第一章不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1 1不等式的基本性質(zhì)和一元二次不等式的解法 1 1 1不等式的基本性質(zhì) 1 掌握比較兩個實數(shù)大小的方法 2 理解不等式的性質(zhì) 能運用不等式的性質(zhì)比較大小 3 能運用不等式的性質(zhì)證明不等式等簡單問題 1 實數(shù)的大小與實數(shù)的運算性質(zhì)之間的關(guān)系設(shè)a b為兩個實數(shù) 它們在數(shù)軸上的點分別記為A B 如果A落在B的右邊 則稱a大于b 記為a b 如果A落在B的左邊 則稱a小于b 記為ab a b ab a b 0 a b a b 0 a b a b 0 名師點撥實數(shù)的大小與實數(shù)的運算性質(zhì)之間的關(guān)系是我們比較兩個實數(shù)大小的基本方法 作差法 的理論依據(jù) 作差法的步驟為 作差 變形 定號 與0比較大小 結(jié)論 做一做1 1 x2 x與x 2的大小關(guān)系為 解析 x2 x x 2 x2 2x 2 x 1 2 1 因為 x 1 2 0 所以 x 1 2 1 0 即 x2 x x 2 0 所以x2 x x 2 答案 x2 x x 2 做一做1 2 設(shè)x a2b2 5 y 2ab a2 4a 若x y 則實數(shù)a b應(yīng)滿足的條件為 解析 x y x y a2b2 5 2ab a2 4a ab 1 2 a 2 2 0 ab 1 0或a 2 0 即ab 1或a 2 答案 ab 1或a 2 2 不等式的基本性質(zhì) 歸納總結(jié) 1 對于性質(zhì) 4 可以看成 若c 0 則a b ac bc 若cb ac bc 2 在不等式的性質(zhì)的應(yīng)用中 要特別注意 除性質(zhì) 1 3 外 其余的性質(zhì)均不可逆 不能逆用 若要逆用 則必須注意適用的條件 3 上面這些不等式的基本性質(zhì)是我們證明和解決不等式問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點 4 在研究不等式時 需要特別注意 符號問題 即在作乘 除 法運算時 乘 除 數(shù)的符號會影響不等式的方向 做一做2 1 若a b c R a b 則下列不等式成立的是 解析 對于選項A 還需有ab 0這個前提條件 對于選項B 當(dāng)a b都為負(fù)數(shù)時不成立 或一正一負(fù)時可能不成立 如2 3 但22 3 2不正 答案 C 做一做2 2 下列命題中正確的有 若a b 則ac2 bc2 答案 1 使用不等式的性質(zhì)時要注意哪些問題 剖析 1 在應(yīng)用傳遞性時 如果兩個不等式中有一個帶等號 而另一個不帶等號 那么等號是不能傳遞的 如a b bb ac2 bc2 若無c 0這個條件 則a b ac2 bc2就錯了 因為當(dāng)c 0時 取等號 3 a b 0 an bn 0成立的條件是 n為正整數(shù) 且n 2 如果去掉這個條件 取n 1 a 3 b 2 那么就會出現(xiàn)3 1 2 1 2 比較兩數(shù) 式 大小的常用方法有哪些 它們有什么區(qū)別 剖析 題型一 題型二 題型三 題型四 作差比較法 分析 直接作差比較需將展開 過程較為復(fù)雜 式子冗長 可以考慮兩個式子的特點 根據(jù)兩個式子的特點 先把式子變形后 再作差比較大小 題型一 題型二 題型三 題型四 反思當(dāng)直接作差不容易判斷兩式的大小或者運算量較大時 可觀察式子自身的特點 先變形 再去作差 然后比較大小 題型一 題型二 題型四 題型三 不等式的性質(zhì) 例2 判斷下列命題的真假 并簡述理由 1 a b c d a c b d 分析 要判斷上述命題的真假 依據(jù)就是實數(shù)的基本性質(zhì)及實數(shù)運算的符號法則 以及不等式的基本性質(zhì) 經(jīng)過合理的邏輯推理即可判斷 也可令式中字母取一些特殊值 以檢驗不等式是否成立 題型一 題型二 題型四 題型三 解 1 假命題 理由 令a 5 b 4 c 3 d 1 有a b c d 但a c b d 故 1 為假命題 4 假命題 理由 a b 0 a n bn 但 a n與an可能相等 也可能互為相反數(shù) 故 4 為假命題 如a 2 b 1 n 3時 a b 0 但a3 8 1 b3 題型一 題型二 題型四 題型三 反思利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假時 關(guān)鍵要搞清楚性質(zhì)的條件與所研究問題的條件是否一致 否定一個結(jié)論只需舉一個反例即可 解此類問題 取特殊值檢驗往往事半功倍 但要注意特殊值法只能適用于證明結(jié)論不成立 題型一 題型二 題型三 題型四 利用不等式的性質(zhì)證明不等式 例3 若a b 0 c d 0 e 0 證明 c d 0 a b 0 a c b d 0 題型一 題型二 題型三 題型四 反思 1 證明不等式的常用方法 直接利用不等式的性質(zhì) 最常用的性質(zhì)有傳遞性 可乘性 同向可加性等 作差法或作商法 函數(shù)的單調(diào)性 2 在直接利用不等式的性質(zhì)證明時 特別注意以下幾點 是否是同向不等式 此性質(zhì)是否可以逆用 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 由于多次應(yīng)用同向不等式相加 乘 法則導(dǎo)致變量的取值范圍擴大 例4 已知f x mx2 n 且 4 f 1 1 1 f 2 5 求f 3 的取值范圍 加減消元 得0 m 3 1 n 7 從而 得 7 f 3 9m n 26 即f 3 的取值范圍是 7 26 題型一 題型二 題型三 題型四 錯因分析 m n是兩個相互關(guān)系 相互制約的量 由條件中的不等式通過加減消元在得出0 m 3 1 n 7后 并不意味著m n可以取得 0 3 及 1 7 上的一切值 如當(dāng)m 0 n 7時 m n 7已不滿足 4 m n 1 此類題一般是先運用待定系數(shù)法把f 3 用f 1 f 2 表示出來 再利用不等式的性質(zhì)求f 3 的范圍 切勿像錯解那樣先求出m n的范圍 再求f 3 的范圍 這樣會造成變量的取值范圍擴大 題型一 題型二 題型三 題型四 12345 1若aab ab2B ab2 ab aC ab a ab2D ab ab2 a解析 aab2 a 答案 D 12345 2若a b 則下列不等式中一定成立的是 答案 C 3已知a b c均為實數(shù) 下面四個命題中正確命題的個數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 12345 答案 C 12345 4實數(shù)a b c d滿足三個條件 d c a b c d a d b c 把a b c d按從大到小的順序排列起來是 再結(jié)合d c 知b d c a 答案 b d c a 12345 5使不等式a2 blg a b 0 2a 2b 1都成立的a與b的關(guān)系是 解析 由條件可知 a與b同時滿足 a b a b 1 a b 1 故有a b 1 且b 0 答案 a b 1 且b 0