+二一九高考數(shù)學學習資料+學案28等差數(shù)列及其前n項和導學目標： 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題自主梳理1等差數(shù)列的有關定義(1)一般地，如果一個數(shù)列從第_項起，每一項與它的前一項的_等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為_ (nN*，d為常數(shù))(2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是_，其中A叫做a，b的_2等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an_，anam_ (m，nN*)(2)前n項和公式：Sn_.3等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式Sn_.4等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若mnpq (m，n，p，qN*)，則有_，特別地，當mn2p時，_.(2)等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為_；若d<0，則數(shù)列為_；若d0，則數(shù)列為_自我檢測1(2010·北京海淀模擬)已知等差數(shù)列an中，a5a9a710，記Sna1a2an，則S13的值為_2等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S36，a34，則公差d_.3設等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若S972，則a2a4a9_.4(2010·湖南師大附中)若等差數(shù)列an的前5項之和S525，且a23，則a7_.5(2010·泰安一模)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則_.探究點一等差數(shù)列的基本量運算例1等差數(shù)列an的前n項和記為Sn.已知a1030，a2050，(1)求通項an；(2)若Sn242，求n.變式遷移1設等差數(shù)列an的公差為d (d0)，它的前10項和S10110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項公式an.探究點二等差數(shù)列的判定例2已知數(shù)列an中，a1，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大值和最小值，并說明理由變式遷移2已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)求a2，a3的值(2)是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由探究點三等差數(shù)列性質(zhì)的應用例3若一個等差數(shù)列的前5項之和為34，最后5項之和為146，且所有項的和為360，求這個數(shù)列的項數(shù)變式遷移3已知數(shù)列an是等差數(shù)列(1)前四項和為21，末四項和為67，且前n項和為286，求n；(2)若Sn20，S2n38，求S3n；(3)若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù)探究點四等差數(shù)列的綜合應用例4已知數(shù)列an滿足2an1anan2 (nN*)，它的前n項和為Sn，且a310，S672.若bnan30，求數(shù)列bn的前n項和的最小值變式遷移4在等差數(shù)列an中，a16a17a18a936，其前n項和為Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值(2)求Tn|a1|a2|an|.1等差數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)中項公式：2an1anan2 (nN*)an是等差數(shù)列(3)通項公式：anpnq (p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列2對于等差數(shù)列有關計算問題主要圍繞著通項公式和前n項和公式，在兩個公式中共五個量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式3要注意等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的靈活應用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等4在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可視具體情況而定(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知an為等差數(shù)列，a3a822，a67，則a5_.2(2010·全國改編)如果等差數(shù)列中，a3a4a512，那么a1a2a7_.3(2010·濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知an是等差數(shù)列，a19，S3S7，那么使其前n項和Sn最小的n是_4在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則a9a11的值為_5等差數(shù)列an的前n項和滿足S20S40，下列結論中正確的序號是_S30是Sn中的最大值；S30是Sn中的最小值；S300；S600.6(2010·遼寧)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S33，S624，則a9_.7(2009·海南、寧夏)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知am1am1a0，S2m138，則m_.8在數(shù)列an中，若點(n，an)在經(jīng)過點(5,3)的定直線l上，則數(shù)列an的前9項和S9_.二、解答題(共42分)9(12分)設an是一個公差為d (d0)的等差數(shù)列，它的前10項和S10110，且aa1a4.(1)證明：a1d；(2)求公差d的值和數(shù)列an的通項公式10(14分)(2010·山東)已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.11(16分)(2010·廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項；(3)若an對任意n2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍答案 自主梳理1(1)二差an1and(2)A等差中項2(1)a1(n1)d(nm)d(2)na1d3.An2Bn4.(1)amanapaqaman2ap(3)遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列自我檢測113022解析S36，a34，a10，a3a12d.d2.324解析S972，a1a916.a1a92a5，a58.a2a4a9a1a5a93a524.413解析由S525a47，所以732dd2，所以a7a43d73×213.51解析··1.課堂活動區(qū)例1解題導引(1)等差數(shù)列an中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項，利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當?shù)墓?，利用方程組觀點求解解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n×2242.解得n11或n22(舍去)變式遷移1解由題意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.例2解題導引1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，即anan1d(常數(shù))(n2)，第二種是利用等差中項，即2anan1an1 (n2)2解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷(1)通項法：若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列(2)前n項和法：若數(shù)列an的前n項和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an為等差數(shù)列3若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可解(1)an2 (n2，nN*)，bn，當n2時，bnbn11.又b1.數(shù)列bn是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知，bnn，則an11，設函數(shù)f(x)1，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)當n3時，an取得最小值1；當n4時，an取得最大值3.變式遷移2解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假設存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列設bn，由bn為等差數(shù)列，則有2b2b1b3.2×.，解得1.此時，b12.事實上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.綜上可知，存在實數(shù)1，使得數(shù)列為首項為2、公差為1的等差數(shù)列例3解題導引本題可運用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若mnpq (m，n，p，qN*)，則amanapaq，從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應注意運用；也可用整體思想(把a1d看作整體)解方法一設此等差數(shù)列為an共n項，依題意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146.根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.將兩式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以該等差數(shù)列有20項方法二設此等差數(shù)列共有n項，首項為a1，公差為d，則S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.兩式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20.所以該數(shù)列的項數(shù)為20項變式遷移3解(1)依題意，知a1a2a3a421，an3an2an1an67，a1a2a3a4an3an2an1an88.a1an22.Sn286，n26.(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列，S3n3(S2nSn)54.(3)設項數(shù)為2n1 (nN*)，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n1項，中間項為an，則S奇n·an44，S偶(n1)·an33，.n4，an11.數(shù)列的中間項為11，項數(shù)為7.例4解題導引若an是等差數(shù)列，求前n項和的最值時，(1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項和Sn最??；(3)除上面方法外，還可將an的前n項和的最值問題看作Sn關于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意nN*.解方法一2an1anan2，an是等差數(shù)列設an的首項為a1，公差為d，由a310，S672，得，.an4n2.則bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15項為負值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，當n15時，Sn有最小值，且最小值為225.變式遷移4解(1)設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)·d3n63，an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21時，Sn最小且最小值為630.(2)由(1)知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數(shù)當n21時，TnSnn2n.當n>21時，TnSn2S21n2n1 260.綜上，Tn.課后練習區(qū)115解析在等差數(shù)列an中，a5a6a3a822，a515.228解析a3a4a512，3a412，a44.a1a2a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a47a428.35解析由S3S7得a4a5a6a70，即a5a60，9d2a118，d2.Sn9nn(n1)×2n210n.當n5時，Sn最小416解析a4a6a8a10a12120.5a8120.a824.a9a11a18d(a110d)(a17d)a816.5解析方法一由S20S40，得a1d，S6060a1d60×d0.方法二由S20S40，得a21a22a400，a30a310.S6030(a30a31)0.615解析設等差數(shù)列公差為d，則S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.聯(lián)立兩式得a11，d2，故a9a18d18×215.710解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知am1am12am，2ama0，am0或am2.又S2m1(2m1)am0，am2，由2(2m1)38，得m10.827解析點(n，an)在定直線l上，數(shù)列an為等差數(shù)列ana1(n1)·d.將(5,3)代入，得3a14da5.S9(a1a9)9a53×927.9(1)證明an是等差數(shù)列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化簡得a1d.(6分)(2)解由條件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，數(shù)列an的通項公式為an2n，nN*.(12分)10解(1)設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.(4分)由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(7分)(2)因為an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.(9分)故Tnb1b2bn.所以數(shù)列bn的前n項和Tn.(14分)11(1)證明將3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以數(shù)列為以1為首項，3為公差的等差數(shù)列(4分)(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an.(8分)(3)解若an對n2的整數(shù)恒成立，即3n1對n2的整數(shù)恒成立整理得(10分)令cncn1cn.(14分)因為n2，所以cn1cn>0，即數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2.所以的取值范圍為(，(16分)高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品