第四節(jié)直角三角形的射影定理 1 利用直角三角形相似的判定和性質(zhì)推導(dǎo)射影定理 2 靈活運用射影定理進(jìn)行相關(guān)計算與證明 課標(biāo)定位 1 射影定理的靈活運用 重點 2 本節(jié)課內(nèi)容往往與直角三角形其他知識相結(jié)合考查相關(guān)計算與證明 易錯點 No 1預(yù)習(xí)學(xué)案 1 射影 1 點在直線上的正射影 從一點向一直線所引垂線的 叫做這個點在這條直線上的正射影 2 線段在直線上的正射影 線段的 在這條直線上的 間的線段 3 射影 點和線段的 簡稱為射影 垂足 兩個端點 正射影 正射影 2 射影定理 1 文字語言直角三角形斜邊上的高是 在斜邊上射影的比例中項 兩直角邊分別是它們在 上射影與 的比例中項 兩直角邊 斜邊 斜邊 2 圖形語言如圖 在Rt ABC中 CD為斜邊AB上的高 則有CD2 AC2 BC2 AD BD AD AB BD AB 3 直角三角形射影定理的逆定理如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的 那么這個三角形是 符號表示 如圖 在 ABC中 CD AD于D 若 則 ABC為直角三角形 比例中項 直角三角形 CD2 AD BD 1 一個直角三角形的一條直角邊為3cm 斜邊上的高為2 4cm 則這個直角三角形的面積為 A 7 2cm2B 6cm2C 12cm2D 24cm2答案 B 答案 C 3 在 ABC中 AC BC CD AB于點D 若AD 27 BD 3 則AC BC CD No 2課堂學(xué)案 如圖所示 AD BC FE BC 求點A B C D E F G和線段AB AC AF FG在直線BC上的射影 思路點撥 要求已知點和線段在直線BC上的射影 需過這些點或線段的端點 作BC邊的垂線 射影定理的有關(guān)計算 解題過程 由AD BC FE BC知 A在BC上的射影是D B在BC上的射影是B C在BC上的射影是C E F G在BC上的射影都是E AB在BC上的射影是DB AC在BC上的射影是DC AF在BC上的射影是DE FG在BC上的射影是點E 規(guī)律方法 如何求點和線段在直線上的射影 1 點在直線上的射影就是由點向直線引垂線 垂足即為射影 2 線段在直線上的射影就是由線段的兩端點向直線引垂線 兩垂足間的線段就是所求射影 1 已知 CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高 如果兩直角邊AC BC的長度比為AC BC 3 4 求 1 AD BD的值 2 若AB 25cm 求CD的長 已知 如圖 ABC中 ACB 90 CD AB于D DE AC于E DF BC于F 求證 CD3 AE BF AB 利用射影定理證明比例式 規(guī)律方法 利用射影定理證明比例式成立是本部分常見題目 在解題過程中 應(yīng)弄清射影定理中成比例的線段 再結(jié)合比例的基本性質(zhì)加以靈活運用 2 Rt ABC中有正方形DEFG 點D G分別在AB AC上 E F在斜邊BC上 求證 EF2 BE FC 在 ABC中 ACB 90 CD AB于D AD BD 2 3 求 ACD與 CBD的相似比 利用射影定理解決相似三角形問題 規(guī)律方法 1 由射影定理可得三角形相似 可求相似比 三角形邊長等 2 射影定理中有三個等式 根據(jù)題目需要恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇 1 如何理解點和線段的射影 點的射影可由點到直線的垂線段的垂足來確定 線段的射影可由線段的兩個端點的射影來確定 可利用口訣理解記憶 線段的射影 平行長不變 傾斜長縮短 垂直成一點 3 射影定理的應(yīng)用 1 應(yīng)用射影定理的前提條件是三角形為直角三角形 2 應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長 面積等有關(guān)量 也可以研究相似問題 比例式等