課時(shí)作業(yè)68　幾何概型 1．在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中任取一點(diǎn)M，則滿足∠AMB>90°的概率為(　A　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2．(2019·河南安陽模擬)在區(qū)間[－1,1]上任選兩個(gè)數(shù)x和y，則x2＋y2≥1的概率為(　A　) 解析：在區(qū)間[－1,1]上任選兩個(gè)數(shù)x和y，則如圖，該不等式組表示的平面區(qū)域是邊長為2的正方形區(qū)域，x2＋y2≥1(－1≤x≤1，－1≤y≤1)表示的平面區(qū)域是圖中陰影區(qū)域，∴由幾何概型概率計(jì)算公式得x2＋y2≥1的概率P＝＝＝1－.故選A. 3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　B　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 解析：∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，該圓的面積為π.易知直線y＝x與圓(x－1)2＋y2＝1相交于O(0,0)，A(1,1)兩點(diǎn)，作圖如下： ∵∠OMA＝90°， ∴S陰影＝－×1×1＝－. 故所求的概率P＝＝＝－. 4．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(x－2，x－y)，在[0,3]上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x，y，則點(diǎn)P在第一象限的概率為(　A　) A. B. C. D. 解析：設(shè)事件A為“點(diǎn)P在第一象限”，所表示的區(qū)域面積為3×3＝9.由題意可得事件A滿足 即如圖所示的陰影部分，其區(qū)域面積為1×3－×1×1＝，∴P(A)＝＝. 5．(2019·武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲線f(x)＝sin x和余弦曲線g(x)＝cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是(　B　) A. B. C. D. 6．在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和小于的概率是(　C　) A. B. C. D. 解析：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則總的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，所求事件包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，如圖所示(陰影部分)， 陰影部分的面積是1－×2＝，所以這兩個(gè)數(shù)之和小于的概率是. 7．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(　B　) A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1 C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1 8．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　A　) 9．如圖，在半徑為a的圓內(nèi)有一片湖水，向圓內(nèi)隨機(jī)投入n個(gè)點(diǎn)，則有m個(gè)點(diǎn)落入湖水中(n>m)，據(jù)此估計(jì)湖水的面積為πa2. 10．(2019·湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)平面區(qū)域A1＝{(x，y)|x2＋y2<4，x，y∈R}，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)不在A1內(nèi)的概率為1－. 解析：分別畫出區(qū)域A1，A2，如圖中圓內(nèi)部和正方形及其內(nèi)部所示，根據(jù)幾何概型可知，所求概率為＝1－. 11．(2019·廈門模擬)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為. 解析：因?yàn)閥＝ex與y＝ln x互為反函數(shù)，故直線y＝x兩側(cè)的陰影部分面積相等，所以S陰影＝2·(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，又S正方形＝e2， 故P＝＝. 12．(2019·河南信陽檢測)若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為. 13．某個(gè)四面體的三視圖如圖所示，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為(　C　) 14．(2019·湖北黃岡、黃石等八市聯(lián)考)若張三每天的工作時(shí)間在6小時(shí)至9小時(shí)之間隨機(jī)均勻分布，則張三連續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)的概率是(　D　) A. B. C. D. 解析：設(shè)第一天工作的時(shí)間為x小時(shí)，第二天工作的時(shí)間為y小時(shí)，則因?yàn)檫B續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)，所以≥7，即x＋y≥14，表示的區(qū)域面積為9，其中滿足x＋y≥14的區(qū)域面積為9－×2×2＝7，∴張三連續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)的概率是，故選D.