精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 四直角三角形的射影定理 [對應學生用書P14] 1．射影 (1)點在直線上的正射影：從一點向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影． (2)線段在直線上的正射影：線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段． (3)射影：點和線段的正射影簡稱為射影． 2．射影定理 (1)文字語言： 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項． (2)圖形語言：如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高， 則有CD2＝AD·BD， AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. [對應學生用書P14] 射影定理的有關計算 [例1]　如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的長． [思路點撥]　在直角三角形內求線段的長度，可考慮使用勾股定理和射影定理． [解]　∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12， ∴CD＝＝2(cm)． ∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝＝4(cm)． ∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝＝4(cm)． 故CD、AC、BC的長分別為2 cm,4 cm,4 cm. (1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六條線段，已知其中任意兩條，便可求出其余四條． (2)射影定理中每個等積式中含三條線段，若已知兩條可求出第三條． 1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，試求出圖中其他未知線段的長． 解：由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BC＝＝＝2. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝＝＝5. ∵CD2＝AD·BD， ∴CD＝＝＝10. 2．已知：CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，如果兩直角邊AC，BC的長度比為AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的長． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴＝. ∴＝()2＝( )2＝. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝×25＝9(cm)， BD＝×25＝16(cm)． ∴CD＝＝＝12(cm). 與射影定理有關的證明問題 [例2]　如圖所示，CD垂直平分AB，點E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分別為垂足． 求證：AF·AC＝BG·BE. [思路點撥]　先將圖分解成兩個基本圖形(1)(2)，再在簡單的圖形中利用射影定理證明所要的結論． [證明]　∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均為直角三角形，且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE. 將原圖分成兩部分來看，就可以分別在兩個三角形中運用射影定理，實現了溝通兩個比例式的目的．在求解此類問題時，關鍵就是把握基本圖形，從所給圖形中分離出基本圖形進行求解或證明． 3．如圖所示，設CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高． 求證：CA·CD＝BC·AD. 證明：由射影定理知： CD2＝AD·BD， CA2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∴CA·CD＝＝AD·， BC·AD＝AD·. 即CA·CD＝BC·AD. 4．Rt△ABC中有正方形DEFG，點D、G分別在AB、AC上，E、F在斜邊BC上． 求證：EF2＝BE·FC. 證明：過點A作AH⊥BC于H. 則DE∥AH∥GF. ∴＝，＝. ∴＝. 又∵AH2＝BH·CH， ∴DE·GF＝BE·FC. 而DE＝GF＝EF， ∴EF2＝BE·FC. [對應學生用書P15] 一、選擇題 1．已知Rt△ABC中，斜邊AB＝5 cm，BC＝2 cm，D為AC上一點，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，則DE＝(　　) A．1.24 cm　　　　　　　 B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 解析：如圖，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴＝， DE＝＝＝1.28. 答案：C 2．已知直角三角形中兩直角邊的比為1∶2，則它們在斜邊上的射影比為(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 解析：設直角三角形兩直角邊長分別為1和2，則斜邊長為，∴兩直角邊在斜邊上的射影分別為和. 答案：C 3．一個直角三角形的一條直角邊為3 cm，斜邊上的高為2.4 cm，則這個直角三角形的面積為(　　) A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 解析：長為3 cm的直角邊在斜邊上的射影為＝1.8(cm)，由射影定理知斜邊長為＝5(cm)， ∴三角形面積為×5×2.4＝6(cm2)． 答案：B 4．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，若CD＝6 cm，AD∶DB＝1∶2，則AD的值是(　　) A．6 cm B．3 cm C．18 cm D．3 cm 解析：∵AD∶DB＝1∶2， ∴可設AD＝t，DB＝2t. 又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t， ∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3 cm. 答案：B 二、填空題 5．若等腰直角三角形的一條直角邊長為1，則該三角形在直線l上的射影的最大值為________． 解析：射影的最大值即為等腰直角三角形的斜邊長． 答案： 6．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④這四個三角形能相似的是________． 解析：因為四邊形ABCD為矩形， 所以∠A＝∠D＝90°. 因為∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因為∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE∽△DEF. 答案：①③ 7．在△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于點D，AD＝6，BD＝12，則CD＝__________，AC＝__________，AB2∶AC2＝__________. 解析：如圖，AB2＝AD2＋BD2， 又AD＝6，BD＝12， ∴AB＝6. 由射影定理可得，AB2＝BD·BC， ∴BC＝＝15. ∴CD＝BC－BD＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC2＝CD·BC， ∴AC＝＝3. ∴＝＝＝＝4. 答案：3　3　4∶1 三、解答題 8．如圖：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE是Rt△BCD斜邊BC上的高，若BE＝6，CE＝2. 求AD的長是多少． 解：因為在Rt△BCD中，DE⊥BC，所以由射影定理可得：CD2＝CE·BC， 所以CD2＝16， 因為BD2＝BE·BC， 所以BD＝＝4. 因為在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB， 所以由射影定理可得： CD2＝AD·BD， 所以AD＝＝＝. 9．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2＝AD·BD，求證：∠ACB＝90°. 證明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠BDC＝90°. 又∵CD2＝AD·BD， 即AD∶CD＝CD∶BD， ∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD. 又∵∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD ＝∠ACD＋∠CAD＝90°. 10．已知直角三角形周長為48 cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分． (1)求直角三角形的三邊長； (2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長． 解：(1)如圖，設CD＝3x，BD＝5x， 則BC＝8x， 過D作DE⊥AB， 由題意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x. ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2. ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三邊長分別為：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F點， ∴AC2＝AF·AB. ∴AF＝＝＝(cm)； 同理：BF＝＝＝(cm)． ∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為 cm， cm. [對應學生用書P16] 近兩年高考中，由于各地的要求不同，所以試題的呈現形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定與性質，射影定理，平行線分線段成比例定理；一般試題難度不大，解題中要注意觀察圖形特點，巧添輔助線對解題可起到事半功倍的效果．在使用平行線分線段成比例定理及其推論時，一定要搞清有關線段或邊的對應關系，切忌搞錯比例關系． 1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________． 解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3， 得EF＝(CD＋AB)， ∴EF是梯形ABCD的中位線， 則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設為h， 于是兩梯形的面積比為 (3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5. 答案：7∶5 2.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則的值為________． 解析：連接AC，BC，則∠ACB＝90°. 設AD＝2，則AB＝6， 于是BD＝4，OD＝1. 如圖，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，則CD＝2. 在Rt△OCD中，DE＝＝＝. 則CE＝＝ ＝， EO＝OC－CE＝3－＝. 因此＝＝8. 答案：8 [對應學生用書P16] 平行線分線段相關定理 平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理，其實質是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現的規(guī)律，主要用來證明比例式成立、證明直線平行、計算線段的長度，也可以作為計算某些圖形的周長或面積的重要方法，其中，平行線等分線段定理是線段的比為1的特例． [例1]　如圖，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC. 求證：EG∥BH. [證明]　∵DE∥BC， ∴＝. ∵DH∥GC，∴＝. ∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG. ∴＝.∴EG∥BH. [例2]　如圖，直線l分別交△ABC的邊BC，CA，AB于點D，E，F，且AF＝AB，BD＝BC，試求. [解]　作CN∥AB交DF于點N，并作EG∥AB交BC于點G，由平行截割定理，知＝，＝， 兩式相乘，得·＝·， 即＝·. 又由AF＝AB，得＝2， 由BD＝BC，得＝， 所以＝2×＝. 相似三角形的判定與性質 相似三角形的判定與性質揭示了形狀相同，大小不一定相等的兩個三角形之間的邊、角關系．其應用非常廣泛，涉及到多種題型，可用來計算線段、角的大小，也可用來證明線段、角之間的關系，還可以證明直線之間的位置關系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情況． [例3]　如圖所示，AD、CF是△ABC的兩條高線，在AB上取一點P，使AP＝AD，再從P點引BC的平行線與AC交于點Q. 求證：PQ＝CF. [證明]　∵AD、CF是△ABC的兩條高線， ∴∠ADB＝∠BFC＝90°. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. ∴＝. 又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC. ∴＝.∴＝.∴＝. 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ. [例4]　四邊形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于點E，DE＝2AE，若△CED的面積為1，求四邊形ABCE的面積． [解]　如圖，延長CB、DA交于點F， 又CE平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD為等腰三角形，E為FD的中點． ∴S△FCD＝FD·CE ＝×2ED·CE ＝2S△CED＝2， EF＝ED＝2AE. ∴FA＝AE＝FD. 又∵AB∥CD， ∴△FBA∽△FCD. ∴＝()2＝()2＝. ∴S△FBA＝×S△FCD＝. ∴S四邊形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA ＝2－1－＝. 射影定理 射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例關系，此定理常作為計算與證明的依據，在運用射影定理時，要特別注意弄清射影與直角邊的對應關系，分清比例中項，否則在做題中極易出錯． [例5]　如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F. 求證：CE2＝BD·DF. [證明]　∵∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴DE∥BC.∴＝. 同理：CD∥EF，∴＝. ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD·AB. ∴＝. ∴＝. ∴CE2＝BD·DF. [對應學生用書P41] (時間：90分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．如圖，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是(　　) A．AB＝2A′B′　　　　　　 B．3A′B′＝B′C′ C．BC＝B′C′ D．AB＝A′B′ 解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴＝＝. ∴3A′B′＝B′C′. 答案：B 2.如圖，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2 B．9∶4 C.∶ D.∶ 解析：Rt△ACD∽Rt△CBD，∴＝＝. 答案：A 3．在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，則CD和BC的長分別為(　　) A. cm和3 cm B．1 cm和 cm C．1 cm和3 cm D. cm和2 cm 解析：設AD＝x， 則由射影定理得x(x＋3)＝4， 即x＝1(負值舍去)， 則CD＝＝(cm)， BC＝＝＝2(cm)． 答案：D 4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，則DE的值為(　　) A. B. C. D. 解析：AC2＝CD·BC， 即52＝2×BC， ∴BC＝. ∴AB＝＝ ＝. ∵＝，∴DE＝. 答案：A 5．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似；③＝，而夾角不一定相等，所以兩個三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得＝，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似． 答案：C 6.如圖，DE∥BC，S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，則AD∶DB的值為(　　) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 解析：由S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8 得S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴()2＝＝. ∴＝，＝. 答案：C 7．△ABC和△DEF滿足下列條件，其中不一定使△ABC與△DEF相似的是(　　) A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108° B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝ D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40° 解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°， ∴△ABC∽△DEF； B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4； ∴△ABC∽△EFD； D中＝，∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF； 而C中不能保證三邊對應成比例． 答案：C 8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是(　　) A. B. C. D．2 解析：由射影定理得 CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4. 令BD＝x，則AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝4x2， ∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝. 答案：C 9.在?ABCD中，E為CD上一點，DE∶CE＝2∶3，連接AE、BE、BD且AE、BD交于點F，則S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝(　　) A．4∶10∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．2∶5∶25 解析：∵AB∥CD， ∴△ABF∽△EDF. ∴＝＝. ∴＝()2＝. 又△DEF和△BEF等高． ∴＝＝＝. 答案：A 10．如圖，已知a∥b，＝，＝3.則AE∶EC＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵a∥b，∴＝，＝. ∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD. 又＝， ∴＝＝.∴＝.∴＝. ∴＝＝. 答案：A 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長∶△ABC的周長等于________． 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴＝. ∴＝＝. 答案： 12．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5， DE＝6，則BF＝________. 解析：∵DE∥BC， ∴＝，∴BC＝DE·＝6×＝10， 又DF∥AC，∴DE＝FC＝6. ∴BF＝BC－FC＝4. 答案：4 13．如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點O，直線AO與DE、BC分別交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，則NE∶BM＝________，AE∶EC＝________. 解析：＝＝， ∴＝＝. ∴＝＝. 又＝＝， ∴＝＝. ∴AE∶EC＝1∶3. 答案：1∶4　1∶3 14．陽光通過窗口照到室內，在地面上留下2.7 m寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻角距離CE＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底邊離地面的高BC等于________m. 解析：∵BD∥AE，∴＝. ∴BC＝. ∵AB＝1.8 m，DE＝2.7 m，CE＝8.7 m， ∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC＝＝4(m)． 答案：4 三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)如圖，△ABC中，BC的中點為D，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點M、N. 求證：MN∥BC. 證明：∵MD平分∠ADB， ∴＝. ∵ND平分∠ADC，∴＝. ∵BD＝DC， ∴＝＝＝. ∴MN∥BC. 16．(本小題滿分12分)如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F，求證：BP2＝PE·PF. 證明：連接PC， ∵AB＝AC，AD是中線， ∴AD是△ABC的對稱軸， 故PC＝PB， ∠PCE＝∠ABP. ∵CF∥AB， ∴∠PFC＝∠ABP， 故∠PCE＝∠PFC， ∵∠CPE＝∠FPC， ∴△EPC∽△CPF， 故＝， 即PC2＝PE·PF， ∴BP2＝PE·PF. 17．(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是BD上任意一點，過P點的直線分別交AB、DC于E、F，交DA、BC的延長線于G、H. (1)求證：PE·PG＝PF·PH； (2)當過P點的直線繞點P旋轉到F、H、C重合時，請判斷PE、PC、PG的關系，并給出證明． 解：(1)證明：∵AB∥CD，∴＝. ∵AD∥BC，∴＝， ∴＝.∴PE·PG＝PH·PF. (2)關系式為PC2＝PE·PG. 證明：由題意可得到右圖， ∵AB∥CD， ∴＝. ∵AD∥BC，∴＝. ∴＝，即PC2＝PE·PG. 18．(本小題滿分14分)某生活小區(qū)的居民籌集資金1 600元，計劃在一塊上、下兩底分別為10 m、20 m的梯形空地上種植花木(如圖)． (1)他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單位為8元/m2，當△AMD地帶種滿花后(圖中陰影部分)共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用； (2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應選擇種哪種花木，剛好用完所籌集的資金？ 解：(1)∵四邊形ABCD為梯形，∴AD∥BC. ∴△AMD∽△CMB，∴＝()2＝. ∵種植△AMD地帶花費160元， ∴S△AMD＝＝20(m2)． ∴S△CMB＝80(m2)． ∴△CMB地帶的花費為80×8＝640元． (2)＝＝＝2， ∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)． 同理：S△DMC＝40(m2)． 所剩資金為：1600－160－640＝800元， 而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)． 故種植茉莉花剛好用完所籌集的資金． 最新精品資料