二、數形結合思想-2-數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧,在高考試題中,數形結合思想主要用于解選擇題和填空題,有直觀、簡單、快捷等特點;而在解答題中,考慮到推理論證的嚴密性,圖形只是輔助手段,最終要用“數”寫出完整的解答過程.-3-4-應用一應用二應用三應用四應用一應用一利用數形結合求與方程根有關的問題利用數形結合求與方程根有關的問題 例1若實數a滿足a+lg a=4,實數b滿足b+10b=4,函數f(x)= 則關于x的方程f(x)=x的根的個數是( C )A.1B.2C.3D.4-5-應用一應用二應用三應用四解析:在同一平面直角坐標系中作出y=10 x,y=lg x以及y=4-x的圖象,其中y=10 x,y=lg x的圖象關于直線y=x對稱,直線y=x與y=4-x的交點為(2,2),所以a+b=4,f(x)= 當x0時,由x2+4x+2=x易知x=-1或-2;當x0時,易知x=2,所以方程f(x)=x的根的個數是3.-6-應用一應用二應用三應用四思維升華討論方程的解(或函數的零點)的個數一般可構造兩個函數,轉化為討論兩曲線(或曲線與直線等)的交點個數,其基本步驟是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時,需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數),再在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象,圖象的交點個數即為方程解(或函數零點)的個數.-7-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練1定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(2-x),當x0,2時,f(x)=-4x2+8x.若在區(qū)間a,b上,存在m(m3)個不同整數xi(i=1,2,m),滿足 72,則b-a的最小值為( D )A.15 B.16C.17 D.18-8-應用一應用二應用三應用四解析:由題意得f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x),則f(x+8)=-f(x+4)=f(x).f(x)的周期為8,函數f(x)的圖形如下.f(-1)=-4,f(0)=0,f(1)=4,f(2)=0,f(3)=4,f(4)=0,|f(-1)-f(0)|=4,|f(0)-f(1)|=4,|f(1)-f(2)|=4,|f(2)-f(3)|=4,由 =18,則b-a的最小值為18,故選D.-9-應用一應用二應用三應用四應用二應用二利用數形結合求參數范圍及解不等式利用數形結合求參數范圍及解不等式 例2已知函數f(x)= 若存在實數k使得函數f(x)的值域是0,2,則實數a的取值范圍是( B )-10-應用一應用二應用三應用四解析: 先作出函數f(x)=log2(1-x)+1,-1x1時,f(x)0;當-1x1時,f(x)0,則x的取值范圍是(-1,3). 解析: 作出函數f(x)的大致圖象如圖所示,因為f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x3.則x的取值范圍為(-1,3).-13-應用一應用二應用三應用四應用三應用三數形結合在兩函數圖象交點上的應用數形結合在兩函數圖象交點上的應用 例3函數f(x)=2sin(x)- ,x-2,4的所有零點之和為( D )A.2B.4C.6D.8所以1-x1+1-x2+1-x8=0,故x1+x2+x8=8.-14-應用一應用二應用三應用四(法二)分別畫出函數y= 的圖象與函數y=2sin x(-2x4)的圖象,由圖象可知,兩個圖象共有8個交點,從左到右依次為(x1,y1),(x2,y2),(x8,y8),且均關于(1,0)成中心對稱,x1+x8=2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,思維升華由于兩個函數其中有一個是抽象函數,因而無法求出它們的具體的交點,所以在求其交點橫坐標之和或縱坐標之和或者交點橫縱坐標之和時,常利用數形結合思想,根據兩函數圖象的對稱性求其和.-15-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練3已知函數 若關于x的方程f(x+T)=f(x)有且僅有3個不同的實根,則實數T的取值范圍是(-4,-2)(2,4).-16-應用一應用二應用三應用四解析:化簡函數f(x)的表達式, 作出f(x)的圖象如圖所示.關于x的方程f(x+T)=f(x)有且僅有3個不同的實根,將f(x)的圖象向左或向右平移|T|個單位長度后與原圖象有3個交點,2|T|4,即-4T-2或2T0).若圓C上存在點P,使得APB=90,則實數m的最大值為( B )A.7B.6C.5D.4解析: 根據題意,則圓心C的坐標為(3,4),半徑r=1,且|AB|=2m.因為APB=90,連接OP,易知|OP|= |AB|=m.要求m的最大值,即求圓C上的點P到原點O的最大距離.因為|OC|= =5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值為6(圖略).-18-應用一應用二應用三應用四思維升華1.如果等式、代數式的結構蘊含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數形結合的思想方法來解題,即所謂的幾何法求解,比較常見的有:(2) 表示兩點(a,b),(m,n)之間的距離.-19-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練4(2017寧夏石嘴第三中學模擬,文11)如圖,過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為( D )-20-應用一應用二應用三應用四解析:由題意,過點A,B分別作準線的垂線,垂足為A,B,如圖所示.根據拋物線定義得|BB|=|BF|,又|BC|=2|BF|=2|BB|,則BCB=30,即AFx=60,所以直線AB的斜率為k=tanAFx= .-21-方程思想在解題中的應用主要表現在四個方面:(1)解方程或解不等式;(2)含參數的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用;(3)需要轉化為方程的討論,如曲線的位置關系等;(4)構造方程或不等式求解問題.