax b的圖象交于點(diǎn)A 2 2 1 求這兩個(gè)函數(shù)的解析式 2 將一次函數(shù)y ax b的圖象沿y軸向下平移m個(gè)單位 使平移后的圖象與反比例函數(shù)y kx的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn) 求m的值 解 1 A 2 2 在反比例函數(shù)的圖象上 k 4 反比例函數(shù)的解析式為 又 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上 n 4 解得n 8 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為B 由A 2 2 B在一次函數(shù)y ax b的圖象上 得 一次函數(shù)的解析式為y 4x 10 2 將直線y 4x 10向下平移m個(gè)單位得直線的解析式為y 4x 10 m 直線y 4x 10 m與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn) 令 4x 10 m 得4x2 m 10 x 4 0 m 10 2 64 0 解得m 2或m 18 考點(diǎn)類型2二次函數(shù)綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016廣州 已知拋物線y mx2 1 2m x 1 3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A B 1 求m的取值范圍 2 證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P 并求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 3 當(dāng) m 8時(shí) 由 2 求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A B構(gòu)成的 ABP的面積是否有最值 若有 求出該最值及相對(duì)應(yīng)的m值 1 解 當(dāng)m 0時(shí) 函數(shù)為一次函數(shù) 不符合題意 舍去 當(dāng)m 0時(shí) 拋物線y mx2 1 2m x 1 3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A B 1 2m 2 4 m 1 3m 1 4m 2 0 1 4m 0 m 2 證明 拋物線y mx2 1 2m x 1 3m y m x2 2x 3 x 1 拋物線過定點(diǎn)說明這一點(diǎn)的y與m無關(guān) 顯然當(dāng)x2 2x 3 0時(shí) y與m無關(guān) 解得x 3或x 1 當(dāng)x 3時(shí) y 4 定點(diǎn)坐標(biāo)為 3 4 當(dāng)x 1時(shí) y 0 定點(diǎn)坐標(biāo)為 1 0 點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上 P 3 4 2 2016梅州 如圖2 5 5 在平面直角坐標(biāo)系中 已知拋物線y x2 bx c過A B C三點(diǎn) 點(diǎn)A的坐標(biāo)是 3 0 點(diǎn)C的坐標(biāo)是 0 3 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上 1 b c 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 直接填寫結(jié)果 2 是否存在點(diǎn)P 使得 ACP是以AC為直角邊的直角三角形 若存在 求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 2 3 1 0 解 存在 如答圖2 5 2所示 當(dāng) ACP1 90 時(shí) A 3 0 設(shè)AC的解析式為y kx 3 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入 得3k 3 0 解得k 1 直線AC的解析式為y x 3 直線CP1的解析式為y x 3 將y x 3與y x2 2x 3聯(lián)立 解得x1 1 x2 0 不合題意 舍去 點(diǎn)P1的坐標(biāo)為 1 4 當(dāng) P2AC 90 時(shí) 設(shè)AP2的解析式為y x b 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入 得 3 b 0 解得b 3 直線AP2的解析式為y x 3 將y x 3與y x2 2x 3聯(lián)立 解得x1 2 x2 3 不合題意 舍去 點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 2 5 綜上所述 點(diǎn)P的坐標(biāo)是 1 4 或 2 5 3 2016茂名 如圖2 5 6 拋物線y x2 bx c經(jīng)過A 1 0 B 3 0 兩點(diǎn) 且與y軸交于點(diǎn)C 點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn) 拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E 連接BD 1 求經(jīng)過A B C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式 2 點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn) 當(dāng)PE PC時(shí) 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 3 在 2 的條件下 過點(diǎn)P作PF x軸于點(diǎn)F G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn) M為x軸上一動(dòng)點(diǎn) N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn) 當(dāng)以F M N G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí) 請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 解 1 拋物線y x2 bx c經(jīng)過A 1 0 B 3 0 兩點(diǎn) 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x2 2x 3 2 如答圖2 5 3 連接PC PE 對(duì)稱軸 當(dāng)x 1時(shí) y 4 點(diǎn)D的坐標(biāo)為 1 4 設(shè)直線BD的解析式為y mx n 直線BD的解析式為y 2x 6 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x 2x 6 則PC2 x2 3 2x 6 2 PE2 x 1 2 2x 6 2 PC PE x2 3 2x 6 2 x 1 2 2x 6 2 解得x 2 則y 2 2 6 2 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 2 3 如答圖2 5 4 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 a 0 則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 a a2 2a 3 以F M N G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形 FM MG 即 2 a a2 2a 3 當(dāng)2 a a2 2a 3時(shí) 即a2 3a 1 0 當(dāng)2 a a2 2a 3 時(shí) 即a2 a 5 0 4 2016濱州 如圖2 5 7 已知拋物線與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C 1 求點(diǎn)A B C的坐標(biāo) 2 點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn) 點(diǎn)F是其對(duì)稱軸上的點(diǎn) 求以A B E F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積 3 此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M 使得 ACM是等腰三角形 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解 1 令y 0 得 x2 2x 8 0 解得x 4或x 2 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 0 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 4 0 令x 0 得y 2 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 2 2 當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí) AB EF 6 對(duì)稱軸x 1 點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為 7或5 當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時(shí) 點(diǎn) 設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為P 令EP與FP相等 則四邊形AEBF是菱形 此時(shí)以A B E F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積 3 如答圖2 5 5所示 當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí) CM1 CA CM2 CA 作M1N OC于點(diǎn)N 在Rt CM1N中 點(diǎn)M1的坐標(biāo)為 1 2 點(diǎn)M2的坐標(biāo)為 1 2 當(dāng)M3為頂點(diǎn)時(shí) 直線AC的解析式為y x 2 線段AC的垂直平分線為y x 點(diǎn)M3的坐標(biāo)為 1 1 當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在 綜上所述點(diǎn)M的坐標(biāo)為 1 1 或 1 2 或 1 2 考點(diǎn)類型3圓的綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016廣州 如圖2 5 8 點(diǎn)C為 ABD的外接圓上的一動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)C不在上 且不與點(diǎn)B D重合 ACB ABD 45 1 求證 BD是該外接圓的直徑 2 連接CD 求證 AC BC CD 3 若 ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為 ABM 連接DM 試探究DM2 AM2 BM2三者之間滿足的等量關(guān)系 并證明你的結(jié)論 1 解 ACB ADB 45 ABD 45 BAD 90 BD是 ABD外接圓的直徑 2 證明 在CD的延長(zhǎng)線上截取DE BC 連接EA 如答圖2 5 6 ABD ADB AB AD ADE ADC 180 ABC ADC 180 ABC ADE 在 ABC與 ADE中 ABC ADE SAS BAC DAE BAC CAD DAE CAD BAD CAE 90 ACD ABD 45 CAE是等腰直角三角形 3 解 BM2 2AM2 DM2 證明 如答圖2 5 7 過點(diǎn)M作MF MB于點(diǎn)M 過點(diǎn)A作AF MA于點(diǎn)A MF與AF交于點(diǎn)F 連接BF 2 2016深圳 如圖2 5 9 已知 O的半徑為2 AB為直徑 CD為弦 AB與CD交于點(diǎn)M 將沿CD翻折后 點(diǎn)A與圓心O重合 延長(zhǎng)OA至點(diǎn)P 使AP OA 連接PC 1 求CD的長(zhǎng) 2 求證 PC是 O的切線 3 點(diǎn)G為的中點(diǎn) 在PC的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)Q 連接QG交AB于點(diǎn)E 交于點(diǎn)F F與B C不重合 問GE GF是否為定值 如果是 求出該定值 如果不是 請(qǐng)說明理由 3 2016長(zhǎng)沙 如圖2 5 10 四邊形ABCD內(nèi)接于 O 對(duì)角線AC為 O的直徑 過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E 點(diǎn)F為CE的中點(diǎn) 連接DB DC DF 1 求 CDE的度數(shù) 2 求證 DF是 O的切線 3 若AC DE 求tan ABD的值 1 解 對(duì)角線AC為 O的直徑 ADC 90 CDE 90 2 證明 如答圖2 5 10 連接DO EDC 90 點(diǎn)F為EC的中點(diǎn) DF FC FDC FCD OD OC ODC OCD OCF 90 ODF ODC FDC OCD FCD 90 DF是 O的切線 3 解 E DCE 90 DCA DCE 90 E DCA 又 CDE ADC 90 CDE ADC DC2 AD DE AC DE 設(shè)DE x 則AC x 則AC2 AD2 AD DE 即 x 2 AD2 AD x 整理 得AD2 AD x 20 x2 0 解得AD 4x或AD 5x 負(fù)數(shù)不合題意 舍去 4 2016黔南州 如圖2 5 11 AB是 O的直徑 點(diǎn)D一點(diǎn) 且 BDE CBE BD與AE交于點(diǎn)F 1 求證 BC是 O的切線 2 若BD平分 ABE 求證 DE2 DF DB 3 在 2 的條件下 延長(zhǎng)ED BA交于點(diǎn)P 若PA AO DE 2 求PD的長(zhǎng) 1 證明 AB是 O的直徑 AEB 90 EAB ABE 90 EAB BDE BDE CBE CBE ABE EAB ABE 90 即 ABC 90 AB BC BC是 O的切線 2 證明 BD平分 ABE EBD DBA 而 DBA AED AED EBD FDE EDB DFE DEB DE2 DF DB 3 如答圖2 5 11 連接DO OB OD DBA ODB 而 EBD DBA ODB EBD OD BE POD PBE PA AO PA AO BO 解得PD 4 考點(diǎn)類型4三角形綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016梅州 如圖2 5 12 在Rt ABC中 ACB 90 AC 5cm BAC 60 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā) 在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng) 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā) 在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts 0 t 5 連接MN 1 若BM BN 求t的值 2 若 MBN與 ABC相似 求t的值 3 當(dāng)t為何值時(shí) 四邊形ACNM的面積最小 并求出最小值 2 2016成都 如圖2 5 13 ABC中 ABC 45 AH BC于點(diǎn)H 點(diǎn)D在AH上 且DH CH 連接BD 1 求證 BD AC 2 將 BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn) 得到 EHF 點(diǎn)B D分別與點(diǎn)E F對(duì)應(yīng) 連接AE 如圖2 5 13 當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí) F不與C重合 若BC 4 tanC 3 求AE的長(zhǎng) 解 1 在Rt AHB中 ABC 45 AH BH 在 BHD和 AHC中 BHD AHC BD AC 2 在Rt AHC中 設(shè)CH x 則BH AH 3x BC 4 3x x 4 x 1 AH 3 CH 1 由旋轉(zhuǎn)可得 EHF BHD AHC 90 EH AH 3 CH DH FH EHA FHC EAH C tan EAH tanC 3 如答圖2 5 13 過點(diǎn)H作HP AE于點(diǎn)P HP 3AP AE 2AP 在Rt AHP中 AP2 HP2 AH2 AP2 3AP 2 9 3 2016威海 如圖2 5 14 在 ABC和 BCD中 BAC BCD 90 AB AC CB CD 延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E 使AE AC 延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F 使BF BC 連接AD AF DF EF 延長(zhǎng)DB交EF于點(diǎn)N 1 求證 AD AF 2 求證 BD EF 3 試判斷四邊形ABNE的形狀 并說明理由 1 證明 AB AC BAC 90 ABC ACB 45 ABF 135 BCD 90 ABF ACD CB CD CB BF BF CD 在 ABF和 ACD中 ABF ACD SAS AD AF 2 證明 由 1 知 ABF ACD FAB DAC BAC 90 EAB BAC 90 EAF BAD 在 AEF和 ABD中 AEF ABD SAS BD EF 3 解 四邊形ABNE是正方形 理由如下 CD CB BCD 90 CBD 45 又 ABC 45 ABD 90 由 2 知 EAB 90 AEF ABD AEF ABD 90 四邊形ABNE是矩形 又 AE AB 四邊形ABNE是正方形 4 2016撫順 如圖2 5 15 在 ABC中 BC AC 點(diǎn)E在BC上 CE CA 點(diǎn)D在AB上 連接DE ACB ADE 180 作CH AB 垂足為點(diǎn)H 1 如圖2 5 15 當(dāng) ACB 90 時(shí) 連接CD 過點(diǎn)C作CF CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 求證 FA DE 請(qǐng)猜想三條線段DE AD CH之間的數(shù)量關(guān)系 并證明 2 如圖2 5 15 當(dāng) ACB 120 時(shí) 三條線段DE AD CH之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)證明你的結(jié)論 1 證明 CF CD FCD 90 又 ACB 90 FCA ACD ACD DCE FCA DCE ACB ADE 180 ADE BDE 90 FAC 90 B CED 90 B FAC CED 又 AC CE AFC EDC ASA FA DE 解 DE AD 2CH 證明 AFC EDC CF CD CH AB FH HD 在Rt FCD中 CH是斜邊FD的中線 FD 2CH AF AD 2CH DE AD 2CH 2 解 AD DE CH 證明 如答圖2 5 14 作 FCD ACB 交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F FCA ACD ACD DCB FCA DCB ACB ADE 180 ADE 60 EDB 120 FAC 120 B CED 120 B FAC CED 又 AC CE FAC DEC ASA AF DE FC CD CH FD FH HD FCH HCD 60 在Rt CHD中 tan60 AD DE AD AF FD 2DH CH 即AD DE CH 考點(diǎn)類型5四邊形綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016營口 已知 如圖2 5 16 將 D 60 的菱形ABCD沿對(duì)角線AC剪開 將 ADC沿射線DC方向平移 得到 BCE 點(diǎn)M為邊BC上一點(diǎn) 點(diǎn)M不與點(diǎn)B 點(diǎn)C重合 將射線AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N 連接MN 1 求證 ANB AMC 探究 AMN的形狀 2 如圖2 5 16 若菱形ABCD變?yōu)檎叫蜛BCD 將射線AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45 原題其他條件不變 1 中的 兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立 若成立 請(qǐng)寫出結(jié)論并說明理由 若不成立 請(qǐng)寫出變化后的結(jié)論并證明 證明 1 四邊形ABCD是菱形 AB BC CD AD D 60 ADC和 ABC都是等邊三角形 AB AC BAC 60 NAM 60 NAB CAM 由 ADC沿射線DC方向平移得到 BCE 可知 CBE 60 ABC 60 ABN 60 ABN ACB 60 ANB AMC ASA ANB AMC AMN是等邊三角形 理由如下 由 1 知 ANB AMC AM AN NAM 60 AMN是等邊三角形 2 結(jié)論 ANB AMC成立 理由如下 在正方形ABCD中 BAC DAC BCA 45 NAM 45 NAB MAC 由平移 得 EBC CAD 45 ABC 90 ABN 180 90 45 45 ABN ACM 45 ANB AMC ANB AMC 結(jié)論 AMN是等邊三角形不成立 AMN是等腰直角三角形 證明 ANB AMC NAM BAC 45 NAM BAC ANM ABC 90 又 AN AM AMN是等腰直角三角形 2 2016常德 如圖2 5 17 已知四邊形ABCD中 AB AD AB AD 連接AC 過點(diǎn)A作AE AC 且使AE AC 連接BE 過點(diǎn)A作AH CD于點(diǎn)H交BE于點(diǎn)F 1 如圖2 5 17 當(dāng)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí) 求證 ABC ADE BF EF 2 如圖2 5 17 當(dāng)E不在CD的延長(zhǎng)線上時(shí) BF EF還成立嗎 請(qǐng)證明你的結(jié)論 1 證明 AB AD AE AC BAD 90 CAE 90 BAC DAE 在 ABC和 ADE中 ABC ADE SAS ABC ADE ACB AED 在Rt ACE中 ACE AEC 90 BCE 90 AH CD AE AC CH HE AHE BCE 90 BC FH 3 2016甘孜州 如圖2 5 18 AD為等腰直角 ABC的高 點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上 連接BG AE 1 求證 BG AE 2 如圖2 5 18 將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) 當(dāng)線段EG經(jīng)過點(diǎn)A時(shí) 求證 BG GE 設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M 若AG AE 3 4 求的值 4 2016黔南州 如圖2 5 19 四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形 點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn) 與點(diǎn)O A不重合 連接CP 過點(diǎn)P作PM CP交AB于點(diǎn)D 且PM CP 過點(diǎn)M作MN AO 交BO于點(diǎn)N 連接ND BM 設(shè)OP t 1 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 用含t的代數(shù)式表示 2 試判斷線段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變 并說明理由 3 當(dāng)t為何值時(shí) 四邊形BNDM的面積最小 4 在x軸正半軸上存在點(diǎn)Q 使得 QMN是等腰三角形 請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo) 用含t的式子表示 解 1 如答圖2 5 17所示 作ME OA于點(diǎn)E MEP POC 90 PM CP CPM 90 OPC MPE 90 又 OPC PCO 90 MPE PCO PM CP MPE PCO AAS PE CO 4 ME PO t OE 4 t 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 4 t t 0 t 4 2 線段MN長(zhǎng)度不變 理由如下 OA AB 4 點(diǎn)B 4 4 直線OB的解析式為y x 點(diǎn)N在直線OB上 點(diǎn)N t t MN OA M 4 t t MN 4 t t 4 即MN的長(zhǎng)度不變 3 由 1 知 MPE PCO 又 DAP POC 90 DAP POC OP t OC 4 AP 4 t MN OA AB OA MN BD 當(dāng)t 2時(shí) 四邊形BNDM的面積最小 最小值為6 4 在x軸正半軸上存在點(diǎn)Q 使得 QMN是等腰三角形 此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 考點(diǎn)類型6圖形變換型綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2016廣東 如圖2 5 20 BD是正方形ABCD的對(duì)角線 BC 2 邊BC在其所在的直線上平移 將通過平移得到的線段記為PQ 連接PA QD 并過點(diǎn)Q作QO BD 垂足為點(diǎn)O 連接OA OP 1 請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中 四邊形APQD是什么四邊形 2 請(qǐng)判斷OA OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 并加以證明 3 在平移變換過程中 設(shè)y S OPB BP x 0 x 2 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 并求出y的最大值 解 1 四邊形APQD為平行四邊形 2 OA OP OA OP 理由如下 四邊形ABCD是正方形 AB BC PQ ABO OBQ 45 OQ BD PQO 45 ABO OBQ PQO 45 OB OQ 在 AOB和 OPQ中 AB PQ AOB OPQ SAS OA OP AOB OPQ AOP BOQ 90 OA OP 3 過點(diǎn)O作OE BC于點(diǎn)E 如答圖2 5 18 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí) 又 0 x 2 當(dāng)x 2時(shí) y有最大值為2 如答圖2 5 19 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí) 2 2015汕尾 如圖2 5 21 在Rt ABC中 A 90 AC AB 4 D E分別是邊AB AC的中點(diǎn) 若等腰Rt ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到等腰Rt AD1E1 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 0 180 記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P 1 如圖2 5 21 當(dāng) 90 時(shí) 線段BD1的長(zhǎng)等于 線段CE1的長(zhǎng)等于 直接填寫結(jié)果 2 如圖2 5 21 當(dāng) 135 時(shí) 求證 BD1 CE1 且BD1 CE1 3 求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值 2 證明 當(dāng) 135 時(shí) 如圖2 5 21 Rt AD1E1是由Rt ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135 得到 AD1 AE1 D1AB E1AC 135 在 D1AB和 E1AC中 D1AB E1AC SAS BD1 CE1 D1BA E1CA 記直線BD1與AC交于點(diǎn)F BFA CFP CPF FAB 90 BD1 CE1 3 解 如答圖2 5 20 作PG AB 交AB所在直線于點(diǎn)G 由已知條件可知D1 E1在以A為圓心 AD為半徑的圓上 當(dāng)BD1所在直線與 A相切時(shí) 直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大 此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形 PD1 2 3 2016自貢 已知矩形ABCD的一條邊AD 8 將矩形ABCD折疊 使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處 1 如圖2 5 22 已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O 連接AP OP OA 若 OCP與 PDA的面積比為1 4 求邊CD的長(zhǎng) 2 如圖2 5 22 在 1 的條件下 擦去折痕AO和線段OP 連接BP 動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上 點(diǎn)M與點(diǎn)P A不重合 動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上 且BN PM 連接MN交PB于點(diǎn)F 作ME BP于點(diǎn)E 試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M N在移動(dòng)的過程中 線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 若變化 說明變化規(guī)律 若不變 求出線段EF的長(zhǎng)度 解 1 四邊形ABCD是矩形 C D 90 CPO COP 90 由折疊可得 APO B 90 CPO DPA 90 CPO DPA 又 D C OCP PDA OCP與 PDA的面積比為1 4 設(shè)OP x 則CO 8 x 在Rt PCO中 C 90 由勾股定理 得x2 8 x 2 42 解得x 5 AB AP 2OP 10 邊CD的長(zhǎng)為10 2 如答圖2 5 21 作MQ AN 交PB于點(diǎn)Q AP AB MQ AN APB ABP MQP MP MQ BN PM BN QM MP MQ ME PQ MQ AN QMF BNF 在 MFQ和 NFB中 MFQ NFB AAS 4 2015濰坊 如圖2 5 23 點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn) 分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G OC到點(diǎn)E 使OG 2OD OE 2OC 然后以O(shè)G OE為鄰邊作正方形OEFG 連接AG DE 1 求證 DE AG 2 正方形ABCD固定 將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角 0 360 得到正方形OE F G 如圖2 5 23 在旋轉(zhuǎn)過程中 當(dāng) OAG 是直角時(shí) 求 的度數(shù) 若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 在旋轉(zhuǎn)過程中 求AF 長(zhǎng)的最大值和此時(shí) 的度數(shù) 直接寫出結(jié)果不必說明理由 AGO DEO AGO GAO 90 GAO DEO 90 AHE 90 即DE AG 2 在旋轉(zhuǎn)過程中 OAG 成為直角有兩種情況 由0 增大到90 過程中 當(dāng) OAG 90 時(shí) AG O 30 OA OD OA AG OD AG DOG AG O 30 即 30 考點(diǎn)類型7運(yùn)動(dòng)變化型綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2015廣東 如圖2 5 24 在同一平面上 兩塊斜邊相等的直角三角板Rt ABC和Rt ADC拼在一起 使斜邊AC完全重合 且頂點(diǎn)B D分別在AC的兩旁 ABC ADC 90 CAD 30 AB BC 4cm 1 填空 AD cm DC cm 2 點(diǎn)M N分別從A點(diǎn) C點(diǎn)同時(shí)以每秒1cm的速度等速出發(fā) 且分別在AD CB上沿A D C B方向運(yùn)動(dòng) 求當(dāng)M N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒時(shí) 點(diǎn)N到AD的距離 用含x的式子表示 3 在 2 的條件下 取DC的中點(diǎn)P 連接MP NP 設(shè) PMN的面積為y cm2 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中 PMN的面積y存在最大值 請(qǐng)求出y的最大值 解 2 過點(diǎn)N作NE AD于點(diǎn)E 作NF DC 交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 如答圖2 5 24所示 則NE DF ABC ADC 90 AB BC CAD 30 ACB 45 ACD 60 NCF 180 45 60 75 FNC 15 2 如圖2 5 25 在直角坐標(biāo)系中 Rt OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上 OA 4 AB 3 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā) 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度 沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng) 同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā) 以每秒1 25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度 沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng) 當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒 0 x 4 時(shí) 解答下列問題 1 求點(diǎn)N的坐標(biāo) 用含x的代數(shù)式表示 2 設(shè) OMN的面積是S 求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式 當(dāng)x為何值時(shí) S有最大值 最大值是多少 3 在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中 是否存在某一時(shí)刻 使 OMN是直角三角形 若存在 求出x的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 3 存在某一時(shí)刻 使 OMN是直角三角形 理由如下 分兩種情況 若 OMN 90 如答圖2 5 25所示 則MN AB 此時(shí)OM 4 x ON 1 25x MN AB OMN OAB 若 ONM 90 如答圖2 5 26所示 則 ONM OAB 此時(shí)OM 4 x ON 1 25x ONM OAB MON BOA OMN OBA 3 已知 如圖2 5 26 在Rt ABC中 AB AC AB 3cm BC 5cm 將 ABC繞AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 得到 CDA 如圖2 5 26 再將 CDA沿AC的方向以1cm s的速度平移得到 NDP 同時(shí) 點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā) 沿CB方向以1cm s的速度運(yùn)動(dòng) 當(dāng) NDP停止平移時(shí) 點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s 0 t 4 解答下列問題 1 當(dāng)t為何值時(shí) PQ AB 2 設(shè) PQC的面積為y cm2 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式 3 是否存在某一時(shí)刻t 使S QDC S四邊形ABQP 1 4 若存在 求出t的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 4 是否存在某一時(shí)刻t 使PQ DQ 若存在 請(qǐng)直接寫出t的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 4 1 問題 如圖2 5 27 在四邊形ABCD中 點(diǎn)P為AB上一點(diǎn) DPC A B 90 求證 AD BC AP BP 2 探究 如圖2 5 27 在四邊形ABCD中 點(diǎn)P為AB上一點(diǎn) 當(dāng) DPC A B 時(shí) 上述結(jié)論是否依然成立 說明理由 3 應(yīng)用 請(qǐng)利用 1 2 獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題 如圖2 5 27 在 ABD中 AB 6 AD BD 5 點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度 由點(diǎn)A出發(fā) 沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng) 且滿足 DPC A 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s 當(dāng)以D為圓心 以DC為半徑的圓與AB相切時(shí) 求t的值 解 1 如圖2 5 27 DPC A B 90 ADP APD 90 BPC APD 90 ADP BPC ADP BPC AD BC AP BP 2 結(jié)論AD BC AP BP仍然成立 理由如下 如圖2 5 27 BPD DPC BPC BPD A ADP DPC BPC A ADP DPC A B BPC ADP ADP BPC AD BC AP BP 3 如答圖2 5 28 過點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)E AD BD 5 AB 6 AE BE 3 由勾股定理可得DE 4 以點(diǎn)D為圓心 DC為半徑的圓與AB相切 DC DE 4 BC 5 4 1 又 AD BD A B DPC A B 由 1 2 的經(jīng)驗(yàn)可知AD BC AP BP 5 1 t 6 t 解得t 1或t 5 t的值為1s或5s 考點(diǎn)類型8分類討論型綜合題 強(qiáng)化訓(xùn)練1 2015深圳 如圖2 5 28 關(guān)于x的二次函數(shù)y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 3 0 點(diǎn)C 0 3 點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn) DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸 E在x軸上 1 求拋物線的解析式 2 DE上是否存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等 若存在 求出點(diǎn)P 若不存在 請(qǐng)說明理由 解 1 二次函數(shù)y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 3 0 點(diǎn)C 0 3 拋物線的解析式為y x2 2x 3 2 存在 理由如下 當(dāng)點(diǎn)P在 DAB的平分線上時(shí) 如答圖2 5 29 作PM AD于點(diǎn)M 2 如圖2 5 29 Rt ABC中 ACB 90 A 30 BC 2 CD是斜邊AB上的高 點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn) 點(diǎn)E不與點(diǎn)A C重合 連接DE 作CF DE 與邊AB 線段DE分別交于點(diǎn)F G 1 求線段CD AD的長(zhǎng) 2 設(shè)CE x DF y 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式 并寫出x的取值范圍 3 連接EF 當(dāng) EFG與 CDG相似時(shí) 求線段CE的長(zhǎng) 解 1 在Rt BCD中 BC 2 B 90 A 60 2 CDE BFC 90 DCF ECD B 60 CDE BFC 3 EGF CGD 90 當(dāng) EGF DGC時(shí) GEF GDC 當(dāng) FEG DCG時(shí) GEF GCD GDF EF DF 3 2014珠海 如圖2 5 30 矩形OABC的頂點(diǎn)A 2 0 C 0 將矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 得到矩形OEFG 線段GE FO相交于點(diǎn)H 平行于y軸的直線MN分別交線段GF GH GO和x軸于點(diǎn)M P N D 連接MH 1 若拋物線l y ax2 bx c經(jīng)過G O E三點(diǎn) 則它的解析式為 2 如果四邊形OHMN為平行四邊形 求點(diǎn)D的坐標(biāo) 3 在 1 2 的條件下 直線MN與拋物線l交于點(diǎn)R 動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線l上且在R E兩點(diǎn)之間 不含點(diǎn)R E 運(yùn)動(dòng) 設(shè) PQH的面積為S 確定點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍 4 2016安順 如圖2 5 31 拋物線經(jīng)過A 1 0 B 5 0 三點(diǎn) 1 求拋物線的解析式 2 在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P 使PA PC的值最小 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 3 點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn) 在拋物線上是否存在一點(diǎn)N 使以A C M N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形 若存在 求出點(diǎn)N的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí) 如答圖2 5 33 過點(diǎn)N2作N2D x軸于點(diǎn)D 在 AN2D與 M2CO中 AN2D M2CO ASA