3雙曲線3 1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)課前預(yù)習(xí)學(xué)案 我海軍 馬鞍山 艦和 千島湖 艦組成護(hù)航編隊(duì)遠(yuǎn)赴亞丁灣 在索馬里海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù) 某日 馬鞍山 艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達(dá)聲 與 馬鞍山 艦相距1600m的 千島湖 艦 3s后也監(jiān)聽到了該馬達(dá)聲 聲速為340m s 如果把快艇視為一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 那么該動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是什么 它的軌跡是什么曲線呢 提示 用A B分別表示 馬鞍山 艦和 千島湖 艦所在的位置 點(diǎn)M表示快艇 則 MB MA 340 3 1020 小于 AB 1600 因此 點(diǎn)M 快艇 的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是雙曲線的一支 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離的 等于常數(shù) 小于 F1F2 且不等于零 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 這 叫做雙曲線的焦點(diǎn) 叫做雙曲線的焦距 1 雙曲線的定義 差的絕對(duì)值 兩個(gè)定點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離 1 定義中的條件2a F1F2 不可缺少 若2a F1F2 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線 若2a F1F2 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在 2 定義中的常數(shù)2a是小于 F1F2 且大于0的實(shí)數(shù) 若a 0 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線 3 注意定義中的關(guān)鍵詞 絕對(duì)值 若去掉定義中的 絕對(duì)值 三個(gè)字 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡只能是雙曲線的一支 2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 在橢圓的定義中要求a b 0 而在雙曲線的定義中a 0 b 0 a不一定大于b 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 a b確定了雙曲線的形狀和大小 是雙曲線定形的條件 其中c2 a2 b2 雙曲線中的a b c構(gòu)成陰影直角三角形的三條邊 如圖所示 正確理解a b c的幾何意義 對(duì)解決雙曲線的有關(guān)問題有很大幫助 2 焦點(diǎn)位置的判斷方法雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中 焦點(diǎn)的位置由x y前的符號(hào)來確定 如果x2前的符號(hào)為正 焦點(diǎn)就在x軸上 如果y2前的符號(hào)為正 則焦點(diǎn)就在y軸上 同學(xué)可以這樣來記 焦點(diǎn)位置看符號(hào) 焦點(diǎn)跟著正的走 3 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)一為mx2 ny2 1 mn 0 當(dāng)焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不易判斷時(shí) 可設(shè)此種形式 解析 焦點(diǎn)在x軸上 c 3 b 2 a2 c2 b2 5 答案 A 解析 由題意a2 9 a 3 p到兩焦點(diǎn)距離差等于2a 6所以到另一個(gè)焦點(diǎn)距離為9 答案 D 3 已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上 且a c 9 b 3 則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 講課堂互動(dòng)講義 已知雙曲線通過M 1 1 N 2 5 兩點(diǎn) 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程首先要做的是確定焦點(diǎn)的位置 如果不能確定 解決方法有兩種 一是對(duì)兩種情形進(jìn)行討論 有意義的保留 無意義的舍去 二是設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1 mn0 n0 那么焦點(diǎn)在y軸上 在已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)時(shí) 可以用雙曲線的定義 直接求出a 應(yīng)加強(qiáng)練習(xí) 注意體會(huì) 雙曲線定義的應(yīng)用 與焦點(diǎn)有關(guān)的問題應(yīng)考慮利用定義 一些小巧的題目 其考查點(diǎn)就是雙曲線的定義 合理利用定義往往是優(yōu)化解題的關(guān)鍵 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 方程表示雙曲線 則x2 y2的系數(shù)異號(hào) 當(dāng)x2的系數(shù)為正時(shí) 焦點(diǎn)在x軸上 否則焦點(diǎn)在y軸上 當(dāng)x2 y2的系數(shù)正負(fù)不確定時(shí) 要注意分類討論 3 方程x2sin y2cos 1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 試確定角 所在的象限 已知圓C1 x 3 2 y2 1和圓C2 x 3 2 y2 9 動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切 求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程 錯(cuò)解 如圖所示 設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B 根據(jù)兩圓外切的條件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB MA MB MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 2