A級基礎通關一、選擇題1(2019·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的是()AyxBy2xCylogx Dy解析：易知y2x與ylogx，在(0，)上是減函數(shù)，由冪函數(shù)性質，y在(0，)上遞減，yx在(0，)上遞增答案：A2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當x0時，f(x)2x2x4，則f(x)的零點個數(shù)是()A2B3C4D5解析：由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)0.由于f ·f(2)0，而函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，故當x0時有1個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，當x0時，也有1個零點故一共有3個零點答案：B3(2019·山東省實驗中學聯(lián)考)設實數(shù)a、b、c滿足a2log23，ba，cln a，則a、b、c的大小關系為()Acab BcbaCacb Dbca解析：因為a2log232log231.所以cln aln 0，b31.因此bac.答案：A4若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域為y|y1，則函數(shù)yloga|x|的圖象大致是()解析：由于ya|x|的值域為y|y1，所以a1，則ylogax在(0，)上是增函數(shù)，又函數(shù)yloga|x|的圖象關于y軸對稱因此yloga|x|的圖象大致為選項B.答案：B5(2019·衡水質檢)若函數(shù)f(x)|logax|3x(a0，a1)的兩個零點是m，n，則()Amn1 Bmn1Cmn1 D無法判斷解析：令f(x)0，得|logax|，則y|logax|與y的圖象有2個交點，不妨設a1，mn，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)所以，即logamlogan，所以loga(mn)0，則mn1.答案：C6(2018·全國卷)設alog0.20.3，blog20.3，則()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析：由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32.所以log0.30.2log0.32log0.30.4，則01，即01.又a0，b0，知ab0，所以abab0.答案：B二、填空題7(2018·浙江卷改編)已知R，函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_解析：令f(x)0，當x時，x4.當x時，x24x30，則x1或x3.若函數(shù)f(x)恰有2個零點，結合如圖函數(shù)的圖象知，13或4.答案：(1，3(4，)8將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有升，則m的值為_解析：因為5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)yf(t)aent滿足f(5)ae5na，可得nln ，所以f(t)a·，因此，當k min后甲桶中的水只有 L時，f(k)a·a，即，所以k10，由題可知mk55.答案：59已知函數(shù)f(x)若f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范圍為(1，8)，則實數(shù)m的值為_解析：作出f(x)的圖象，如圖所示，可令x1x2x3，則由圖知點(x1，0)，(x2，0)關于直線x對稱，所以x1x21.又因為1x1x1x38，所以2x39.結合圖象可知A點坐標為(9，3)，代入函數(shù)解析式得3log2(9m)，解得m1.答案：1三、解答題10經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(單位：升)與速度x(單位：千米/時)(50x120)的關系可近似表示為：y(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？解：(1)當x50，80)時，y(x2130x4 900)(x65)2675，當x65時，y有最小值×6759.當x80，120時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當x120時，y有最小值10.因為910，故當x65時每小時耗油量最低(2)設總耗油量為l，由題意可知ly·.當x50，80)時，ly·16，當且僅當x，即x70時，l取得最小值16.當x80，120時，ly·2為減函數(shù)，當x120時，l取得最小值10.因為1016，所以當速度為120千米/時時，總耗油量最少B級能力提升11已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A(2，2) B(2，1)C(0，2) D(1，3)解析：當x0時，f(x)x33x，則f(x)3x23，令f(x)0，所以x±1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，0)上單調(diào)遞減，又f(x)ln(x1)在x0上單調(diào)遞增則函數(shù)f(x)圖象如圖所示f(x)極大值f(1)132，且f(0)0.故當k(0，2)時，yf(x)k有三個不同零點答案：C12(2018·江蘇卷節(jié)選)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值(1)證明：函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2，則f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程組無解，因此，f(x)與g(x)不存在“S點”(2)解：函數(shù)f(x)ax21，g(x)ln x，則f(x)2ax，g(x).設x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，則a.當a時，x0e滿足方程組(*)，即x0為f(x)與g(x)的“S點”因此，a的值為.