5簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 觀察下列幾個(gè)函數(shù) 1 y 5x 4 3 2 y log3 x2 2x 3 3 y sin2 3x 5 它們是基本初等函數(shù)嗎 如果不是 那么 能看作由哪幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成呢 提示 它們都不是基本初等函數(shù) 其中 1 由y u3和u 5x 4復(fù)合而成 2 由y log3u和u x2 2x 3復(fù)合而成 3 由y u2和u sinv和v 3x 5復(fù)合而成 一般地 對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y f u 和u g x ax b 給定x的一個(gè)值 就得到了 的值 進(jìn)而確定了 的值 這樣y可以表示成x的函數(shù) 我們稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y f u 和u g x 的復(fù)合函數(shù) 記作y 其中u為 1 復(fù)合函數(shù) u y f g x 中間變量 2 理解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律 判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的一般規(guī)律是 從外向里分析 最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式 各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系 這樣一層一層分析 最里層應(yīng)是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)或關(guān)于自變量x的基本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算而得到的函數(shù) 復(fù)合函數(shù)y f g x 的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y f u u g x 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y x 即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于 乘積 2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y u u x y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x導(dǎo)數(shù)的 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié) 1 中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu) 2 關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次 3 一般是從最外層開(kāi)始 由外及里 一層層地求導(dǎo) 4 善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體 5 最后要把中間變量換成自變量的函數(shù) 1 函數(shù)y 3x 4 2的導(dǎo)數(shù)是 A 4 3x 2 B 6xC 6x 3x 4 D 6 3x 4 解析 原函數(shù)由y t2和t 3x 4復(fù)合而成 y t 2t t x 3 y x 2t 3 6 3x 4 答案 D 2 函數(shù)y sin 2x 1 的導(dǎo)數(shù)是 A cos 2x 1 B 2xsin 2x 1 C 2cos 2x 1 D 2sin 2x 1 解析 y cos 2x 1 2 2cos 2x 1 答案 C3 函數(shù)y e2x e x的導(dǎo)數(shù)為 答案 2 e2x e x 課堂互動(dòng)講義 求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2 引入中間變量u x 2012x 8 則函數(shù)y cos 2012x 8 是由函數(shù)f u cosu與u x 2012x 8復(fù)合而成的 查導(dǎo)數(shù)公式表可得f u sinu x 2012 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 cos 2012x 8 f u x sinu 2012 2012sinu 2012sin 2012x 8 3 引入中間變量u x 1 3x 則函數(shù)y 21 3x是由函數(shù)f u 2u與u x 1 3x復(fù)合而成的 查導(dǎo)數(shù)公式表得f u 2uln2 x 3 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 21 3x f u x 2uln2 3 3 2uln2 3 21 3xln2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是選擇中間變量 正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的 分清之間的復(fù)合關(guān)系 求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量 注意逐層求導(dǎo) 最后是中間變量對(duì)自變量求導(dǎo) 不遺漏 不越級(jí) 求導(dǎo)后 要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù) 導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)算問(wèn)題 思路導(dǎo)引 應(yīng)用指數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式 結(jié)合函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行解題 求導(dǎo)過(guò)程中 可先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡(jiǎn) 將對(duì)數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)形式后再求導(dǎo) 當(dāng)然變形化簡(jiǎn)時(shí)要注意等價(jià)性 解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu) 要分清原函數(shù)是哪幾個(gè)函數(shù)的和 差 積 商 其中的復(fù)合函數(shù)又是如何復(fù)合而成 然后才能正確地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 得到正確結(jié)果 已知函數(shù)y f x xln 2x 1 1 求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2 求這個(gè)函數(shù)在x 1處的切線方程 思路導(dǎo)引 1 綜合利用乘積函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo) 2 函數(shù)在x 1處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率 利用點(diǎn)斜式求切線方程 求切線方程 求較為復(fù)雜的函數(shù)圖像的切線 關(guān)鍵在于正確求導(dǎo) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí) 要特別注意每層函數(shù)分別是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo) 錯(cuò)因 只注意到應(yīng)用乘積的導(dǎo)數(shù)法則 而忽視了e x與sin x也是復(fù)合型函數(shù) 導(dǎo)致了在求 e x 和 sin x 出現(xiàn)錯(cuò)誤