1 5 2綜合法和分析法 1 理解綜合法 分析法證明不等式的原理和思想 2 掌握綜合法 分析法證明簡單不等式的方法和步驟 3 能綜合運用綜合法 分析法證明不等式 1 綜合法在證明不等式的時候 我們經(jīng)常要從命題的已知條件出發(fā) 利用公理 已知的定義及定理 逐步推導 從而最后導出要證明的命題 這種方法稱為綜合法 名師點撥用綜合法證明不等式 就是用因果關(guān)系書寫 從已知出發(fā) 借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理 經(jīng)過逐步的邏輯推理 最后達到待證不等式得證 的全過程 其特點可描述為 由因?qū)Ч?即從 已知 看 可知 逐步推向 未知 綜合法屬邏輯方法范疇 它的嚴謹體現(xiàn)在步步注明推理依據(jù) 答案 D 2 分析法從需要證明的命題出發(fā) 分析使這個命題成立的充分條件 利用已知的一些定理 逐步探索 最后達到命題所給出的條件 或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實 這種證明方法稱為分析法 歸納總結(jié) 名師點撥用分析法證明 若A則B 的模式為 欲證命題B成立 只需證命題B1成立 只需證命題B2成立 只需證明A為真 已知A為真 故B必為真 可以簡單寫成 B B1 B2 Bn A 做一做2 要證a2 b2 1 a2b2 0 只要證 解析 要證a2 b2 1 a2b2 0 只要證a2 1 b2 b2 1 0 只要證 b2 1 a2 1 0 答案 D 綜合法在應用中的有關(guān)問題是什么 剖析 用綜合法證明不等式時 主要利用基本不等式 函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì) 在嚴密的演繹推理下推導出結(jié)論 綜合法證明問題的 入手處 是題設中的已知條件或某些基本不等式 比如下面的幾個 是經(jīng)常用到的 選擇使用哪個不等式作為證題的 原始出發(fā)點 或?qū)σ阎獥l件的轉(zhuǎn)化是證題的關(guān)鍵 這要求對要證明的結(jié)果有充分的分析過程 可以聯(lián)系平時學習過程中積累下來的數(shù)學結(jié)論或知識作出判斷 比如 題型一 題型二 題型三 用綜合法證明不等式 例1 設a b c為 ABC的三條邊 求證 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 分析 本題看似是一道與公式a2 b2 2ab a b R 有關(guān)的題目 又好像與二次函數(shù)有關(guān) 但實際上這兩種思路都行不通 其實本題的關(guān)鍵在于 ABC中隱含的a b c的關(guān)系 證明 證法一 在 ABC中 a b c b a c c b a 則a2 a b c b2 b a c c2 c b a 于是a2 b2 c2 a b c b a c c a b 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 題型一 題型二 題型三 證法二 在 ABC中 設a b c 則0 a b c 0 b c a 0 a c b a b 2 c2 b c 2 a2 a c 2 b2 a b 2 b c 2 a c 2 c2 a2 b2 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 證法三 在 ABC中 設a b c三邊所對的角分別為角A B C 則由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 則a2 b2 c2 b2 c2 2bccosA a2 c2 2accosB a2 b2 2abcosC 即a2 b2 c2 2abcosC 2bccosA 2accosB 在 ABC中 cosA 1 cosB 1 cosC 1 2abcosC 2bccosA 2accosB 2ab 2bc 2ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 題型一 題型二 題型三 反思本題容易由a2 b2 2ab或二次函數(shù)陷入思維定式 比如下面兩種分析 分析一 a2 b2 2ab a2 c2 2ac b2 c2 2bc a2 b2 b2 c2 a2 c2 2ab 2bc 2ac 即a2 b2 c2 ab bc ac 這嚴重背離了原題的證明意圖 分析二 設f a a2 b2 c2 2 ab bc ac 即f a a2 2a b c b2 c2 2bc 4 b c 2 4 b2 c2 2bc 16bc 0 則f a 的值可正 可負 可為零 無法確定 因此 分析題目時 對條件要看清楚 尤其要探尋條件間的限制關(guān)系 以免受到某些思維定式的影響 題型一 題型二 題型三 用分析法證明不等式 分析 本題要證明的不等式顯得較為復雜 不易觀察出怎樣由a b 0得到要證明的不等式 因而可以用分析法先變形要證明的不等式 從中找到證題的線索 題型一 題型二 題型三 反思分析法的格式是固定化的 其中每一步都是上一步成立的充分條件 即每一步數(shù)學式的變化都是在這個要求之下一步一步去尋找成立的條件或結(jié)論 定理 題型一 題型二 題型三 易錯辨析易錯點 因不注意分析法的證題格式而致錯 錯因分析 分析法是 執(zhí)果索因 即由待證的不等式出發(fā) 逐步尋求它要成立的充分條件 所以書寫時必須按照分析法的固有格式進行 本題的錯誤就在于未按分析法的格式證明 題型一 題型二 題型三 12345 A A BB A BC A BD A B 答案 C 12345 2若x y 1 0ayB logax logayC xay 1 根據(jù)指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性可知axya 故排除選項A B C 答案 D 12345 A 2B 3C 4D 5 答案 C 12345 答案 a b 12345 答案