第四章第四章 三角形三角形 第二節(jié)第二節(jié) 三角形及其性質(zhì)三角形及其性質(zhì)第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理中招考點清單三角形及其分類三角形及其分類考點一考點一1 .三角形的定義三角形的定義：由不在同一條直線上的：由不在同一條直線上的_首首 尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形三條線段三條線段2. 按邊分類按邊分類三邊都不相等的三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形“底邊底邊腰長腰長”的等腰三角形的等腰三角形_三角形三角形等邊三角形等邊三角形3. 按角分類按角分類銳角三角形銳角三角形直角三角形直角三角形_三角形三角形 三角形三角形鈍角鈍角 一般三角形的性質(zhì)一般三角形的性質(zhì)考點二考點二1. 三角形的三邊關(guān)系三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和：三角形兩邊之和_第三邊，第三邊， 三角形兩邊之差三角形兩邊之差_第三邊，若一個三角形的三邊第三邊，若一個三角形的三邊 邊長分別為邊長分別為a、b、c，則，則|a-b|ca+b.大于大于小于小于2. 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于：三角形內(nèi)角和等于_.1803. 三角形內(nèi)外角關(guān)系三角形內(nèi)外角關(guān)系 (1)三角形的任一個外角三角形的任一個外角_與它不相鄰的兩個內(nèi)與它不相鄰的兩個內(nèi) 角的和角的和(2)三角形的外角三角形的外角_任何一個和它不相鄰的內(nèi)角任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 等于等于大于大于 三角形的重要線段三角形的重要線段考點三考點三1. 三角形的中線三角形的中線(如圖所示如圖所示) (1)AM是是ABC的中線；的中線； (2)AM是是ABC中中BC邊上的中線；邊上的中線； (3)點點M是是BC邊的中點；邊的中點； (4)BM_； (5)重心：三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形重心：三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形 的重心的重心.(2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容版新課標(biāo)新增內(nèi)容)圖圖MC或或 BC122. 三角形的高線三角形的高線(如圖所示如圖所示) (1)AD是是ABC的高線；的高線； (2)ADBC，垂足為，垂足為D； (3)ADB90或或ADC90； (4)面積計算公式：面積計算公式：S= ah,a是三角形任意一邊的長，是三角形任意一邊的長，h 是這條邊上的高；是這條邊上的高； (5)垂心：三角形的三條高所在的直線交于一點，這點垂心：三角形的三條高所在的直線交于一點，這點 稱為三角形的垂心稱為三角形的垂心.12圖圖 3.三角形的角平分線三角形的角平分線(如圖所示如圖所示) (1)AD是是ABC的角平分線；的角平分線； (2)AD平分平分BAC交交BC于點于點D； (3)12 _； (4)內(nèi)心：三角形的三條角平分線交于一點，這點稱為三內(nèi)心：三角形的三條角平分線交于一點，這點稱為三 角形的內(nèi)心角形的內(nèi)心.圖圖 12BAC4. 三角形的中位線三角形的中位線 (1)中位線的概念：連接三角形中位線的概念：連接三角形 _的線段叫做的線段叫做 三角形的中位線三角形的中位線. (2)中位線的性質(zhì)：三角形的中位線中位線的性質(zhì)：三角形的中位線 _第三邊，第三邊， 并且等于第三邊的并且等于第三邊的 _.兩邊中點兩邊中點平行于平行于一半一半11 11 12 12 13 13 (3)如圖，如圖，ABC三邊中點分別為點三邊中點分別為點D、E、F，則有，則有DFBC且且DF= BC；DEAC且且DE= AC；EFAB且且EF= AB；SADF= SDBE =SFEC =SEFD = SABC.圖圖121212141. 等腰三角形等腰三角形 性質(zhì)：性質(zhì)：(1)兩腰相等，兩腰相等， _相等；相等；(2)頂角的平分線、頂角的平分線、 底邊上的高、底邊上的中線互相重合；底邊上的高、底邊上的中線互相重合；(3)是軸對稱圖是軸對稱圖 形，有形，有 _條對稱軸條對稱軸. 判定：判定：(1)有兩條邊相等的三角形；有兩條邊相等的三角形；(2)有兩個角相等的有兩個角相等的 三角形，等角對等邊三角形，等角對等邊. 面積計算公式：面積計算公式：S= ah(h是邊是邊a上的高上的高).兩底角兩底角一一1214 14 15 15 考點四考點四 特殊三角形的性質(zhì)及判定特殊三角形的性質(zhì)及判定(高頻考點高頻考點)2. 等邊三角形等邊三角形 性質(zhì)：性質(zhì)：(1)三邊相等；三邊相等；(2)三內(nèi)角相等，且每一個內(nèi)角都等三內(nèi)角相等，且每一個內(nèi)角都等 于于 _；(3)內(nèi)外心重合；內(nèi)外心重合；(4)是軸對稱圖形，有是軸對稱圖形，有 _對稱軸對稱軸. 判定：判定：(1)三條邊相等的三角形；三條邊相等的三角形；(2)三個角都相等的三角三個角都相等的三角 形；形；(3)有一個角等于有一個角等于60的的 _是等邊三角形是等邊三角形. 面積計算公式：面積計算公式：S= ah= a2(h是邊是邊a上的高上的高).60三條三條等腰三角形等腰三角形16 16 17 17 18 18 12343. 直角三角形直角三角形 性質(zhì)：性質(zhì)：(1)兩銳角之和等于兩銳角之和等于 _；(2)斜邊上的中線斜邊上的中線 等于斜邊的等于斜邊的 _；(3)30角所對的直角邊等于斜角所對的直角邊等于斜 邊的一半；邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半,那么那么 這條直角邊所對的銳角等于這條直角邊所對的銳角等于 _；(5)兩直角邊的兩直角邊的 平方和等于斜邊的平方；平方和等于斜邊的平方；(6)直角三角形的面積等于直角三角形的面積等于 兩直角邊乘積的一半兩直角邊乘積的一半.90一半一半3019 19 20 20 21 21 判定：判定：(1)有一個角為有一個角為90；(2)斜邊上的中線等于斜邊的斜邊上的中線等于斜邊的一半；一半；(3)若若a2+b2=c2，則以，則以a、b、c為三邊的三角形是直為三邊的三角形是直角三角形角三角形.面積計算公式：面積計算公式：S= ch= ab(a、b為兩直角邊，為兩直角邊，h是斜邊是斜邊c上的高上的高).1212?？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?三角形中位線的有關(guān)計算三角形中位線的有關(guān)計算 (15山西山西)如圖，在如圖，在ABC中，點中，點D，E分別是邊分別是邊AB,BC的中點的中點.若若DBE的周長是的周長是6，則，則ABC的周長是的周長是( )A. 8 B. 10 C. 12 D. 14例例1例例1題圖題圖 【解析解析】點點D、E分別是邊分別是邊AB、BC的中點，的中點，BE= BC，BD= AB，DE= AC，DBE的周長是的周長是6， BC+ AB+ AC= (BC+AB+AC)=6,BC+AB+AC=12，即，即ABC的周長是的周長是12.12121212121212【答案答案】C (15鐵嶺鐵嶺)如圖，點如圖，點D、E、F分別為分別為ABC各邊中點，下列說法正確的是各邊中點，下列說法正確的是( )A. DE=DFB. EF= ABC. SABD =SADCD. AD平分平分BAC拓展題拓展題1拓展題拓展題1圖圖12【解析解析】A.點點D、E、F分別為分別為ABC各邊中點，各邊中點，DE= AC,DF= AB,ACAB,DEDF,故該選項錯誤；故該選項錯誤；B.由由A選項的思路可知，選項的思路可知，B選項錯誤；選項錯誤；C.SABD= BDh,SACD = CDh，BDCD，SABD =SACD，故該選項正確；，故該選項正確；D.BD=CD，ABAC,AD不平分不平分BAC，故該選項錯誤，故該選項錯誤.故故選選C. 12121212【答案答案】C類型二類型二 等腰三角形性質(zhì)的有關(guān)計算等腰三角形性質(zhì)的有關(guān)計算 (15荊門荊門)已知，一個等腰三角形的兩邊長分別是已知，一個等腰三角形的兩邊長分別是2和和4，則該等腰三角形的周長為則該等腰三角形的周長為( )A. 8或或10 B. 8 C. 10 D. 6或或12例例2【解析解析】題目條件給出了兩邊，沒有明確是底還是腰，所題目條件給出了兩邊，沒有明確是底還是腰，所以要進行分類討論，分類后還要用三角形三邊關(guān)系去驗證以要進行分類討論，分類后還要用三角形三邊關(guān)系去驗證每種情況是否都成立當(dāng)每種情況是否都成立當(dāng)2為腰長時，三邊為為腰長時，三邊為2，2，4，此，此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)2為底邊長時，三邊為為底邊長時，三邊為2，4，4，此，此時能構(gòu)成三角形，周長為時能構(gòu)成三角形，周長為2+4+410. 故選故選C.C (15南寧南寧)如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AD=DC,B=70，則，則C的度數(shù)為的度數(shù)為( )A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 拓展題拓展題2圖圖拓展題拓展題2【解析解析】AB=AD,B=70，ADBB70，AD=DC,DAC=C,ADB=DAC+C2C70，C ADB3512A類型三類型三 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 (15陜西陜西)如圖，在如圖，在ABC中，中，A36，ABAC，BD是是ABC的角平分線的角平分線.若在邊若在邊AB上截取上截取BEBC，連接，連接DE，則圖中等腰三角形共有，則圖中等腰三角形共有( )A. 2個個 B. 3個個 C. 4個個 D. 5個個例例3例例3題圖題圖 【解析解析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及判定本題考查等腰三角形的性質(zhì)及判定.A=36，AB=AC，ABC=C= (180-36)=72，ABC是等腰三角形是等腰三角形.BD是是ABC的角平分線，的角平分線，ABD=DBC= ABC=36，BDC=180-CDBC=72，C=BDC=72，BCD是等腰三角形是等腰三角形.BC=BD.BE=BC,BE=BD，BED是等腰三角形是等腰三角形.EBD=36，A=ABD=36，ABD是等腰三角形是等腰三角形.BED= (18036)=72，AED=180-BED=108，又，又A=36，ADE=180 -AAED=12121218036108=36，AADE，AED是是等腰三角形等腰三角形.等腰三角形有等腰三角形有ABC、BCD、ABD、BED、AED共共5個個.【答案答案】D【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】有關(guān)等腰三角形的判定常用的方法為：有關(guān)等腰三角形的判定常用的方法為：(1)直接證明三角形的兩邊相等，可以通過直接計算或直接證明三角形的兩邊相等，可以通過直接計算或者等量代換求得兩邊的數(shù)量關(guān)系，從而判定等腰三角者等量代換求得兩邊的數(shù)量關(guān)系，從而判定等腰三角形；形；(2)通過求三角形的兩個內(nèi)角相等，利用等角對等通過求三角形的兩個內(nèi)角相等，利用等角對等邊即可得到三角形的兩邊相等，從而判定等腰三角形邊即可得到三角形的兩邊相等，從而判定等腰三角形.類型四類型四 直角三角形性質(zhì)的有關(guān)計算直角三角形性質(zhì)的有關(guān)計算 (15北京北京)如圖，公路如圖，公路AC,BC互相垂直，公路互相垂直，公路AB的中的中點點M與點與點C被湖隔開，若測得被湖隔開，若測得AM的長為的長為1.2 km，則，則M、C兩兩點間的距離為點間的距離為( )A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.9 km D. 1.2 km例例4例例4題圖題圖 【解析解析】ACBC，ABC是直角三是直角三角形，又角形，又M是是AB的中點，的中點，CM是斜邊是斜邊的中線，的中線，AM=1.2 km，CM= AB=AM=1.2 km.12D【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】一般涉及求線段長度時一般涉及求線段長度時:(1)若在直角三角形中，可利用勾股定理進行求解若在直角三角形中，可利用勾股定理進行求解;(2)若在一般三角形中，可構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進若在一般三角形中，可構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進行求解行求解;(3)若已知中線是對邊的一半，聯(lián)想到直角三角形中斜邊上若已知中線是對邊的一半，聯(lián)想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，然后利用勾股定理進行求解的中線等于斜邊的一半，然后利用勾股定理進行求解. (15畢節(jié)畢節(jié))如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90，B30，AD平分平分CAB，交，交BC于點于點D，若，若CD1，則，則BD_.拓展題拓展題3圖圖2拓展題拓展題3【解析解析】C=90，B30，CAB60，AD平分平分CAB，BAD= CAB=30，BD=AD=2CD=212失分點失分點13 等腰三角形的計算等腰三角形的計算若等腰三角形的一個內(nèi)角為若等腰三角形的一個內(nèi)角為50，則它的底角為，則它的底角為( )A. 50 B. 65C. 50或或65 D. 50或或80解法一：由題意知三角形的一個內(nèi)角為解法一：由題意知三角形的一個內(nèi)角為50，則底角是，則底角是50.故選故選A.解法二：由題意知三角形的一個內(nèi)角為解法二：由題意知三角形的一個內(nèi)角為50，則底角，則底角= (180-50)=65.故選故選B.12 上述解法出現(xiàn)錯誤的原因是上述解法出現(xiàn)錯誤的原因是_應(yīng)改為應(yīng)改為_此題的最終結(jié)果是此題的最終結(jié)果是C.角是角是50，考慮不全，沒有確定考慮不全，沒有確定50角是底角還是頂角；當(dāng)角是底角還是頂角；當(dāng)50角為底角時，等腰三角形的底角為底角時，等腰三角形的底是是65，當(dāng)當(dāng)50角為頂角時，等腰三角形的底角角為頂角時，等腰三角形的底角【名師提醒名師提醒】1. 確定頂角和底角確定頂角和底角.當(dāng)已知等腰三角形的一個當(dāng)已知等腰三角形的一個角時，要先確定該角是頂角還是底角，分情況進行討論；角時，要先確定該角是頂角還是底角，分情況進行討論；2. 確定底和腰確定底和腰.當(dāng)已知等腰三角形的兩邊時，要先確定哪條當(dāng)已知等腰三角形的兩邊時，要先確定哪條邊作腰或底邊，分情況進行討論邊作腰或底邊，分情況進行討論.