1 5 3反證法和放縮法 1 理解反證法在證明不等式中的應(yīng)用 掌握用反證法證明不等式的方法 2 掌握放縮法證明不等式的原理 并會用其證明不等式 1 反證法假設(shè)要證明的命題是不正確的 然后利用公理 已有的定義 定理 命題的條件逐步分析 得到和命題的條件 或已證明過的定理 或明顯成立的事實(shí) 矛盾的結(jié)論 從而得出原來結(jié)論是正確的 這種方法稱作反證法 名師點(diǎn)撥用反證法證明不等式必須把握以下幾點(diǎn) 1 必須否定結(jié)論 即肯定結(jié)論的反面 當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時 必須羅列出各種情況 缺少任何一種可能 反證法都是不完全的 2 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理 即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件 且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證 否則 僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理 就不是反證法 3 推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣 有的與已知矛盾 有的與假設(shè)矛盾 有的與已知事實(shí)相違背 推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 做一做1 1 應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用 結(jié)論相反的判斷 即假設(shè) 原命題的條件 公理 定理 定義等 原結(jié)論 A B C D 答案 C 做一做1 2 實(shí)數(shù)a b c不全為0的等價條件為 A a b c均不為0B a b c中至多有一個為0C a b c中至少有一個為0D a b c中至少有一個不為0答案 D 2 放縮法在證明不等式時 有時需要將所需證明的不等式的值適當(dāng)放大 或縮小 使它由繁化簡 達(dá)到證明目的 這種方法稱為放縮法 其關(guān)鍵在于放大 縮小 要適當(dāng) 名師點(diǎn)撥用放縮法證明不等式時 常見的放縮依據(jù)或技巧是不等式的傳遞性 縮小分母 擴(kuò)大分子 分式的值增大 縮小分子 擴(kuò)大分母 分式的值減小 每一次縮小其和變小 但需大于所求 每一次擴(kuò)大其和變大 但需小于所求 即不能放縮不夠或放縮過頭 同時放縮有時需便于求和 A M 1B M1D M與1的大小關(guān)系不確定解析 分母全換成210 共有210個單項(xiàng) 答案 B 做一做2 2 lg9 lg11與1的大小關(guān)系是 答案 lg9 lg11 1 1 反證法中的數(shù)學(xué)語言是什么 剖析 反證法適宜證明 存在性問題 唯一性問題 帶有 至少有一個 或 至多有一個 等字樣的問題 或者說 正難則反 直接證明有困難時 常采用反證法 下面我們列舉一下常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè) 對某些數(shù)學(xué)語言的否定假設(shè)要準(zhǔn)確 以免造成原則性的錯誤 有時在使用反證法時 對假設(shè)的否定也可以舉一定的特例來說明矛盾 尤其在一些選擇題中 更是如此 2 放縮法的尺度把握等問題有哪些 剖析 1 放縮法的理論依據(jù)主要有 不等式的傳遞性 等量加不等量為不等量 同分子 分母 異分母 分子 的兩個分式大小的比較 基本不等式與絕對值不等式的基本性質(zhì) 三角函數(shù)的有界性等 2 放縮法使用的主要方法 放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一 放縮必須有目標(biāo) 而且要恰到好處 目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考查 常用的放縮方法有增項(xiàng) 減項(xiàng) 利用分式的性質(zhì) 利用不等式的性質(zhì) 利用已知不等式 利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等 比如 題型一 題型二 題型三 題型四 用反證法證明否定性結(jié)論命題 分析 不能同時 包含情況較多 而其否定 同時大于 僅有一種情況 因此適宜用反證法證明 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思 1 當(dāng)證明的結(jié)論中含有 不是 不都 不存在 等詞語時 適于應(yīng)用反證法 因?yàn)榇祟悊栴}的反面比較具體 2 用反證法證明不等式時 推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式 與已知矛盾 與假設(shè)矛盾 與顯然成立的事實(shí)相矛盾 題型一 題型二 題型四 題型三 用反證法證明 至多 至少 類問題 分析 問題從正面證明不易入手 適合應(yīng)用反證法證明 題型一 題型二 題型四 題型三 假設(shè)不成立 則 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 f 1 f 3 2f 2 1 b c 9 3b c 2 4 2b c 2 兩式顯然矛盾 假設(shè)不成立 題型一 題型二 題型四 題型三 反思 1 在所要證明的問題中含有 至多 至少 等字眼時 常使用反證法證明 2 在用反證法證明的過程中 由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè) 相當(dāng)于增加了題設(shè)條件 因此在證明過程中必須使用這個增加的條件 否則將無法推出矛盾 題型一 題型二 題型三 題型四 用放縮法證明不等式 分析 運(yùn)用放縮法進(jìn)行證明 證明 1 由題設(shè) 得a2 ab b2 a b 于是 a b 2 a2 ab b2 a b 故a b 1 因?yàn)?a b 2 4ab 題型一 題型二 題型三 題型四 反思用放縮法證明不等式的過程中 往往采用添項(xiàng)或減項(xiàng)的 添舍 放縮 拆項(xiàng)對比的分項(xiàng)放縮 函數(shù)的單調(diào)性放縮等 放縮時要注意適度 否則不能同向傳遞 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點(diǎn) 在證明不等式時 因不按不等式的性質(zhì)變形 從而導(dǎo)致證明過程錯誤 12345 1用反證法證明 若整系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么a b c中至少有一個偶數(shù) 下列假設(shè)中正確的是 A 假設(shè)a b c都是偶數(shù)B 假設(shè)a b c都不是偶數(shù)C 假設(shè)a b c中至多有一個偶數(shù)D 假設(shè)a b c中至多有兩個偶數(shù)答案 B 12345 2設(shè)x y 0 且xy x 1 1 則 答案 B 12345 A 都大于2B 都小于2C 至少有一個不大于2D 至少有一個不小于2 答案 D 12345 答案 12345 5若正數(shù)a b滿足ab 1 a b 則a b的最小值為