第一部分第一部分 教材知識(shí)梳理教材知識(shí)梳理第二章第二章 方程方程(組組)與不等式與不等式(組組)第二節(jié)第二節(jié) 一元二次方程一元二次方程考點(diǎn)一考點(diǎn)一中招考點(diǎn)清單一元二次方程的概念一元二次方程的概念1. 一元二次方程一元二次方程：只含有：只含有_個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的 最高次數(shù)是最高次數(shù)是_的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程.2. 一元二次方程必須具備三個(gè)條件一元二次方程必須具備三個(gè)條件： (1)必須是必須是_方程；方程； (2)必須只含有必須只含有_未知數(shù)；未知數(shù)； (3)所含未知數(shù)的最高次數(shù)是所含未知數(shù)的最高次數(shù)是_.一一2整式整式一個(gè)一個(gè)2考點(diǎn)二考點(diǎn)二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法直接開直接開平方法平方法形如形如x2=a(a0)或或(x-b)2=a(a0)的一元二次方程，就可用直接的一元二次方程，就可用直接開平方的方法開平方的方法配方法配方法用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的一般步驟是：的一般步驟是：(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同時(shí)除以即方程兩邊同時(shí)除以_(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；(3)配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;(4)化原方程為化原方程為(x+m)2n的形式的形式；(5)如果如果n0，用直接開平方法求，如果用直接開平方法求，如果n0，則原方程則原方程_二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)a無解無解公式法公式法 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是的求根公式是 _因式因式分解分解法法 因式分解法的一般步驟是因式分解法的一般步驟是： (1)將方程的右邊化為將方程的右邊化為_； (2)將方程的左邊化成兩個(gè)一次因式的積將方程的左邊化成兩個(gè)一次因式的積； (3)令每個(gè)因式都等于令每個(gè)因式都等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，得到兩個(gè)一元一次方程， 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二 次方程的解次方程的解bbacxa 2420考點(diǎn)三考點(diǎn)三一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式(2011版新課標(biāo)新增版新課標(biāo)新增 關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根的判別式為的根的判別式為 b2-4ac. (1)b2-4ac0 一元二次方程有兩個(gè)一元二次方程有兩個(gè) _的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根. (2)b2-4ac=0 一元二次方程有兩個(gè)一元二次方程有兩個(gè) _的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根. (3)b2-4ac0 一元二次方程一元二次方程 _實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根.不相等不相等相等相等無無10 10 11 11 12 12 內(nèi)容內(nèi)容)考點(diǎn)四考點(diǎn)四 *一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(2011版新課標(biāo)版新課標(biāo)選學(xué)選學(xué)內(nèi)容內(nèi)容)若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根分別為的兩根分別為x1，x2，則，則x1+x2=_,x1x2= _.ba ca13 13 14 14 考點(diǎn)五考點(diǎn)五 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程(組組)解解應(yīng)用題的步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步應(yīng)用題的步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步.列一元二次方程解應(yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？剂幸辉畏匠探鈶?yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是常考內(nèi)容：內(nèi)容：(1)增長(zhǎng)率等量關(guān)系：增長(zhǎng)率等量關(guān)系：A. 增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 100；基礎(chǔ)量基礎(chǔ)量增長(zhǎng)量增長(zhǎng)量 B. 設(shè)設(shè)a為原來量，為原來量，m為平均增長(zhǎng)率，為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)為增長(zhǎng)后的量，則后的量，則a(1+m)nb；當(dāng)；當(dāng)m為平均下降率時(shí)，則有為平均下降率時(shí)，則有a(1-m)nb.(2)利潤(rùn)等量關(guān)系：利潤(rùn)等量關(guān)系：A. 利潤(rùn)售價(jià)利潤(rùn)售價(jià)-成本；成本；B. 利潤(rùn)率利潤(rùn)率 100.成本成本利潤(rùn)利潤(rùn)(3)面積問題常見圖形歸納如下：面積問題常見圖形歸納如下：第一：如圖所示的矩形第一：如圖所示的矩形ABCD長(zhǎng)為長(zhǎng)為a，寬為，寬為b，空白部分，空白部分寬均為寬均為x，則陰影部分的面積表示為，則陰影部分的面積表示為(a-2x)(b-2x).第二：如圖所示的矩形第二：如圖所示的矩形ABCD長(zhǎng)為長(zhǎng)為b，寬為，寬為a，陰影道路，陰影道路的寬為的寬為x，則空白部分的面積為，則空白部分的面積為(a-x)(b-x).第三：如圖所示的矩形第三：如圖所示的矩形ABCD長(zhǎng)為長(zhǎng)為b，寬為，寬為a，陰影道路，陰影道路的寬為的寬為x，則，則4塊空白部分面積的和可以轉(zhuǎn)化為塊空白部分面積的和可以轉(zhuǎn)化為(a-x)(b-x).常考類型剖析類型一類型一 一元二次方程的解一元二次方程的解例例1 若若n(n0)是關(guān)于是關(guān)于x的方程的方程x2+mx+3n=0的一個(gè)根，則的一個(gè)根，則m+n的值是的值是( )A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【解析解析】n(n0)是關(guān)于是關(guān)于x的方程的方程x2+mx+3n=0的一個(gè)根，的一個(gè)根，n2+mn+3n=0，n0,對(duì)方程兩邊同時(shí)除以對(duì)方程兩邊同時(shí)除以n得得n+m+3=0，m+n=-3.A【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】已知含參數(shù)的方程的根，則可根據(jù)方程已知含參數(shù)的方程的根，則可根據(jù)方程根的定義直接代入方程，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的新方程，根的定義直接代入方程，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的新方程，從而確定參數(shù)值，但要注意問題中的隱含條件，如一從而確定參數(shù)值，但要注意問題中的隱含條件，如一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.類型二類型二 解一元二次方程解一元二次方程例例2 (15重慶重慶A卷卷)一元二次方程一元二次方程x2-2x=0的根是的根是( )A. x1=0,x2=-2 B. x1=1,x2=2C. x1=1,x2=-2 D. x1=0,x2=2【解析解析】將原方程左邊因式分解，得將原方程左邊因式分解，得x(x2)=0，即即x=0或或x2=0，x1=0，x2=2D【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】一元二次方程有四種解法：因式分解法、一元二次方程有四種解法：因式分解法、直接開平方法、配方法和公式法直接開平方法、配方法和公式法.(1)若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，且方程的右邊為若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，且方程的右邊為0，可考，可考慮用因式分解法求解；慮用因式分解法求解；(2)若一元二次方程缺少一次項(xiàng)，可考慮用因式分解法或若一元二次方程缺少一次項(xiàng)，可考慮用因式分解法或直接開平方法求解；直接開平方法求解；(3)若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)的系數(shù)是，且一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，可考慮用配方法求解；偶數(shù)時(shí)，可考慮用配方法求解；(4)若用以上三種方法都不容易求解時(shí)，可考慮用公式法若用以上三種方法都不容易求解時(shí)，可考慮用公式法求解求解.拓展題拓展題1 方程方程x2-x-1=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是( )A. 1- B. C. -1+ D. B55 152 152【解析解析】a=1,b=-1,c=-1,b2-4ac=(-1)2-41(-1)5.x= , 15152 12x,x.12151522類型三類型三 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式例例3 (15涼山州涼山州)關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)有實(shí)數(shù)根，則數(shù)根，則m的取值范圍是的取值范圍是( )A.m3 B.m3C.m3且且m2 D.m3且且m2【解析解析】關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，有實(shí)數(shù)根，m-20且且b2-4ac0，即，即22-4(m-2)10，解得，解得m3,m的的取值范圍是取值范圍是m3且且m2.D【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】求方程中字母的取值范圍通常與方程的解求方程中字母的取值范圍通常與方程的解有關(guān)有關(guān).要根據(jù)方程解的情況確定根的判別式與要根據(jù)方程解的情況確定根的判別式與0的大小關(guān)的大小關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，解方程或不等式即系，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，解方程或不等式即可可.需要注意的是要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不等于需要注意的是要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不等于0的情況的情況.類型四類型四 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例例4 (15金華金華)一元二次方程一元二次方程x2+4x-3=0的兩根為的兩根為x1，x2，則，則x1x2的值是的值是( )A. 4 B. -4 C. 3 D. -3【解析解析】由題可知：由題可知：a=1,b=4,c=-3,x1x2= =-3.ca 31D【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】一元二次方程中利用根與系數(shù)的關(guān)系求代一元二次方程中利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值常用到以下幾個(gè)關(guān)系式：數(shù)式的值常用到以下幾個(gè)關(guān)系式： xxxxx x ;xx;xxx xxxx x;xxx xxxx xxxxxx xxxxxx x 2221212121212122121222212122121221121221212121211221132454注意隱含條件：注意隱含條件：a0，b2-4ac0.拓展題拓展題2 (15內(nèi)江內(nèi)江)已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2-6x+k=0的兩根分的兩根分別是別是x1、x2，且滿足，且滿足 ,則則k的值是的值是_.xx121132【解析解析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.由關(guān)于由關(guān)于x的的方程方程x2-6x+k=0的兩根為的兩根為x1、x2,可得可得x1+x2=6,x1x2=k，再由方程，再由方程 可得可得 ,即即 .解得解得k=2.xx12113xxx x 12123k 63類型五類型五 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例例5 (15烏魯木齊烏魯木齊)某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星元，每星期可賣出期可賣出300件件.市場(chǎng)調(diào)查反映市場(chǎng)調(diào)查反映:每降價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多元，每星期可多賣出賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷售單價(jià)元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？定為多少元？【信息梳理信息梳理】原題信息原題信息整理后的信息整理后的信息一一每星期賣出每星期賣出300件，市場(chǎng)件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每降調(diào)查反映：每降1元，每元，每星期可多賣出星期可多賣出20件，已知件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件商品的進(jìn)價(jià)為每件40元元設(shè)每件降價(jià)設(shè)每件降價(jià)x元，則每元，則每件利潤(rùn)件利潤(rùn)(60-x-40)元，每元，每星期可賣星期可賣(300+20 x)件件二二商家還想獲得商家還想獲得6080元的利元的利潤(rùn)潤(rùn)(20-x)(300+20 x)=6080解解: :設(shè)每件降價(jià)設(shè)每件降價(jià)x元，根據(jù)元，根據(jù)題意得題意得(20-x)(300+20 x)=6080解得解得x1=1,x2=4,又考慮到顧客得實(shí)惠，故又考慮到顧客得實(shí)惠，故x=4，即定價(jià)為，即定價(jià)為56元，元，答：應(yīng)該將銷售價(jià)定為答：應(yīng)該將銷售價(jià)定為56元元.拓展題拓展題3 某種型號(hào)的電腦，原售價(jià)為某種型號(hào)的電腦，原售價(jià)為7200元元/臺(tái)，經(jīng)臺(tái)，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)售價(jià)為連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)售價(jià)為4608元元/臺(tái)，則平均每次降臺(tái)，則平均每次降價(jià)的百分率為價(jià)的百分率為_.20【解析解析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，由題意，得，由題意，得7200(1-x)2=4608，解得：，解得：x1=1.8(舍去舍去),x2=0.2=20%.失分點(diǎn)失分點(diǎn)6 解一元二次方程解一元二次方程的的“丟根丟根”現(xiàn)象現(xiàn)象方程方程x(x-1)=2(x-1)2的根為的根為( )A. 1 B. 2 C. 1和和2 D. 1和和-2【解析解析】方程兩邊同時(shí)除以公因式方程兩邊同時(shí)除以公因式(x-1)得：得：x=2(x-1), 第一步第一步 方程移項(xiàng)得：方程移項(xiàng)得：x-2(x-1)=0, 第二步第二步 去括號(hào)得：去括號(hào)得：-x+2=0, 第三步第三步 解得：解得：x=2. 第四步第四步上述解析過程是從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，應(yīng)該改為上述解析過程是從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，應(yīng)該改為 _，此題最終的結(jié)果是，此題最終的結(jié)果是_.C移項(xiàng)得：移項(xiàng)得：x(x-1)-2(x-1)2=0【名師提醒名師提醒】解一元二次方程時(shí)，若方程兩邊含有相同解一元二次方程時(shí)，若方程兩邊含有相同的因式，應(yīng)先將方程化為一般形式，再選擇合適的方法的因式，應(yīng)先將方程化為一般形式，再選擇合適的方法求解，切記不要直接約去相同的因式，以免漏解求解，切記不要直接約去相同的因式，以免漏解.