第1課時離散型隨機變量的均值第二章5 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.理解離散型隨機變量的均值的性質(zhì).3.掌握二項分布的均值.4.會利用離散型隨機變量的均值，反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)思考1知識點一離散型隨機變量的均值任取1個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試問X可以取哪些值？答案答案答案X5,6,7.思考2X取上述值時，對應(yīng)的概率分別是多少？設(shè)有12個西瓜，其中4個重5 kg,3個重6 kg,5個重7 kg.思考3如何求每個西瓜的平均重量？答案隨機變量X的均值(1)均值的定義設(shè)隨機變量X的可能取值為a1，a2，ar，取ai的概率為pi(i1,2，r)，即X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)，則X的均值EX .(2)均值的意義均值刻畫的是隨機變量X取值的“ ”.梳理梳理a1p1a2p2arpr中心位置知識點二兩種特殊隨機變量的均值1.當(dāng)隨機變量服從參數(shù)為n，p的二項分布時，其均值為 .2.當(dāng)隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，它的均值EX .np題型探究題型探究命題角度命題角度1一般離散型隨機變量的均值一般離散型隨機變量的均值類型一離散型隨機變量的均值例例1某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的分布列和均值；解答解解X的可能取值為300，100,100,300.P(X300)0.230.008，P(X100) 0.80.220.096，P(X100) 0.820.210.384，P(X300)0.830.512，所以X的分布列為X300100100300P0.0080.0960.3840.512所以EX(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分).(2)求這名同學(xué)總得分不為負分(即X0)的概率.解答解解這名同學(xué)總得分不為負分的概率為P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.求隨機變量X的均值的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(Xk).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求EX.反思與感悟所以一張彩票的合理價格是0.2元.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？解答解解設(shè)一張彩票的中獎額為隨機變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意，可得X的分布列為命題角度命題角度2二項分布與超幾何分布的均值二項分布與超幾何分布的均值例例2根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨立.(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；解答解解設(shè)該車主購買乙種保險的概率為p，由題意知p(10.5)0.3，解得p0.6.設(shè)所求概率為P1，則P11(10.5)(10.6)0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8.(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的均值.解答解解每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，EX1000.220.X的均值是20.如果隨機變量X服從二項分布即XB(n，p)，則EXnp；如果隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX ，以上兩個特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了煩瑣的計算過程.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2一個口袋內(nèi)有n(n3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n3)個白球.已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是 .不放回地從口袋中隨機取出3個球，求取到白球的個數(shù)的均值E.解答n5，5個球中有2個白球.方法一白球的個數(shù)可取0,1,2.方法二取到白球的個數(shù)服從參數(shù)為N5，M2，n3的超幾何分布，例例3某商場準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷活動.根據(jù)市場行情，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動.(1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；解答解解設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，類型二均值的實際應(yīng)用(2)商場對選出的家電商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品成本價的基礎(chǔ)上提高180元作為售價銷售給顧客，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金.假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎的概率都是 ，且每次獲獎的獎金數(shù)額相同，請問：該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為多少元，此促銷方案才能使商場自己不虧本？解答解解設(shè)顧客抽獎的中獎次數(shù)為X，則X0,1,2,3，于是設(shè)商場將每次中獎的獎金數(shù)額定為x元，則1.5x180，解得x120，即該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元，才能使自己不虧本.處理與實際問題有關(guān)的均值問題，應(yīng)首先把實際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并寫出分布列，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為 .現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；解答解解記E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.解答解解設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.故所求的分布列為當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練23411.現(xiàn)有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為 .隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38解析答案52341解析解析因為X的所有可能取值為1.2,1.18,1.17，所以X的分布列為523412.若p為非負實數(shù)，隨機變量的分布列為答案解析則E的最大值為523413.設(shè)隨機變量XB(40，p)，且EX16，則p等于A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案解析解析解析EXnp40p16，得p0.4.523414.袋中有7個球，其中有4個紅球，3個黑球，從袋中任取3個球，以X表示取出的紅球數(shù)，則EX_.答案解析解析解析由題意知隨機變量X服從N7，M4，n3的超幾何分布，55.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.(1)求的分布列、均值；解答解解的分布列為23451(2)若a4，E1，求a的值.解答23415規(guī)律與方法1.求隨機變量的均值的步驟(1)寫出隨機變量所有可能的取值.(2)計算隨機變量取每一個值時對應(yīng)的概率.(3)寫出分布列，求出均值.2.離散型隨機變量均值的性質(zhì)(1)E(cX)cEX(c為常數(shù)).(2)E(aXb)aEXb(a，b為常數(shù)).(3)E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b為常數(shù)).本課結(jié)束