第三節(jié)圖形的相似與位似知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 比例線段及其性質(zhì)比例線段及其性質(zhì)1 1線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段ABAB，CDCD的長(zhǎng)度分別是的長(zhǎng)度分別是m m，n n，那么這兩條線段的比就是它們長(zhǎng)度的，那么這兩條線段的比就是它們長(zhǎng)度的比，即比，即ABCDABCDmnmn. .2 2比例線段：四條線段比例線段：四條線段a a，b b，c c，d d中，如果中，如果a a與與b b的比等于的比等于c c與與d d的比，即的比，即 ，那么這四條線段，那么這四條線段a a，b b，c c，d d叫做叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段adadbcbc cdab4 4平行線分線段成比例平行線分線段成比例(1)(1)基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例段成比例(2)(2)推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例的對(duì)應(yīng)線段成比例5 5黃金分割：一般地，點(diǎn)黃金分割：一般地，點(diǎn)C C把線段把線段ABAB分成兩條線段分成兩條線段ACAC和和BC(ACBC)BC(ACBC)，如果，如果_，那么稱線段，那么稱線段ABAB被點(diǎn)被點(diǎn)C C黃金分黃金分割，點(diǎn)割，點(diǎn)C C叫做線段叫做線段ABAB的黃金分割點(diǎn)，的黃金分割點(diǎn)，ACAC與與ABAB的比叫做黃金的比叫做黃金比，黃金比為比，黃金比為_ACBCABAC510.6182知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 相似多邊形相似多邊形1 1相似多邊形：各角分別相似多邊形：各角分別_、各邊、各邊_的兩個(gè)多邊的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做 _2 2相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)(1)(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；(2)(2)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似多邊形的周長(zhǎng)比等于 _，面積比等于，面積比等于_相等相等成比例成比例相似比相似比相似比相似比 相似相似比的平方比的平方知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 相似三角形相似三角形1 1相似三角形：三角分別相似三角形：三角分別_、三邊、三邊 _的兩個(gè)的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比比 相等相等 成比例成比例2 2相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理(1)(1)兩角分別兩角分別_的兩個(gè)三角形相似；的兩個(gè)三角形相似；(2)(2)兩邊兩邊 _且夾角且夾角 _的兩個(gè)三角形相似；的兩個(gè)三角形相似；(3)(3)三邊三邊 _的兩個(gè)三角形相似的兩個(gè)三角形相似 相等相等 成比例成比例相等相等成比例成比例3 3相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)(1)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于線的比都等于 _；(2)(2)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似三角形的周長(zhǎng)比等于 _，面積比等于，面積比等于_._.相似比相似比相似比相似比相似相似比的平方比的平方常見的相似三角形的基本類型有以下幾類：常見的相似三角形的基本類型有以下幾類：注：對(duì)于注：對(duì)于5.5.雙垂圖有：雙垂圖有：ABAB2 2BDBCBDBC；ACAC2 2CDBCCDBC；ADAD2 2BDCD.BDCD.對(duì)于對(duì)于6.6.拓展型僅有拓展型僅有ACAC2 2CDBC.CDBC.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 圖形的位似圖形的位似1 1位似多邊形：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組位似多邊形：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P P，PP所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O O，且有，且有OPOPkOP(k0)kOP(k0)，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)點(diǎn)O O叫做叫做_k k就是這兩個(gè)相似多邊形的就是這兩個(gè)相似多邊形的_位似中心位似中心相似比相似比位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形位似中心的位置確定方法是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，可形位似中心的位置確定方法是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，可能在圖形外也可能在圖形內(nèi)或圖形上能在圖形外也可能在圖形內(nèi)或圖形上2 2位似圖形的性質(zhì)位似圖形的性質(zhì)(1)(1)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于于 _；(2)(2)在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k0)k(k0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形形 _，位似中心是，位似中心是_，它們的相似比為，它們的相似比為_._.相似比相似比位似位似坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)|k|k|考點(diǎn)一考點(diǎn)一 平行線分線段成比例平行線分線段成比例 (5(5年年0 0考考) )例例1 1如圖，如圖，l1 1l2 2l3 3，直線，直線a a，b b與與l1 1，l2 2，l3 3分別相交于點(diǎn)分別相交于點(diǎn)A A，B B，C C和點(diǎn)和點(diǎn)D D，E E，F(xiàn).F.若若 ，DEDE4 4，則，則EFEF的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是( () )【分析分析】 【自主解答自主解答】 1 1如圖，如圖，ABCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D，E E分別在邊分別在邊ABAB，BCBC上，上，DEAC.DEAC.若若BDBD4 4，DADA2 2，BEBE3 3，則，則ECEC_322 2(2017(2017臨沂臨沂) )已知已知ABCDABCD，ADAD與與BCBC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O.O.若若ADAD1010，則，則AOAO_ 4 4 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年3 3考考) )例例2 2 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，BDBD，CECE分別是分別是ACAC，ABAB上的中線，上的中線，BDBD與與CECE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，則，則 . .OBOD【分析分析】 先判定先判定ODEODEOBCOBC，再利用相似三角形的，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可性質(zhì)解答即可【自主解答自主解答】 BD BD，CECE分別是邊分別是邊ACAC，ABAB上的中線，上的中線，DEBCDEBC，DEDE BCBC，DEODEOBCOBCO，EDOEDOCBOCBO，ODEODEOBCOBC， 2.2.故答案為故答案為2.2.12講：講： 判定兩個(gè)三角形相似的誤區(qū)判定兩個(gè)三角形相似的誤區(qū) 在利用在利用“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要確保成比例的兩邊所夾角判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要確保成比例的兩邊所夾角為相等角，這是最易觸雷的地方為相等角，這是最易觸雷的地方練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練3 33 3如圖，如圖，ACDACD和和ABCABC相似需具備的條件是相似需具備的條件是( )( )C C4 4(2017(2017連云港連云港) )如圖，已知如圖，已知ABCABCDEFDEF，ABDEABDE1212，則下列等式一定成立的是，則下列等式一定成立的是( )( )D D5 5(2017(2017杭州杭州) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，BACBAC9090，ABAB1515，ACAC2020，點(diǎn)，點(diǎn)D D在邊在邊ACAC上，上，ADAD5 5，DEBCDEBC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，連接，連接AEAE，則，則ABEABE的面積等于的面積等于_ 78 78 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圖形的位似圖形的位似 (5(5年年0 0考考) )例例3 3 如圖，線段如圖，線段CDCD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1C(1，2)2)，D D(2(2，0)0)，以原點(diǎn)為位似中心，將線段，以原點(diǎn)為位似中心，將線段CDCD放大得到線段放大得到線段AB.AB.若點(diǎn)若點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(5(5，0)0)，則點(diǎn)，則點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 【分析分析】 根據(jù)題意得到根據(jù)題意得到B B點(diǎn)與點(diǎn)與D D點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)B B點(diǎn)與點(diǎn)與D D點(diǎn)的坐標(biāo)求出位似比，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可點(diǎn)的坐標(biāo)求出位似比，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可【自主解答自主解答】由題意知由題意知B B點(diǎn)與點(diǎn)與D D點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，又又點(diǎn)點(diǎn)D(2D(2，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)B(5B(5，0)0)，位似比為位似比為52.52.C(1C(1，2)2)，點(diǎn)點(diǎn)A(2.5A(2.5，5)5)故答案為故答案為(2.5(2.5，5)5)講：講： 確定位似圖形的位置確定位似圖形的位置解答此類問題時(shí)，先確定點(diǎn)的坐標(biāo)及相似比，再分別把解答此類問題時(shí)，先確定點(diǎn)的坐標(biāo)及相似比，再分別把橫、縱坐標(biāo)與相似比相乘即可注意原圖形與位似圖形橫、縱坐標(biāo)與相似比相乘即可注意原圖形與位似圖形是同側(cè)還是異側(cè)，來確定所乘的相似比的正負(fù)，這是最是同側(cè)還是異側(cè)，來確定所乘的相似比的正負(fù)，這是最易出錯(cuò)的地方易出錯(cuò)的地方練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練7 76 6如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCDABCD與正方形與正方形BEFGBEFG是以原點(diǎn)是以原點(diǎn)O O為位似中心的位似圖形，且相似比為為位似中心的位似圖形，且相似比為 ，點(diǎn)，點(diǎn)A A，B B，E E在在x x軸上若正方形軸上若正方形BEFGBEFG的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為6 6，則，則C C點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( )( )A A(3(3，2) B2) B(3(3，1) C1) C(2(2，2) D2) D(4(4，2)2)13A A7 7(2017(2017煙臺(tái)煙臺(tái)) )如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為長(zhǎng)均為1.1.AOBAOB與與AOBAOB是以原點(diǎn)是以原點(diǎn)O O為位似中心的位似圖為位似中心的位似圖形，且相似比為形，且相似比為3232，點(diǎn)，點(diǎn)A A，B B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)BB的坐標(biāo)的坐標(biāo)是是 _4( 2)3 ，