精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理一圓周角定理1理解圓周角定理及其兩個(gè)推論，并能解決有關(guān)問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))2了解圓心角定理基礎(chǔ)·初探教材整理1圓周角定理及其推論閱讀教材P24P26，完成下列問題1圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半2推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等3推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑如圖2­1­1，在O中，BAC60°，則BDC()圖2­1­1A30°B45°C60°D75°【解析】在O中，BAC與BDC都是所對(duì)的圓周角，故BDCBAC60°.【答案】C教材整理2圓心角定理閱讀教材P25P26，完成下列問題圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)在半徑為R的圓中有一條長(zhǎng)度為R的弦，則該弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是()A30° B30°或150°C60°D60°或120°【解析】弦所對(duì)的圓心角為60°，又弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)且互補(bǔ)，故選B.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型利用圓周角定理和圓心角定理進(jìn)行計(jì)算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為5 cm的弦，求此弦所對(duì)的圓周角【精彩點(diǎn)撥】過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形先求弦所對(duì)的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)【自主解答】如圖所示，過點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D.ODAB，OD經(jīng)過圓心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30°，AOD60°，AOB2AOD120°，ACBAOB60°.AOB120°，劣弧的度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為240°.AEB×240°120°，此弦所對(duì)的圓周角為60°或120°.1解答本題時(shí)應(yīng)注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，它們互為補(bǔ)角2和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計(jì)算，不僅可以通過計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時(shí)還可以通過比例線段，相似比來計(jì)算再練一題1如圖2­1­2，已知ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的長(zhǎng)圖2­1­2【解】，ADBCDE.又，BADECD，ABDCED，即.DE2.5 cm.直徑所對(duì)的圓周角問題如圖2­1­3所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四邊形OBCD的面積圖2­1­3【精彩點(diǎn)撥】由AB是半圓的直徑知C90°，再由條件求出OD，CD，BC的長(zhǎng)可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半圓的直徑，C90°.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位線，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)·DC×(36)×418 cm2.在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對(duì)的圓周角是直角，所對(duì)的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角大小、線段長(zhǎng)度，又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等.再練一題2.如圖2­1­4，已知等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BAC50°，則的度數(shù)為()圖2­1­4A25°B50°C100°D120°【解析】如圖，連接AF.AC為O的直徑，AFC90°，AFBC.ABAC，BAFBAC25°，的度數(shù)為50°.【答案】B探究共研型圓周角定理探究1圓的一條弦所對(duì)的圓周角都相等嗎？【提示】不一定相等一般有兩種情況：相等或互補(bǔ)，弦所對(duì)的優(yōu)弧與所對(duì)劣弧上的點(diǎn)所成的圓周角互補(bǔ)，所對(duì)同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對(duì)的圓周角既相等又互補(bǔ)探究2“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，正確嗎？【提示】不正確“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立，如圖若ABDG，則BACEDF，但.如圖2­1­5，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.圖2­1­5(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SAD·AE，求BAC的大小【精彩點(diǎn)撥】(1)通過證明角相等來證明三角形相似(2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sinBAC的大小，從而求BAC的大小【自主解答】(1)證明：由已知條件，可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC，所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，則sinBAC1，又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90°.1解答本題(2)時(shí)關(guān)鍵是利用AB·ACAD·AE以及面積SAB·ACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關(guān)系證明時(shí)應(yīng)注意的問題(1)分析已知和所證，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁；(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時(shí)，要注意尋找直徑所對(duì)的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題再練一題3.如圖2­1­6，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BDDC，連接AC，AE，DE.求證：EC.圖2­1­6【證明】如圖，連接OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因?yàn)镺BOD，所以O(shè)DBB.于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角，故EB，所以EC.構(gòu)建·體系1如圖2­1­7，在O中，BOC50°，則A的大小為()圖2­1­7A25°B50°C75°D100°【解析】由圓周角定理得ABOC25°.【答案】A2如圖2­1­8，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，若CD3，AB4，則tanBPD等于()圖2­1­8A. B.C.D.【解析】連接BD，則BDP90°，DCPBAP，CDPABP，CPDAPB，在RtBPD中，cosBPD，cosBPD，tanBPD.故選D.【答案】D3如圖2­1­9，A，B，C是O的圓周上三點(diǎn)，若BOC3BOA，則CAB是ACB的_倍圖2­1­9【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如圖2­1­10所示，兩個(gè)同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓半徑R4，小圓半徑r2，則的度數(shù)是_圖2­1­10【解析】的度數(shù)等于AOB，又的度數(shù)等于AOB，則的度數(shù)是30°.【答案】30°5如圖2­1­11，已知A，B，C，D是O上的四個(gè)點(diǎn)，ABBC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，AD.圖2­1­11(1)求證：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的長(zhǎng)【解】(1)證明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知，BACADB.ABEABD.ABEDBA，.BE3，ED6，BD9，AB2BE·BD3×927，AB3.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(六)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖2­1­12所示，若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相交于E，則圖中相似三角形有()圖2­1­12A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)【解析】由推論知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2如圖2­1­13所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD4，BD8，則圓O的半徑等于()圖2­1­13A6 B8C4D5【解析】AB為直徑，ACB90°.又CDAB，由射影定理可知，CD2AD·BD，428AD，AD2，ABBDAD8210，圓O的半徑為5.【答案】D3在RtABC中，C90°，A30°，AC2，則此三角形外接圓半徑為()A. B2C2D4【解析】由推論2知AB為RtABC的外接圓的直徑，又AB4，故外接圓半徑rAB2.【答案】B4如圖2­1­14所示，等腰ABC內(nèi)接于O，ABAC，A40°，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，分別連接BD，DE，BE，則BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2­1­14A50°，30°，100° B55°，20°，105°C60°，10°，110°D40°，20°，120°【解析】如圖所示，連接AD.ABAC，D是的中點(diǎn)，AD過圓心O.A40°，BEDBAD20°，CBDCAD20°.E是的中點(diǎn)，CBECBA35°，EBDCBECBD55°，BDE180°20°55°105°，故選B.【答案】B5如圖2­1­15，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB4，ACB30°，則圓O的面積等于()圖2­1­15A4 B8C12D16【解析】連接OA，OB.ACB30°，AOB60°.又OAOB，AOB為等邊三角形又AB4，OAOB4，SO·4216.【答案】D二、填空題6如圖2­1­16，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則_.圖2­1­16【解析】連接CD，AC是O的直徑，CDA90°.由射影定理得BC2BD·AB，AC2AD·AB，即.【答案】7(2016·天津高考)如圖2­1­17，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE2AE2，BDED，則線段CE的長(zhǎng)為_圖2­1­17【解析】如圖，設(shè)圓心為O，連接OD，則OBOD.因?yàn)锳B是圓的直徑，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B為BOD與BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BO·BE3，所以BDDE.因?yàn)锳E·BECE·DE，所以CE.【答案】8.如圖2­1­18，AB為O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB3，CD1，則sinAPD_.圖2­1­18【解析】由于AB為O的直徑，則ADP90°，所以APD是直角三角形，則sinAPD，cosAPD，由題意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，則.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答題9如圖2­1­19所示，O中和的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線EF交AC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q.求證：APQ為等腰三角形圖2­1­19【證明】連接AF，AE.E是的中點(diǎn)，即，AFPEAQ，同理FAPAEQ.又AQPEAQAEQ，APQAFPFAP，AQPAPQ，即APQ為等腰三角形10如圖2­1­20(1)所示，在圓內(nèi)接ABC中，ABAC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是直線AD和ABC外接圓的交點(diǎn)圖2­1­20(1)求證：AB2AD·AE；(2)如圖2­1­20(2)所示，當(dāng)D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由【解】(1)證明：如圖(3)，連接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB，ABDAEB，ABAEADAB，即AB2AD·AE.(2)如圖(4)，連接BE，結(jié)論仍然成立，證法同(1)能力提升1如圖2­1­21，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，那么等于() 圖2­1­21AsinBPDBcosBPDCtanBPDD以上答案都不對(duì)【解析】連接BD，由BA是直徑，知ADB是直角三角形由DCBDAB，CDACBA，CPDBPA，得CPDAPB，cos BPD.【答案】B2如圖2­1­22所示，已知O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，則AE_.圖2­1­22【解析】連接CE，則AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.【答案】93如圖2­1­23，在O中，已知ACBCDB60°，AC3，則ABC的周長(zhǎng)是_圖2­1­23【解析】由圓周角定理，得ADACB60°，ABBC，ABC為等邊三角形周長(zhǎng)等于9.【答案】94.如圖2­1­24，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE，AD交于點(diǎn)P.求證：圖2­1­24(1)D是BC的中點(diǎn)；(2)BECADC；(3)AB·CE2DP·AD.【證明】(1)因?yàn)锳B是O的直徑，所以ADB90°，即ADBC，因?yàn)锳BAC，所以D是BC的中點(diǎn)(2)因?yàn)锳B是O的直徑，所以AEBADB90°，即CEBCDA90°，因?yàn)镃是公共角，所以BECADC.(3)因?yàn)锽ECADC，所以CBECAD.因?yàn)锳BAC，BDCD，所以BADCAD，所以BADCBE，因?yàn)锳DBBEC90°，所以ABDBCE，所以，所以，因?yàn)锽DPBEC90°，PBDCBE，所以BPDBCE，所以.因?yàn)锽C2BD，所以，所以AB·CE2DP·AD.最新精品資料