精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系質(zhì)量評(píng)估檢測(cè) 新人教A版必修2時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1下列說(shuō)法不正確的是()A空間中，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B同一平面的兩條垂線(xiàn)一定共面C過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)垂直，且這些直線(xiàn)都在同一平面內(nèi)D過(guò)一條直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直解析：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D平面ABCDAD，顯然選項(xiàng)D不正確，故選D.答案：D2.設(shè)a，b是兩條直線(xiàn)，是兩個(gè)平面，若a，a，b，則內(nèi)與b相交的直線(xiàn)與a的位置關(guān)系是()A平行B相交C異面 D平行或異面解析：因?yàn)閍，a，b，所以ab.又因?yàn)閍與無(wú)公共點(diǎn)，所以?xún)?nèi)與b相交的直線(xiàn)與a異面答案：C3.如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1E與GF所成角為()A30° B45°C60° D90°解析：連接EG，B1G，B1F，則：A1EB1G，故B1GF為異面直線(xiàn)A1E與GF所成的角由AA1AB2，AD1可得B1G，GF，B1F，B1F2B1G2GF2，B1GF90°，即異面直線(xiàn)A1E與GF所成的角為90°.答案：D4.下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是() A BC D解析：如圖所示：平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP，故正確中易證NPAB，故AB平面MNP.不正確答案：B5.設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A若，m，n，則mnB若，m，n，則mnC若mn，m，n，則D若m，mn，n，則解析：如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而B(niǎo)C1不垂直于BC，故A錯(cuò)誤平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯(cuò)誤ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C錯(cuò)誤故選D.答案：D6設(shè)直線(xiàn)l平面，過(guò)平面外一點(diǎn)A與l，都成30°角的直線(xiàn)有且只有()A1條 B2條C3條 D4條解析：如圖，和成30°角的直線(xiàn)一定是以A為頂點(diǎn)的圓錐的母線(xiàn)所在直線(xiàn)，當(dāng)ABCACB30°，直線(xiàn)AC，AB都滿(mǎn)足條件，故選B.答案：B7.已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面積是邊長(zhǎng)為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A. B.C. D.解析：取正三角形ABC的中心O，連結(jié)OP，則PAO是PA與平面ABC所成的角因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以AD×，AOAD×1.三棱柱的體積為×()2×AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO，即PAO.答案：B8已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：由題意知三棱錐A1ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則AB1a，棱柱的高A1Oa(即點(diǎn)B1到底面ABC的距離)，故AB1與底面ABC所成角的正弦值為，故選B.答案：B9在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角ACDB的平面角的余弦值為()A. B.C. D.解析：取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，BE，AC，其余各棱長(zhǎng)都為1，ADCD，EFCD.又BFCD，BFE是二面角ACDB的平面角EF，BE，BF，EF2BE2BF2.BEF90°，cosBFE，故選C.答案：C10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：如圖，設(shè)ABa，則AA12a，三棱錐CBDC1的高為h，CD與平面BDC1所成的角為.因?yàn)閂CBDC1VC1BDC，即××a×ah×a2×2a，解得ha.所以sin.答案：A11如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：易知：BCD中，DBC45°，BDC90°，又平面ABD平面BCD，而CDBD，CD平面ABD，ABCD，而ABAD，AB平面ACD，平面ABC平面ACD.答案：D12已知平面平面，l，在l上取線(xiàn)段AB4，AC、BD分別在平面和平面內(nèi)，且ACAB，DB AB，AC3，BD12，則CD的長(zhǎng)度為()A13 B.C12 D15解析：如圖，連接AD.，AC，DB，在RtABD中，AD.在RtCAD中，CD13.答案：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是B1D1上一點(diǎn)，且PQ平面AB1D，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)為_(kāi)解析：連接AB1，AD1，因?yàn)辄c(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，所以點(diǎn)P是AD1的中點(diǎn)，因?yàn)镻Q平面AB1，PQ平面AB1D1，平面AB1D1平面AB1AB1，所以PQAB1，所以PQAB1.答案：14在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿(mǎn)足條件_時(shí)，有A1CB1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一種情況即可，不必考慮所有可能的情況)解析：由直四棱柱可知CC1面A1B1C1D1，所以CC1B1D1，要使B1D1A1C，只要B1D1平面A1CC1，所以只要B1D1A1C1，還可以填寫(xiě)四邊形A1B1C1D1是菱形，正方形等條件答案：B1D1A1C1(答案不唯一)15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1上的距離的最小值為_(kāi)解析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EE1平面A1B1C1D1，交直線(xiàn)B1C1于點(diǎn)E1，連接D1E1，DE，在平面D1DEE1內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作PHEE1交D1E1于點(diǎn)H，連接C1H，則C1H即為點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為點(diǎn)C1到線(xiàn)段D1E1的距離，即為C1D1E1的邊D1E1上的高h(yuǎn).C1D12，C1E11，D1E1，h.答案：16將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角ABDC，有如下三個(gè)結(jié)論ACBD；ACD是等邊三角形；AB與平面BCD成60°的角；說(shuō)法正確的命題序號(hào)是_解析：如圖所示，取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正確設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則AECEa.由知AEC90°是直二面角ABDC的平面角，且AEC90°，ACa，ACD是等邊三角形，故正確由題意及知，AE平面BCD，故ABE是AB與平面BCD所成的角，而ABE45°，所以不正確答案：三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17(本小題滿(mǎn)分10分)如圖，正四棱錐SABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的倍，O為底面對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證：ACSD；(2)F為SD中點(diǎn)，若SD平面PAC，求證：BF平面PAC.證明：(1)連接SO，四邊形ABCD為正方形，ACBD且O為AC中點(diǎn)，又SASC，SOAC，又SOBDO，AC平面SBD，又SD平面SBD，ACSD.(2)連接OP，SD平面ACP，OP平面ACP，OPSD，又SBD中，BDaSB，且F為SD中點(diǎn)，BFSD，因?yàn)镺P、BF平面BDF，所以O(shè)PBF，又OP平面ACP，BF平面PAC，BF平面PAC.18(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，過(guò)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC.(2)BCSA.證明：(1)因?yàn)锳SAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又因?yàn)镋FEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，且交線(xiàn)為SB，又因?yàn)锳F平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，因?yàn)锽C平面SBC，所以AFBC.又因?yàn)锳BBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB.又因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.19(本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線(xiàn)段PC上，PC平面BDE.(1)證明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值解析：(1)證明：PA平面ABCD，PABDPC平面BDE，PCBD.BD平面PAC.(2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連接OE.PC平面BDE，PCOE.又BO平面PAC，PCBO，PC平面BOE，PCBE，BEO為二面角BPCA的平面角BD平面PAC，BDAC，四邊形ABCD為正方形，BO.在PAC中，OE，tanBEO3，二面角BPCA的平面角的正切值為3.20(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積解析：(1)取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB.由于A(yíng)BAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O，所以AB面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)COA1，又A1C，則A1C2OC2OA，故OA1OC.因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又SABCAB·OC，故三棱柱ABCA1B1C1的體積VSABC×OA1×3.21(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABAC，AA13，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)(1)證明：ADC1E；(2)當(dāng)異面直線(xiàn)AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1A1B1E的體積解析：(1)證明：因?yàn)锳BAC，D是BC的中點(diǎn)，所以ADBC，又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1，由可得AD平面BB1C1C，因?yàn)辄c(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因?yàn)锳CA1C1，所以A1C1E是異面直線(xiàn)AC與C1E所成的角，所以A1C1E60°，因?yàn)锽1A1C1BAC90°，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，從而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E，故C1E2，又B1C12，所以B1E2，從而VC1A1B1ESA1B1E×A1C1××2××.22(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面FB1C1E與直線(xiàn)AA1的交點(diǎn)(1)證明：EFA1D1；BA1平面B1C1EF.(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值解析：(1)證明：由ADBC，BCB1C1可得ADB1C1，又B1C1平面AA1D1D，AD平面AA1D1D，B1C1平面AA1D1D，又平面B1C1E平面AA1D1DEF，B1C1EF，又A1D1B1C1，EFA1D1.在RtFA1B1和RtA1B1B中，RtFA1B1RtA1B1B，A1FB1BA1B1，A1FB1A1B1F90°，BA1B1A1B1F90°，A1BB1F，由ADAB可得B1C1A1B1，又B1C1BB1，B1C1平面A1B1B，又A1B平面A1B1B，可得BA1B1C1，又BA1B1F，且B1FB1C1B1，BA1平面B1C1EF.(2)設(shè)A1BB1FO，連接C1O，由(1)可知BC1與平面B1C1EF所成的角為BC1O，在RtA1B1B中，BBBO·BA1，即22BO·，解得BO，sinBC1O，BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值為.最新精品資料