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1、 2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 數(shù)列大題 （精解精析） 1．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知． (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列; (2)求的通項(xiàng)公式． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 解析：（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列; （2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列， , , 當(dāng)n=1時(shí)，, 當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立, ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考

2、查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前n項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其中由,得到，進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法． 2．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立． ①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③． 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分． 【答案】答案見(jiàn)解析 解析：選①②作條件證明③： 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得； 所以，所以． 選①③作條件證

3、明②： 因?yàn)?，是等差?shù)列， 所以公差， 所以，即， 因?yàn)椋? 所以是等差數(shù)列． 選②③作條件證明①： 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 因?yàn)?，所以，解得或? 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去． 綜上可知為等差數(shù)列． 【點(diǎn)睛】這類題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)． (1)求的公比； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)的公

4、比為，為的等差中項(xiàng)， ， ； （2）設(shè)前項(xiàng)和為，， ，① ，② ①②得， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，． (1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明； (2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn． 【答案】（1），，，證明見(jiàn)解析；（2）． 解析：（1）由題意可得，， 由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即， 證明如下： 當(dāng)時(shí)，成立； 假設(shè)時(shí)，成立． 那么時(shí)，也成立． 則

5、對(duì)任意的，都有成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由①②得： ， 即． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題． 5．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)已知數(shù)列和滿足，，，． 證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列； 求和的通項(xiàng)公式． 【答案】見(jiàn)解析；，. 【官方解析】 由題設(shè)得，即． 又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 由題設(shè)得，即． 又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． 由知，，． 所以， ． 【分析】可通過(guò)題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列； 可通過(guò)中的

6、結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果. 【解析】由題意可知，，，， 所以，即， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，， 因?yàn)椋? 所以，數(shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列，. 由可知，，， 所以，. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題. 6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，， (1)求的通項(xiàng)公式； (2)記為的前項(xiàng)和，若，求． (1)或；(2) 【答案】【官方解析

7、】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得 由已知得，解得（舍去），或 故或 （2）若，則，由，得，此方和沒(méi)有正整數(shù)解 若，則，由，得，解得 綜上，． 【民間解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以 所以 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （2）由（1）可知 當(dāng)時(shí)，由即，即，所以； 當(dāng)時(shí)，由即，即，無(wú)解 綜上可知． 7．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】解析：（1）設(shè)的公差為，由題意得． 由得，所以的通項(xiàng)公式為． （2）由（1）得． 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為． 8．(2016

8、高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中. (Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若,求. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,. 由,得,即. 由,得,所以. 因此是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得. 9．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如． (I)求；(II)求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】（1）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得． 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． ，，． （2）因?yàn)? 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．

9、 10．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知 (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式： (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫(xiě)出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和． 解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?3， 當(dāng)時(shí)，==，即，因?yàn)?，所?2， 所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為= =． 考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差

10、數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法 11．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足=1，． (Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)證明： 【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且 所以是首相為，公比為的等比數(shù)列。 因此，所以的通項(xiàng)公式為． （Ⅱ）由（1）知 當(dāng)時(shí)，，所以 于是 所以 考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的證明及通項(xiàng)公式的求法；（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)的和 （3）放縮法證明不等式 難度：C 備注：一題多解 12．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,其中為常數(shù)． (1)證明:; (2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由． 【答案】解析:(1)由題設(shè),,兩式相減 ,由于,所以． (2)由題設(shè),,可得,由(1)知 假設(shè)為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得; 證明時(shí),為等差數(shù)列:由知 數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列 令則,∴ 數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列 令則,∴ ∴(), 因此,存在存在,使得為等差數(shù)列． 考點(diǎn):(1)等差數(shù)列的證明;(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和及綜合應(yīng)用(3)分類討論思想 難度:C 備注:高頻考點(diǎn)