考情概覽備考定向選修45不等式選講考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-2-2-2-2-知識梳理考點自測1.絕對值三角不等式(1)定理1:若a,b是實數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.|a|+|b| ab0 |a-b|+|b-c| (a-b)(b-c)0 考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-3-3-3-3-知識梳理考點自測2.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c 考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-4-4-4-4-知識梳理考點自測2ab 考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-5-5-5-5-知識梳理考點自測4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時,等號成立.(3)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實數(shù)k,使=k時,等號成立.5.不等式證明的方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、等.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-6-6-6-6-知識梳理考點自測234151.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)對|a-b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時,等號成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點x到點a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時假設(shè)為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-7-7-7-7-知識梳理考點自測234152.(2017江蘇南通模擬)若|a-c|b|,則下列不等式正確的是()A.ac-bC.|a|b|-|c| D.|a|b|+|c| 答案解析解析關(guān)閉|a|-|c|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故選D. 答案解析關(guān)閉D考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-8-8-8-8-知識梳理考點自測234153.若不等式 對于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.2a3B.1a2C.1a3D.1aa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-17-17-17-17-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時,求不等式f(x)0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2. 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-19-19-19-19-考點1考點2考點3考點4解題心得解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-20-20-20-20-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-21-21-21-21-考點1考點2考點3考點4考向1利用基本不等式求最值(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由. 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-22-22-22-22-考點1考點2考點3考點4解題心得解題心得如果題設(shè)條件有(或者經(jīng)過化簡題設(shè)條件得到)兩個正數(shù)和或兩個正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個正數(shù)積的最大值或兩個正數(shù)和的最小值.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-23-23-23-23-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(2017遼寧大連一模)已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實數(shù)t的最大值.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-24-24-24-24-考點1考點2考點3考點4考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-25-25-25-25-考點1考點2考點3考點4考向2利用柯西不等式求最值例5(2017四川成都二診)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|. 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-26-26-26-26-考點1考點2考點3考點4解題心得解題心得利用柯西不等式求最值時,一定要滿足柯西不等式的形式,有時需要變形才能利用柯西不等式.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-27-27-27-27-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練5(2017河南洛陽一模)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.(1)求m的最大值;(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時a,b,c的值. 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-28-28-28-28-考點1考點2考點3考點4(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍. 答案 答案關(guān)閉考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-29-29-29-29-考點1考點2考點3考點4解題心得解題心得絕對值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,無論運用絕對值三角不等式還是運用基本不等式時應(yīng)注意等號成立的條件.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-30-30-30-30-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練6(2017湖南長沙一模)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍. 答案 答案關(guān)閉 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)1x3時取得最小值.(2)xR時,恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,又不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-31-31-31-31-考點1考點2考點3考點41.含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題.(2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時,若能作出兩個函數(shù)的圖象,則通過圖象的位置關(guān)系可直觀解決問題.2.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”討論去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.不等式求解和證明中應(yīng)注意的事項(1)作差比較法適用的主要是多項式、分式、對數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結(jié)構(gòu).(2)利用柯西不等式求最值,實質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號可能不成立,因此,要切記檢驗等號成立的條件.考情概覽備考定向必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-32-32-32-32-考點1考點2考點3考點41.在解決有關(guān)絕對值不等式的問題時,充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解,要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.2.在利用算術(shù)-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時,要注意檢驗等號成立的條件,特別是多次使用不等式時,必須使等號同時成立.