《高等數(shù)學教學教案§7 3齊次方程 §74 線性微分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學教學教案§7 3齊次方程 §74 線性微分方程（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、六六老師數(shù)學網(wǎng)專用資料： http://y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 §7. 3 齊次方程 §7.4 線性微分方程 授課次序44 教 學 基 本 指 標 教學課題 §7. 3 齊次方程 §7.4 線性微分方程 教學方法 當堂講授，輔以多媒體教學 教學重點 齊次方程和一階線性方程的解法 教學難點 齊次方程和一階線性方程的解法 參考教材 同濟大學編《高等數(shù)學（第6版）》 自編教材《高等數(shù)學習題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學》標準化作業(yè) 雙語教學 導數(shù)：deriv

2、ative； 微分：differential calculus；微分方程：differential equation；階：order ； 常微分方程：ordinary differential equation ；偏微分方程：partial differential equation； 解：solution；通解：general solution；特解：special solution；初始條件：initial condition 課堂教學目標 1． 掌握一階線性方程的解法 2． 會解齊次方程、伯努利方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程 教學過程 1．齊次方程（30min）；

3、 2．一階線性方程（40min）； 3．伯努利方程（10min）； 4．變量代換解某些微分方程（10min） 教 學 基 本 內(nèi) 容 §7. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程.. (2)不是齊次方程.. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程.. (5)是齊次方程.

4、 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y=ux, 有 , 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點. 在L上任取一點M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學及幾何原理可以證明OA=

5、OM, 因為 , 而 . 于是得微分方程,整理得. 這是齊次方程. 問題歸結為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , , ,, 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . 這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設河邊點O的正對岸為點A, 河寬OA=h, 兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從點A游向點O, 設鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動方向始終朝著點 O. 求鴨子游過的跡線的方程. 解 取O為

6、坐標原點, 河岸朝順水方向為x軸, y 軸指向?qū)Π? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y), 則鴨子運動速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問題歸結為解齊次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過的軌跡方程為 , 0￡y￡h. 將代入后的整理過程: . §7.4 線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果Q(x)o0 , 則方程稱為齊次線性

7、方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方程叫做對應于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)T是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y￠=0Ty￠=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y￠+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)T或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得, 兩邊積分, 得, 或, 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 例1 求

8、方程的通解. 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設想成非齊次線性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化簡得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和. 例2 求方程的通解. 例3 有一個電路如圖所示, 其中電源電動勢為E=Emsinwt(Em、w都是常數(shù)), 電阻R和電感L都是常量. 求電流i(t).

9、 解 由電學知道, 當電流變化時, L上有感應電動勢. 由回路電壓定律得出 , . 把E=Emsinw t代入上式, 得. 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中, . 由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n10, 1)叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), T, 是伯努利方程. (3), T, 是伯努利方程. (4), 是線性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以yn除方程的兩邊, 得，令z =y1-n , 得線性方程 . 例4 求方程的通解. 例5 解方程. 備注欄 教 學 后 記 §7. 3 齊次方程 §7.4 線性微分方程 第 6 頁 共 6 頁