課時(shí)作業(yè)70　二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用 1．設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(　C　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 解析：由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯(cuò) ； P(X≥σ2)>P(X≤σ1)，故B錯(cuò)； 當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知 P(X≤t)≥P(Y≤t)， 而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)， ∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D錯(cuò)． 2．(2019·福建廈門模擬)袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　D　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝C2＝. 3．(2019·河北唐山模擬)甲乙等4人參加4×100米接力賽，在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是(　D　) A. B. C. D. 解析：甲不跑第一棒共有A·A＝18種情況，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有兩類：(1)乙跑第一棒，共有A＝6種情況；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8種情況，∴甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率為＝.故選D. 4．(2019·山東淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X，且X～N(800,502)．則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為(　A　) (參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4) A．0.977 2 B．0.682 6 C．0.997 4 D．0.954 4 解析：∵X～N(800,502)， ∴P(700≤X≤900)＝0.954 4， ∴P(X>900)＝＝0.022 8， ∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2. 故選A. 5．甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測(cè)試成績(jī)?nèi)缦?單位：分)． 甲組：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙組：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A；“抽出的學(xué)生的英語口語測(cè)試成績(jī)不低于85分”記為事件B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是(　A　) A.， B.， C.， D.， 解析：由題意知，P(AB)＝×＝，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式得P(A|B)＝＝＝. 6．為向國際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，某市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程．現(xiàn)有3名民工相互獨(dú)立地從這60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)，則這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是(　D　) A. B. C. D. 解析：記第i名民工選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由題意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互獨(dú)立，則P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝. 7．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是. 解析：由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，移?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C3·2＝C5＝C5＝. 8．(2019·江西南昌模擬)口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為. 解析：口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回地逐一取球，設(shè)事件A表示“第一次取得紅球”，事件B表示“第二次取得白球”，則P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得紅球后，第二次取得白球的概率為P(B|A)＝＝＝. 9.如圖，四邊形EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)＝. 解析：由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝＝.事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”，則P(AB)＝＝＝， 故P(B|A)＝＝＝. 10．某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為. 解析：設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(A＋B＋AB)C， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率 P＝×＝. 11．(2014·新課標(biāo)Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. (ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8＜Z＜212.2)； (ⅱ)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)．利用(ⅰ)的結(jié)果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)， 從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6. (ⅱ)由(ⅰ)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6， 依題意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26. 12．(2019·廣東順德一模)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列． (1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位) (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值． 解：(1)∵前四組頻數(shù)成等差數(shù)列， ∴所對(duì)應(yīng)的也成等差數(shù)列， 設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻率為0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25. (2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8， ∴為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米， 應(yīng)規(guī)定w＝2.5＋×0.5≈2.83. (3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A≤2.5)＝0.7， 由題意，X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3,0.7)， ∴E(X)＝np＝2.1. 13．(2019·廣東茂名一模)設(shè)X～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是(　D　) (注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%) A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587 解析：∵X～N(1,1)， ∴μ＝1，σ＝1. ∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%， ∴P(0<X<2)＝68.26%， 則P(1<X<2)＝34.13%， ∴陰影部分的面積為1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是10 000×0.658 7＝6 587.故選D. 14．(2019·金華一中模擬)春節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為(　B　) A. B. C. D. 解析：“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事件A，B，C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由題知A，B，C為相互獨(dú)立事件，所以三人都不回老家過節(jié)的概率 P( )＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家過節(jié)的概率P＝1－＝. 15．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是②④.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨(dú)立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，它與A1，A2，A3中哪一個(gè)發(fā)生都有關(guān)． 解析：由題意知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件， P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， P(A3)＝，P(B|A1)＝＝， 由此知，②正確； P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) ＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝. 由此知①③⑤不正確；A1，A2，A3是兩兩互斥事件，④正確，故答案為②④. 16．(2019·河北石家莊新華模擬)“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如下： (1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率； ②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為σ＝≈11.95； 若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率是0.682 6. ②根據(jù)題意得X～B， P(X＝0)＝C4＝； P(X＝1)＝C4＝； P(X＝2)＝C4＝； P(X＝3)＝C4＝； P(X＝4)＝C4＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝4×＝2.