3 3 2簡單的線性規(guī)劃問題第1課時簡單的線性規(guī)劃問題 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 了解線性規(guī)劃的意義 2 通過實例弄清線性規(guī)劃的有關(guān)概念術(shù)語 3 會用圖解法求一些簡單的線性規(guī)劃問題 醫(yī)院用甲 乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐 甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì) 售價3元 乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì) 售價2元 若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì) 問題1 設(shè)甲 乙兩種原料分別用10 xg和10yg 為了滿足病人的營養(yǎng)需要 試列出x y滿足的不等關(guān)系 問題2 若甲種原料售價每10g3元 乙種原料售價每10g2元 該醫(yī)院所需費用如何表示 提示 設(shè)總費用為z 則z 3x 2y 線性規(guī)劃的基本概念 不等式 或方程 組 線性約束條件 可行解 最大值或最小值 線性約束 求解線性規(guī)劃問題的注意事項 1 線性約束條件是指一組對變量x y的限制條件 它可以是一組關(guān)于變量x y的一次不等式 也可以是一次方程 2 有時可將目標函數(shù)z ax by改寫成y mx nz的形式 將nz看作直線y mx nz在y軸上的截距來處理 3 目標函數(shù)所對應(yīng)的直線系的斜率 若與約束條件中的某一約束條件所對應(yīng)的直線斜率相等 則最優(yōu)解可能有無數(shù)個 4 解線性規(guī)劃問題 正確畫出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求最優(yōu)解是重要一環(huán) 故力求作圖準確 而在求最優(yōu)解時 常把視線落在可行域的頂點上 解析 畫出可行域 由可行域知有4個整點 分別是 0 0 0 1 1 1 2 2 答案 B 解析 畫出如圖所示的可行域 易知當(dāng)直線過點 1 2 時目標函數(shù)取最大值3 答案 A 答案 9 解析 作出可行域如圖陰影部分所示 合作探究課堂互動 求線性目標函數(shù)的最值 求線性目標函數(shù)最值問題的一般步驟 解析 利用線性規(guī)劃知識求解 作出不等式組的可行域 如圖陰影部分所示 答案 3 3 求非線性目標函數(shù)的最值 1 對形如z x a 2 y b 2型的目標函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點 x y 與點 a b 間的距離平方的最值問題 已知目標函數(shù)的最值求參數(shù) 規(guī)范解答 在平面直角坐標系中畫出約束條件所表示的可行域如圖 形狀不定 3分其中直線ax y a 0的位置不確定 但它經(jīng)過定點A 1 0 斜率為a 6分 隨著對線性規(guī)劃問題研究的不斷深入 出現(xiàn)了一些線性規(guī)劃的逆向問題 即已知目標函數(shù)的最值 求約束條件或目標函數(shù)中的參數(shù)的取值及范圍問題 解決這類問題時仍需要正向考慮 先畫可行域 搞清目標函數(shù)的幾何意義 看最值在什么位置取得 2 由目標函數(shù)z y ax 即l y ax z知 求z的最值轉(zhuǎn)化為求y ax z截距的最值 分析知 當(dāng)l過C點時 y ax z截距最大 又C 3 7 zmax 7 3a 同理當(dāng)l過A 2 1 時 zmin 1 2a 錯因 這位同學(xué)所求平面區(qū)域完全正確 遺憾的是在求目標函數(shù)的最小值時由于分析不徹底導(dǎo)致結(jié)果有誤 這種參數(shù)與斜率有關(guān)的問題 求解時可先作出線性約束條件所表示的平面區(qū)域 充分利用斜率的特征加以轉(zhuǎn)化 一般情況下需分類討論 如本題中可將條件a 1分為 12兩種情況分別求目標函數(shù)的最小值 經(jīng)討論求解的結(jié)果才是完美的答案 2 f x y 表示直線l y ax k在y軸上的截距 且直線l與 1 中所求區(qū)域有公共點 a 1 當(dāng)直線l過頂點C時 f x y 最大 C點的坐標為 3 7 f x y 的最大值為7 3a 如果 12 那么當(dāng)直線l過頂點B 3 1 時 f x y 最小 最小值為1 3a