第2講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 熱點(diǎn)突破 高考導(dǎo)航 閱卷評析 高考導(dǎo)航演真題 明備考 高考體驗(yàn) 1 2014 全國 卷 文11 若函數(shù)f x kx lnx在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 則k的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 D 2 2013 全國 卷 文11 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx c 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A x0 R f x0 0 B 函數(shù)y f x 的圖象是中心對稱圖形 C 若x0是f x 的極小值點(diǎn) 則f x 在區(qū)間 x0 上單調(diào)遞減 D 若x0是f x 的極值點(diǎn) 則f x0 0 C 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x 的值域?yàn)镽 故選項(xiàng)A正確 假設(shè)函數(shù)y f x 的對稱中心為 m n 按向量a m n 將函數(shù)的圖象平移 則所得函數(shù)y f x m n為奇函數(shù) 因此f x m f x m 2n 0 代入化簡得 3m a x2 m3 am2 bm c n 0對x R恒成立 3 2015 全國 卷 文14 已知函數(shù)f x ax3 x 1的圖象在點(diǎn) 1 f 1 處的切線過點(diǎn) 2 7 則a 解析 因?yàn)閒 x ax3 x 1 所以f x 3ax2 1 所以f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線斜率為k 3a 1 又f 1 a 2 所以切線方程為y a 2 3a 1 x 1 因?yàn)辄c(diǎn) 2 7 在切線上 所以7 a 2 3a 1 解得a 1 答案 1 4 2016 全國 卷 文16 已知f x 為偶函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x e x 1 x 則曲線y f x 在點(diǎn) 1 2 處的切線方程是 解析 令x 0 則 x 0 f x ex 1 x 又f x 為偶函數(shù) 所以x 0時(shí) f x ex 1 x 所以f 1 2 f x ex 1 1 f 1 2 所求切線方程為y 2 2 x 1 即y 2x 答案 y 2x 5 2013 全國 卷 文20 已知函數(shù)f x ex ax b x2 4x 曲線y f x 在點(diǎn) 0 f 0 處的切線方程為y 4x 4 1 求a b的值 2 討論f x 的單調(diào)性 并求f x 的極大值 解 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 從而a 4 b 4 2 由 1 知 f x 4ex x 1 x2 4x f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 ex 令f x 0得 x ln2或x 2 從而當(dāng)x 2 ln2 時(shí) f x 0 當(dāng)x 2 ln2 時(shí) f x 0 故f x 在 2 ln2 上單調(diào)遞增 在 2 ln2 上單調(diào)遞減 當(dāng)x 2時(shí) 函數(shù)f x 取得極大值 極大值為f 2 4 1 e 2 高考感悟1 考查角度 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求切線方程或求參數(shù) 2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或由單調(diào)性求參數(shù)范圍 3 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 最值或由極值 最值求參數(shù)范圍 2 題型及難易度選擇題 填空題 解答題 難度中檔偏上 熱點(diǎn)突破剖典例 促遷移 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 熱點(diǎn)一 例1 1 曲線y x 3lnx 1 在點(diǎn) 1 1 處的切線方程為 解析 1 由y x 3lnx 1 得y 3lnx 4 則所求切線斜率為4 則所求切線方程為y 4x 3 答案 1 y 4x 3 2 2016 福建 四地六校 聯(lián)考 已知曲線f x x3 x2 ax 1存在兩條斜率為3的切線 且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 方法技巧 求曲線y f x 的切線方程的三種類型及方法 1 已知切點(diǎn)P x0 y0 求y f x 過點(diǎn)P的切線方程 求出切線的斜率f x0 由點(diǎn)斜式寫出方程 2 已知切線的斜率為k 求y f x 的切線方程 設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 通過方程k f x0 解得x0 再由點(diǎn)斜式寫出方程 3 已知切線上一點(diǎn) 非切點(diǎn) 求y f x 的切線方程 設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f x0 然后由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程 2 2016 貴陽二模 過點(diǎn) 1 0 作拋物線y x2 x 1的切線 則其中一條切線為 A 2x y 2 0 B 3x y 3 0 C x y 1 0 D x y 1 0 解析 2 因?yàn)閥 2x 1 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 y0 則切線斜率為2x0 1 且y0 x0 1 所以切線方程為y x0 1 2x0 1 x x0 又點(diǎn) 1 0 在切線上 代入上式可解得x0 0或x0 2 當(dāng)x0 0時(shí) y0 1 當(dāng)x0 2時(shí) y0 3 驗(yàn)證知D正確 選D 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 熱點(diǎn)二 考向1確定函數(shù)的單調(diào)性 區(qū)間 例2 2016 甘肅河西部分高中聯(lián)考 已知函數(shù)f x 1 1 試判斷函數(shù)f x 的單調(diào)性 解 1 函數(shù)f x 的定義域是 0 由已知得f x 令f x 0得x e 當(dāng)00 當(dāng)x e時(shí) f x 0 所以f x 在 0 e 上單調(diào)遞增 在 e 上單調(diào)遞減 2 設(shè)m 0 求f x 在 m 2m 上的最大值 考向2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 方法技巧 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法 確定函數(shù)y f x 的定義域 求導(dǎo)數(shù)y f x 解不等式f x 0或f x 0 解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)區(qū)間 2 根據(jù)函數(shù)y f x 在 a b 上的單調(diào)性 求參數(shù)范圍的方法 若函數(shù)y f x 在 a b 上單調(diào)遞增 轉(zhuǎn)化為f x 0在 a b 上恒成立求解 若函數(shù)y f x 在 a b 上單調(diào)遞減 轉(zhuǎn)化為f x 0在 a b 上恒成立求解 若函數(shù)y f x 在 a b 上單調(diào) 轉(zhuǎn)化為f x 0或f x 0在 a b 上恒成立 若函數(shù)y f x 在 a b 上不單調(diào) 轉(zhuǎn)化為f x 在 a b 上有極值點(diǎn) 熱點(diǎn)訓(xùn)練2 1 2016 福建 四地六校 聯(lián)考 若函數(shù)f x x alnx不是單調(diào)函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 0 B 0 C 0 D 0 2 2016 廣西來賓調(diào)研 設(shè)函數(shù)f x 是奇函數(shù)f x x R 的導(dǎo)函數(shù) f 1 0 當(dāng)x 0時(shí) xf x f x 0成立的x的取值范圍是 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 0 D 0 1 1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 最值 熱點(diǎn)三 例4 2016 閩粵部分名校聯(lián)考 已知函數(shù)f x x3 x2 cx d有極值 1 求c的取值范圍 2 若f x 在x 2處取得極值 且當(dāng)x 0時(shí) f x d2 2d恒成立 求d的取值范圍 方法技巧 1 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢驗(yàn)f x 在方程根的左右函數(shù)值的符號 2 若已知函數(shù)f x 的極值大小或存在情況 則轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0的根的大小或存在情況來求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時(shí) 在得到極值的基礎(chǔ)上 結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 當(dāng)b 1 c 3時(shí) f x x 3 x 1 x 3 1 時(shí) f x 0 f x 單調(diào)遞增 x 1 時(shí) f x 0 f x 單調(diào)遞減 所以f x 在x 1處取得極大值 符合題意 綜上所述 b 1 c 3 2 設(shè)當(dāng)x 3 時(shí) 函數(shù)y f x c x b 圖象上任一點(diǎn)P處的切線斜率為k 若k 2 求實(shí)數(shù)b的取值范圍 閱卷評析抓關(guān)鍵 練規(guī)范 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 2016 全國 卷 文20 12分 已知函數(shù)f x x 1 lnx a x 1 1 當(dāng)a 4時(shí) 求曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程 評分細(xì)則 解 1 當(dāng)a 4時(shí) f x x 1 lnx 4 x 1 f x lnx 3 1分f 1 2 2分f 1 0 3分所以曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程為2x y 2 0 4分注 切線方程不化為一般式的同樣得分 2 若當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 求a的取值范圍 當(dāng)a 2時(shí) f 1 2 a 0 故存在x0 1 f x0 0 此時(shí)函數(shù)f x 在 1 x0 上單調(diào)遞減 在 x0 上單調(diào)遞增 又f 1 0 可得存在x0 1 f x0 0 不合題意 11分綜上所述 a的取值范圍為 2 12分注 最后無總結(jié)扣1分 本題不采用二次求導(dǎo)的只要是能求出a的范圍同樣得分 答題啟示 1 求切線問題把握三點(diǎn) 1 切點(diǎn)在切線上 2 切點(diǎn)在曲線上 3 導(dǎo)數(shù)即斜率 2 解決問題 2 的關(guān)鍵是求函數(shù)f x 在 1 上的最小值 由f x min 0求a的范圍 而發(fā)現(xiàn)f 1 0是解決問題的關(guān)鍵 3 在求解此類問題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用