第三章 圓錐曲線與方程 1橢圓1 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)課前預(yù)習(xí)學(xué)案 1 影視劇中常有這樣的鏡頭 武士為了顯示自己的功夫超群及手中刀劍鋒利 對準(zhǔn)身邊樹樁或毛竹 手起刀 劍 落 劈為兩截 你知道截口是什么形狀嗎 提示 橢圓或圓形 2 你能舉出幾個橢圓形的例子嗎 提示 衛(wèi)星軌道 鏡子 會議桌等 3 特殊的曲線都可以看作是滿足特定的條件的動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡 1 圓是動點(diǎn)滿足什么條件時形成的軌跡 2 線段的垂直平分線是動點(diǎn)滿足什么條件時的軌跡 提示 1 到定點(diǎn) 圓心 的距離等于定長 半徑 2 到線段兩端點(diǎn)的距離相等 4 根據(jù)課本P61橢圓的畫法 你能說出橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡嗎 提示 到兩個定點(diǎn)的距離之和為常數(shù) 1 橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 F2的 的點(diǎn)的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的 叫做橢圓的焦距 距離和等于常數(shù) 大于 F1F2 焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離 強(qiáng)化拓展 根據(jù)橢圓的定義 用集合語言可敘述為 集合P M MF1 MF2 2a 2a F1F2 設(shè) F1F2 2c 0 則a c時 集合P為橢圓 a c時 集合P為線段F1F2 a c時 集合P為空集 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 強(qiáng)化拓展 1 這里的 標(biāo)準(zhǔn) 指的是中心在原點(diǎn) 對稱軸為坐標(biāo)軸 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 焦點(diǎn)的位置由分母的大小來確定 如果x2的分母大 焦點(diǎn)就在x軸上 如果y2的分母大 則焦點(diǎn)就在y軸上 簡記為 焦點(diǎn)位置看大小 焦點(diǎn)隨著大的跑 解析 a 6 c 1 b2 a2 c2 35 橢圓的焦點(diǎn)在x軸 還是在y軸不確定 答案 D 2 橢圓3x2 4y2 12的兩個焦點(diǎn)之間的距離為 A 12B 4C 3D 2 答案 D 解析 焦點(diǎn)在x軸上 9 m2 0 3 m 0或0 m 3 答案 3 0 0 3 4 已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1 1 0 F2 1 0 P為橢圓上一點(diǎn) 且2 F1F2 PF1 PF2 求此橢圓方程 講課堂互動講義 思路導(dǎo)引 動圓滿足的條件為 和 C1內(nèi)切 和 C2外切 依據(jù)兩圓相切的充要條件建立關(guān)系 可求出動圓圓心的軌跡方程 進(jìn)而確定出軌跡圖形 名師妙點(diǎn) 1 橢圓的定義是用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和來描述的 解題中凡涉及動點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離和的問題 應(yīng)先想到利用橢圓定義求解 然后確定橢圓的方程 2 通過分析平面圖形 利用平面幾何知識 得到符合橢圓定義的幾何條件 從而判斷點(diǎn)的軌跡是橢圓 再由待定系數(shù)法求出其方程 這種方法可以看作是待定系數(shù)法的一種特殊方法 定義法 思路導(dǎo)引 1 與 2 先根據(jù)焦點(diǎn)位置確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 再由條件求出a2 b2即可 而 3 則不能直接判斷焦點(diǎn)位置 從而需分兩種情況討論或設(shè)為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 的統(tǒng)一形式求解 名師妙點(diǎn) 利用待定系數(shù)法求橢圓的方程時首先要注意焦點(diǎn)是在x軸 還是在y軸 不確定時要進(jìn)行討論 若利用方程mx2 ny2 1 m n 0 m n 求 則可以省去討論焦點(diǎn)位置 直接求出m n即可 無論采用哪種設(shè)法 都要注意方程中系數(shù)的限制條件 如m n 0 m n等 不符合題意的應(yīng)舍去 思路導(dǎo)引 1 根據(jù)橢圓的定義求解 2 根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式組求解 答案 1 4 2 3 k 5 且k 4 錯解 由橢圓方程知 a2 4 b2 m a2 b2 4 m 2c 2 c 1 4 m 1 m 3 錯因 忽視了對焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上的討論 正解 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時 a2 4 b2 m 又 2c 2 c 1 4 m 1 m 3 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時 a2 m b2 4 又 2c 2 c 1 m 4 1 m 5 綜上 m的值為3或5