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1、 2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率（精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空， 若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法， 所以2個(gè)0不相鄰的概率為． 故選：C． 2．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：如圖所示： 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有

2、結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為． 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋磮D中的陰影部分，其面積為，所以． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)

3、的平均數(shù)為， 方差為． 因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 4．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè) 爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“——”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī) 取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】答案：A 解析：所有的重卦共有個(gè)，而恰有3個(gè)陽(yáng)爻的重卦有個(gè)，所以所求概率為． 5．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)某群體中的每位成員使用移動(dòng)

4、支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：依題意可知，則，解得或 又，所以即，即 所以，故選B． 6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共

5、有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率，故選C． 7．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II．其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自1，II,III的概率分別記為則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：如圖：設(shè)，∴，∴， ∴，∴，故選A． 8．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部

6、分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為．由圖形的對(duì)稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B． 秒殺解析:由題意可知,此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例,由圖可知其概率,故選B． 【考點(diǎn)】幾何概型 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于幾何概型的計(jì)算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長(zhǎng)度、面積、體積或時(shí)間),其次計(jì)算基本事件區(qū)域

7、的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計(jì)算． 9．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成個(gè)數(shù)對(duì)，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幾何概型問題：樣本空間 其面積為： 事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)”對(duì)應(yīng)的集合為： 其對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為：，所以 所以，故選C． 10．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是 (　　) (A)(

8、B)(C)(D) 【答案】B 【解析】如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘 根據(jù)幾何概型，所求概率．故選B． 11．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為 (　　) A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312 【答案】A 解析：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測(cè)試的概率為=0．648，故選A． 考點(diǎn)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與

9、互斥事件和概率公式 12．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0．75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0．6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 (　　) A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45 【答案】A 解析：設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A． 考點(diǎn)：（1）條件概率的求法；。 難度：B 備注：易錯(cuò)題 13．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率 (　　) A． B． C

10、． D． 【答案】 D 解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)共有種, 周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動(dòng)有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;選D． 考點(diǎn):(1)古典概型的概率(2)分類討論思想 難度:B 備注:高頻考點(diǎn) 二、填空題 14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次

11、為“主主客客主客主” ．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是 ． 【答案】答案： 解析：因?yàn)榧钻?duì)以4：1獲勝，故一共進(jìn)行5場(chǎng)比賽，且第5場(chǎng)為甲勝，前面4場(chǎng)比賽甲輸一場(chǎng)， 若第1場(chǎng)或第2場(chǎng)輸1場(chǎng)，則， 若第3場(chǎng)或第4場(chǎng)輸1場(chǎng)，則， 所以甲以4：1獲勝的概率是． 15．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 ． 【答案】 【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求

12、解能力． 【解析】隨機(jī)變量， 【知識(shí)拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一，隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題，正態(tài)分布和二項(xiàng)分 布都以小題出現(xiàn)，且在基礎(chǔ)題位置，難度較低，在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)不宜研究難題． 【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望與方差 【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)： （1）一是是否為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為P． 二是隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率． 16．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則＝________． 【答案】

13、8 解析：由題意，取出的兩個(gè)數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況，∴在n個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是，． 考點(diǎn)：（1）10．5．2古典概型的概率問題； 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 17．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某個(gè)部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為 【答案】 解析： 三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小

14、時(shí)的概率為 設(shè)A={超過1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正常}，B={超過1000小時(shí)時(shí)，元件3正常}，C={該部件的使用壽命超過1000小時(shí)}則 超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率， 而． 那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= 考點(diǎn)：（1）10．4．3互斥事件、對(duì)立事件的概率；（2）10．9．2相互獨(dú)立事件的概率；（3）10．9．7服從正態(tài)分布的概率計(jì)算 難度:B 備注：高頻考點(diǎn) 三、解答題 18．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽

15、簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為， (1)求甲連勝四場(chǎng)的概率； (2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率； (3)求丙最終獲勝的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）記事件甲連勝四場(chǎng)，則； （2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸， 則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為 ， 所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為； （3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸， 記事

16、件甲贏，記事件丙贏， 則甲贏的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲贏概率為． 由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等， 所以丙贏的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題． 19．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)分制乒乓球比賽，每贏一球得分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束． 求； 求事件“且甲獲勝”的概率．

17、 【答案】；. 【官方解析】 就是平后，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此． 且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得分，后兩球均為甲得分． 因此所求概率為 ． 【分析】 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果； 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果. 【解析】由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”， 所以. 由題意可知，

18、包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分” 所以. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題. 20．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定，對(duì)于

19、每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X． (1)求X的分布列； (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則()， 其中，，．假設(shè)，． (i)證明：為等比數(shù)列； (ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性． 【答案】（1）解：X的所有可能取值為， ． 所以的分布列為 X 0 1 P （

20、2）（i）由（1）得． 因此，故，即． 又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列． （ii）由（i）可得 . 由于，故，所以． 表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理． 21．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型①：；

21、根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型②：． (1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由． 【答案】解析：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 （億元）． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 （億元）． （2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投

22、資額，的變化趨勢(shì)．2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． （ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中一種或其他合理理由均可得分． 22．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)

23、某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)． (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． (i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;

24、(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 【答案】解析：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為． 因此． 令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以的最大值點(diǎn)為． （2）由（1）知，． （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即． 所以． （ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元． 由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 23．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可

25、以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． (ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； (ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95

26、 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0．01)． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，． 【答案】(1),;(2)詳見解析． 【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件尺寸在之內(nèi)的概率為,則零件的尺寸在之外的概率為,而,進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望．(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性,重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(ii)根據(jù)題設(shè)條件題出的估計(jì)值和的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)

27、,即為的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計(jì)值． 【解析】(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0．9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0．0026 故．因此． 的數(shù)學(xué)期望為． (2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0．0408,發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． (ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需

28、對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除之外的數(shù)據(jù)9．22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 因此的估計(jì)值為 剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計(jì)值為． 【考點(diǎn)】正態(tài)分布,隨機(jī)變量的期望和方差． 【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平,求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí),首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式,計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率,列出對(duì)應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望．正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態(tài)分布的原則． 24．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)某超市計(jì)劃按月

29、訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替

30、最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值? 【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元． 【解析】(1)依題意可知的所有可能取值為 其中,, 所以的分布列為 (2)①當(dāng)時(shí):,此時(shí),當(dāng)時(shí)取到． ②當(dāng)時(shí): 若,則, 若時(shí),則 若時(shí),則 的分布列為 ∴ 此時(shí),當(dāng)時(shí)取到． ③

31、當(dāng)時(shí),若,則 若時(shí),則 若時(shí),則 的分布列為 ∴(元) ④當(dāng)時(shí),易知一定小于③的情況． 綜上,當(dāng)為瓶時(shí),的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望; 【點(diǎn)評(píng)】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布;并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì):一是 (i=1,2,);二是檢驗(yàn)分布列的正誤． 25．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如

32、下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 保費(fèi) 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 概率 0．30 0．15 0．20 0．20 0．10 0． 05 (I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率； (III)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（I）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于，故

33、． （II）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于，故， 又 因此所求概率為． （III）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為：． 26．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了

34、100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)． (I)求的分布列； (II)若要求，確定的最小值； (III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 【答案】 (I) 16 17 18 19 20 21 22 (II) 19 (III) 【官方解答】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)

35、需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0．2,0．4,0．2,0．2．從而 ，， ， ， 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 (II) 由(I)得，，故的最小值為19 (III)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ． 要令，， 則的最小值為19 可知當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望小于當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望∴故應(yīng)選． 【民間解答】⑴ 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11 記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件 記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件

36、 由題知， 設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為 則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，22 16 17 18 19 20 21 22 ⑵要令，， 則的最小值為19． ⑶購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分： 一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用 當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為 當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為 所以應(yīng)選用． 27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如

37、下： 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可)； (Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)： 滿意度評(píng)分

38、低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級(jí) 不滿意 滿意 非常滿意 記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求的概率． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下 通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散． （Ⅱ）記表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”； 表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”；

39、表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”； 表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”． 則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，． ． 由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，．故， ，，，故． 考點(diǎn)：1、莖葉圖和特征數(shù)；2、互斥事件和獨(dú)立事件． 28．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖: (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差． (i)

40、利用該正態(tài)分布,求; (ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187．8,212．2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求． 附:． 若~,則． 【答案】解析:(1)抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為 (2)(ⅰ)由(1)知~,從而 ． (ⅱ)由(ⅰ)知,一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間的概率為 依題意知,所以． 考點(diǎn):(1)頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用;(2)離散型隨機(jī)變量的均值及方差;(3)正態(tài)分布的應(yīng)用;(4)數(shù)形結(jié)合思想 難度:C 備注:高頻考點(diǎn) 29．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)

41、經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若x∈[100,110)，則

42、取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T的數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）; （2）0．7 ；（3）59 400 解析：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000． 當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65 000． 所以 (2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150． 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0．7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0．7． (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 0

43、00 65 000 P 0．1 0．2 0．3 0．4 所以E(T)＝45 000×0．1＋53 000×0．2＋61 000×0．3＋65 000×0．4＝59 400． 考點(diǎn)：（1）10．2．1頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用；（2）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差； 難度： B 備注：典型題 30．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品

44、通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為0．5，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【答案】（1）　　（2）見解析 解析：設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD)

45、,且AB與CD互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=6分 （Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且 P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==， ∴X的分布列為 X 400 500 800 P ……10分 EX=400×+500×+800×=506．25 ……12分 考點(diǎn)：(1）10．4．3互斥事件、對(duì)立事件的概率；（2）10．9．1

46、條件概率；（3）10．9．3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；（４）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)題 31．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售， 如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 (單位：枝，)的函數(shù)解析式． (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13

47、 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． (i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求的分布列、 數(shù)學(xué)期望及方差． (ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？ 請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）　　?。ǎ玻?yīng)購(gòu)進(jìn)17枝 解析：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 得： （2）（i）可取，， 的分布列為 （ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為 　　 得：應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝 考點(diǎn)：（１）2．1．7求函數(shù)的解析式；（２）10．4．2隨機(jī)事件的頻率與概率（３）10．8．2離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用；（４）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)