本章整合 專題 專題數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時 一般說來 第一步 驗證比較簡明 而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜 因此 熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的 其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題 歸納假設(shè) P k 是問題的條件 而命題P k 1 成立就是所要證明的結(jié)論 因此 合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵 下面簡要分析一些常用技巧 1 分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納假設(shè)證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式 從 P k 到 P k 1 常?？捎梅治鼍C合法 專題 專題 專題 專題 2 ak 1 bk 1 a b ak bk 2 ak 1 bk 1 ak 1 abk bak bk 1 0 ak 1 abk bak bk 1 0 a b ak bk 0 因為a b與 ak bk 同正負(fù) 或同時為0 所以最后一個不等式顯然成立 即當(dāng)n k 1時 不等式成立 專題 2 放縮法涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式 從 k 過渡到 k 1 有時也考慮用放縮法 專題 專題 3 遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時 有時要利用an與an 1的關(guān)系 實現(xiàn)從 k 到 k 1 的過渡 專題 即當(dāng)n k 1時 原不等式也成立 根據(jù) 1 2 可知 當(dāng)n N 時 原不等式都成立 專題 4 構(gòu)造配湊法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題 尤其是整除 時 從 k 過渡到 k 1 常常用構(gòu)造配湊法 應(yīng)用5求證 62n 3n 2 3n是11的倍數(shù) n N 證明 1 當(dāng)n 1時 62 1 31 2 31 66 是11的倍數(shù) 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k 1 時 命題成立 即62k 3k 2 3k是11的倍數(shù) 則當(dāng)n k 1時 62 k 1 3k 3 3k 1 62k 2 3k 3 3k 1 36 62k 3 3k 2 3 3k 33 62k 3 62k 3 3k 2 3 3k 33 62k 3 62k 3k 2 3k 由假設(shè)可知3 62k 3k 2 3k 是11的倍數(shù) 而33 62k也是11的倍數(shù) 故n k 1時 原命題也成立 根據(jù) 1 2 可知 對任意n N 原命題成立 專題 5 幾何法 幾何類 命題的證題關(guān)鍵是先要從證明當(dāng)n k 1時命題成立的結(jié)論中 分解出當(dāng)n k時命題成立的部分 然后去證余下的部分 應(yīng)用6在同一平面內(nèi)有n條直線 每兩條不平行 任意三條不共點 求證 它們將此平面分 專題 湖北高考 1 已知函數(shù)f x rx xr 1 r x 0 其中r為有理數(shù) 且0 r 1 求f x 的最小值 2 試用 1 的結(jié)果證明如下命題 設(shè)a1 0 a2 0 b1 b2為正有理數(shù) 若b1 b2 1 則 a1b1 a2b2 3 請將 2 中的命題推廣到一般形式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題 注 當(dāng) 為正有理數(shù)時 有求導(dǎo)公式 x x 1 解 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 當(dāng)01時 f x 0 所以f x 在 1 內(nèi)是增函數(shù) 故函數(shù)f x 在x 1處取得最小值f 1 0 假設(shè)當(dāng)n k時 成立 即若a1 a2 ak為非負(fù)實數(shù) b1 b2 bk為正有理數(shù) 又 1 bk 1 bk 1 1 由 得 bk 1 ak 1bk 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故當(dāng)n k 1時 成立 根據(jù) 可知 對一切正整數(shù)n 所推廣的命題成立 說明 3 中如果推廣形式中指出 式對n 2成立 則后續(xù)證明中不需討論n 1的情況