第5課二次根式及其運(yùn)算 1二次根式的概念： 式子 叫做二次根式 2二次根式的性質(zhì)： (1)( )2 ； (2) |a| (3) (4) 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理( (a0)0)a( (a0)0)a( (a0)0)0( (a0)0)a( (a0)0)3二次根式的運(yùn)算： (1)二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類根式； (2)二次根式的乘法： ； (3)二次根式的除法： 4最簡二次根式： 運(yùn)算結(jié)果中的二次根式，一般都要化成最簡二次根式 最簡二次根式，滿足兩個(gè)條件： 被開方數(shù)不含分母； 被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式( (a00，b0)0)( (a00，b0)0)1正確理解二次根式的意義 二次根式 定義中的“a0”是定義的一個(gè)重要組成部分，不可以省略，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒有意義在具體問題中，一旦出現(xiàn)了二次根式 ，就意味著a0，這通常作為一個(gè)重要的隱含條件來應(yīng)用；被開方數(shù)a既可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如： 、 (ab0)、 (x3)都是二次根式 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2注意正確的化簡及二次根式的混合運(yùn)算 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與有理數(shù)混合運(yùn)算相似，而二次根式的混合運(yùn)算則與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，如：運(yùn)算順序都是先算乘方、開方、再算乘除、最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；有理數(shù)、整式、分式運(yùn)算中的運(yùn)算律(分配律、結(jié)合律、交換律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的運(yùn)算仍然適用3與二次根式相關(guān)的求值問題 條件二次根式的求值，問題往往與整式、分式綜合起來，因此技巧性較強(qiáng)，解題不要急于動(dòng)手，宜先統(tǒng)籌好解題的方法與過程通常是將已知式與求值式化簡后，再按照求代數(shù)式的方法進(jìn)行，以簡便、準(zhǔn)確為目的 1(2011泉州)(2)2的算術(shù)平方根是() A. 2 B2 C2 D. 解析： 2. 2(2011廣安)下列運(yùn)算正確的是() A(x1)x1 B. C. 2 D(ab)2a2b2 解析：因?yàn)?2， 20，所以 ( 2) 22 .基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測AC 3(2011泰安)下列運(yùn)算正確的是() A. 5 B4 1 C. 9 D. 6 解析： 6. 4(2011杭州)下列各式中，正確的是() A. 3 B 3 C. 3 D. 3 解析：因?yàn)?3，所以 3.DB 5(2011菏澤)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 化簡后為() A. 7 B7 C2a15D無法確定 解析：可知5a0，a113或k B0k3 解析：要使等式成立，必須 有 k3.題型分類 深度剖析D (2)已知a、b、c是ABC的三邊長，試化簡： . 解：原式|abc|abc|bca|cab| (abc)(bca)(cab)(abc) 2a2b2c.探究提高探究提高 1.1.對于二次根式，它有意義的條件是被開方數(shù)非負(fù)對于二次根式，它有意義的條件是被開方數(shù)非負(fù). . 2. 2.注意二次根式性質(zhì)注意二次根式性質(zhì)( )( )2 2a( (a0)0)， | |a| |的區(qū)別，的區(qū)別， 判斷出各式的正負(fù)性，再化簡判斷出各式的正負(fù)性，再化簡 知能遷移1(1)( )2的平方根是_，9的算術(shù)平方根 是_，_是64的立方根 解析：( )22,2的平方根是 ； 3； 4.3 34 4(2)(2011(2)(2011煙臺煙臺) )如果如果 1 12 2a，則，則( () ) Aa B. . a Ca D. . a 解析：由解析：由1 12 2a00，得，得a . .B(3)若化簡|1x| 的結(jié)果為2x5，則x的取值范圍是_ 解析：|1x| (x1)(4x)2x5， |1x|x10，x1， 且 4x0，x4. 1x4.11x44 題型二二次根式的運(yùn)算 【例2】 (1)下列運(yùn)算正確的是() A2 4 6 B. 4 C. 3 D. 3 解析： 3，選C. (2)計(jì)算： 2 . 解：原式2 .C (3)計(jì)算： 解：原式 15 6 . 探究提高 1.二次根式化簡，依據(jù) (a0，b0)， (a0，b0)，前者將被開方數(shù)變形為有m2 (m為正整數(shù))因式，后者分子、分母同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)?數(shù)使分母變形為m2(m為正整數(shù))的形式，即可將其移到 根號外. 2.二次根式加減，即化簡之后合并同類二次根式 3二次根式乘除結(jié)果要化簡為最簡二次根式 知能遷移2(1)(2011濰坊)下面計(jì)算正確的是() A3 3 B. 3 C. D. 2 解析： 3.B (2)如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和 ，點(diǎn)B關(guān)于 點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為() A2 B1 C2 D1 解析：A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是1和 ， OA|1|1，OB| | ，AB1 AC， OCACOA(1 )12 . 點(diǎn)C所表示的數(shù)為(2 )2 ，選A. A 題型三二次根式混合運(yùn)算 【例3】 計(jì)算： (1)(3 1)(13 )(2 1)2； (2)( 3)2010( 3)2010. 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：(1)原式(3 )21(2 )24 1 18184 1 2分 84 4分 (2)原式( 3)( 3)2010 2分 ( )2322010 (109)20101 4分探究提高 1.二次根式混合運(yùn)算，把若干個(gè)知識點(diǎn)綜合在一起，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì). 2.可以適當(dāng)改變運(yùn)算順序，使運(yùn)算簡便 知能遷移3(1) ( )0 解：原式3 3 1 1 (2)(3)2 ( )1； 解：原式9229 (3)已知 的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2b2的值 解：3 4， 的整數(shù)部分a3，小數(shù)部分b 3. a2b232( 3)2 9(106 9) 106 . 題型四二次根式運(yùn)算中的技巧 【例4】 (1)已知x2 ，y2 ，求：x2xyy2的值； (2)已知x 3，求x 的值 解：(1)x2 ，y2 ， xy(2 )(2 )4， xy(2 )(2 )1， x2xyy2(xy)2xy42115. (2) 4(3)245， x .( ( x ) )2 2( ( x ) )2 2 探究提高 1.x2xyy2是一個(gè)對稱式，可先求出基本對稱式xy4， xy1，然后將x2xyy2轉(zhuǎn)化為(xy)2xy，整體代入即可. 2.注意到(x )2(x )24，可得(x )25， x . 知能遷移4(1)若y x3，則10 x2y的 平方根為_； 解析：(1) x2，y238， 6.6 6 (2)已知a32 ，b32 ，求a2bab2的值； 解：ab(32 )(32 )4 ， ab(32 )(32 )11， a2bab2ab(ab)(11)4 44 . (3)已知x ，y ，求 的值； 解：x ( 1)232 ， y ( 1)232 ， xy6，xy4 ，xy1. 原式 .2 21 12 21 1 2 21 11 1 2 22 21 12 21 1 2 21 12 21 1 (4)(2011內(nèi)江)已知|63m|(n5)23m6 ， 則mn_. 解析：由|63m|(n5)23m6 ， 得|63m|(n5)2 3m6， |63m|(n5)2|n| 3m6， m30且n50， m3，n5，mn352.2 2答題規(guī)范 2注意二次根式運(yùn)算中隱含條件 考題再現(xiàn)已知：a ，求 的值 學(xué)生作答解：原式 a1 a1 . 當(dāng)a 時(shí)， 原式 1(2 )12 . 規(guī)范解答 解：a 1，a10. |a1|1a. 原式 a1 . 當(dāng)a 時(shí)， 原式 1(2 )3. 老師忠告 (1)題目中的隱含條件為a 1，所以 |a1|1a，而不是a1； (2)注意挖掘題目中的隱含條件，是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵之一，上題中的隱含條件a |a1| 1a是進(jìn)行二次根式化簡的依據(jù)，同學(xué)們應(yīng)注重分析能力 的培養(yǎng)，提高解題的正確性. 思想方法 感悟提高 方法技巧 1.二次根式相加減，必須先化成最簡二次根式，才能有效地合并同類二次根式；二次根式乘除，不必化簡為最簡二次根式，因?yàn)橛袝r(shí)在乘除中可直接約分為最簡二次根式或有理式，即使沒有約分的情況，一般來說，只需把積(商)進(jìn)行一次化簡(因?yàn)榻Y(jié)果須是最簡二次根式)，當(dāng)然較先化最簡二次根式一次，又把積(商)再化簡一次較為簡單 2.混合運(yùn)算時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況，靈活確定運(yùn)算順序，可適當(dāng)改變運(yùn)算的順序，使運(yùn)算簡便 失誤與防范 1.求 時(shí)，一定要注意確定a的大小，應(yīng)注意利用等式 |a|，當(dāng)問題中已知條件不能直接判定a的大小時(shí)就要分類 討論 2.化簡二次根式的題目，形式多樣，應(yīng)先化簡后求值，應(yīng)力求把根號去掉在求算術(shù)平方根時(shí)，要先用含絕對值的式子表示含字母的式子，保證求原式的算術(shù)平方根有意義，然后再根據(jù)題目條件，判斷求絕對值的式子的符號 3一般情況下，我們解題時(shí)，總會習(xí)慣地把重點(diǎn)放在探求思路和計(jì)算結(jié)果上，而忽視了一些不太重要、不直接影響求解過程的附加條件要特別注意，問題中的條件沒有主次之分，都必須認(rèn)真對待完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 5