名師伴你行名師伴你行返回目錄返回目錄 名師伴你行空間中的垂空間中的垂直關(guān)系直關(guān)系以立體幾何的定義、公理和定理以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. .名師伴你行 1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力. 2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計算空間想像能力和推理論證能力。計算空間想像能力和推理論證能力。 3.近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高，這也符合新課說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過程中要善于對問題進(jìn)行探究標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過程中要善于對問題進(jìn)行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計開放型試題將是新課立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計開放型試題將是新課標(biāo)高考命題的一個熱點考向標(biāo)高考命題的一個熱點考向.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 1.空間任意兩條直線互相垂直的一般定義空間任意兩條直線互相垂直的一般定義如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為并且交角為 ，則稱這兩條直線互相垂直，則稱這兩條直線互相垂直.直角直角 名師伴你行返回目錄返回目錄 2.直線與平面垂直直線與平面垂直（1）空間直線與平面垂直的定義）空間直線與平面垂直的定義如果一條直線（如果一條直線（AB）和一個平面（）和一個平面（）相交于點）相交于點O，并且和并且和 ，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作作 ，這條直線叫做平面的垂線，這個平面，這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足叫做直線的垂面，交點叫做垂足.垂線上任意一點到垂垂線上任意一點到垂足間的線段叫做這個點到這個平面的垂線段足間的線段叫做這個點到這個平面的垂線段. 叫做這個點到平面的距離叫做這個點到平面的距離 .（2）直線與平面垂直的判定定理）直線與平面垂直的判定定理定理定理 如果如果 ，則這條直線與這個平面垂直則這條直線與這個平面垂直. 推論推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么那么 .這個平面內(nèi)過交點（這個平面內(nèi)過交點（O）的任何直線都垂直）的任何直線都垂直 AB 垂線段的長度垂線段的長度 一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直 另一條直線也垂直于這個平面另一條直線也垂直于這個平面 名師伴你行返回目錄返回目錄 （3）直線與平面垂直的性質(zhì)定理）直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么如果兩條直線垂直于同一個平面，那么 .一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的的 .3.平面與平面垂直平面與平面垂直（1）定義）定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線平面與第三個平面相交所得的兩條交線 ，就稱這兩個平面互相垂直就稱這兩個平面互相垂直.平面平面，互相垂直，記互相垂直，記作作 .這兩條直線平行這兩條直線平行 任何一條直線都垂直任何一條直線都垂直 互相垂直互相垂直 名師伴你行返回目錄返回目錄 （2）平面與平面垂直的判定定理）平面與平面垂直的判定定理如果如果 ，則兩個平面，則兩個平面互相垂直互相垂直.（3）平面與平面垂直的性質(zhì)定理）平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么如果兩個平面互相垂直，那么 .在一個平面內(nèi)垂直于它們交在一個平面內(nèi)垂直于它們交 一個平面過另一個平面的一條垂線一個平面過另一個平面的一條垂線 線的直線垂直于另一個平面線的直線垂直于另一個平面 名師伴你行返回目錄返回目錄 如圖如圖,AB為圓為圓O的直徑的直徑,C為圓周為圓周上異于上異于AB的任一點的任一點,PA面面ABC,問問:圖中共有多少個圖中共有多少個Rt?找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直也就是找出圖中的線線垂直.名師伴你行返回目錄返回目錄 PA面面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB為圓為圓O的直徑的直徑,ACBC.又又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面面PAC.PC平面平面PAC,BCPC.故圖中有四個直角三角故圖中有四個直角三角形形:PAC,PBC,PAB,ABC.名師伴你行返回目錄返回目錄 線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直線和平面垂直直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線線垂這是尋找線線垂直的重要依據(jù)直的重要依據(jù).名師伴你行如圖如圖,已知矩形已知矩形ABCD,過過A作作SA平面平面AC,再過再過A作作AESB交交SB于于E,過過E作作EFSC交交SC于于F.(1)求證求證:AFSC;(2)若平面若平面AEF交交SD于于G,求證求證:AGSD.返回目錄返回目錄 名師伴你行 (1)SA平面平面AC,BC平面平面AC,SABC,四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,ABBC,BC平面平面SAB,BCAE,又又SBAE,AE平面平面SBC,AESC,又又EFSC,SC平面平面AEF,AFSC.(2)SA平面平面AC,SADC,又又ADDC,DC平面平面SAD,DCAG,又由又由(1)有有SC平面平面AEF,AG平面平面AEF,SCAG,AG平面平面SDC,AGSD.返回目錄返回目錄 名師伴你行返回目錄返回目錄 如圖所示，已知如圖所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分別分別是是AB，PC的中點的中點.（1）求證：）求證：MNCD；（2）若）若PDA= ，求證：求證：MN 平面平面PCD.4 45 5（1）因）因M為為AB中點，只要證中點，只要證ANB為等腰為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB. （2）已知）已知MNCD，只需再證，只需再證MNPC，易看出，易看出PMC為等腰三角形，利用為等腰三角形，利用N為為PC的中點，可得的中點，可得MNPC.名師伴你行返回目錄返回目錄 (1)如圖如圖,連接連接AC，AN，BN，PA平面平面ABCD，PAAC，在在RtPAC中，中，N為為PC中點，中點，AN= PC.PA平面平面ABCD，PABC，又，又BCAB， PAAB=A,BC平面平面PAB，BCPB，從而在從而在RtPBC中，中，BN為斜邊為斜邊PC上的中線，上的中線，BN= PC.AN=BN,ABN為等腰三角形為等腰三角形,又又M為底邊的中點為底邊的中點,MNAB,又又ABCD,MNCD.2 21 12 21 1名師伴你行(2)連接連接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD.四邊形四邊形ABCD為矩形為矩形,AD=BC，PA=BC.又又M為為AB的中點，的中點，AM=BM.而而PAM=CBM=90,PM=CM.又又N為為PC的中點，的中點，MNPC.由（由（1）知，）知，MNCD，PCCD=C,MN平面平面PCD.返回目錄返回目錄 名師伴你行垂直問題的證明，其一般規(guī)律是垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由已知想性質(zhì)，由求證想判定由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來.返回目錄返回目錄 名師伴你行返回目錄返回目錄 如圖所示如圖所示,RtABC的斜邊為的斜邊為AB，過，過A作作AP平面平面ABC，AEPB于于E，AFPC于于F.求證：求證：PB平面平面AEF.名師伴你行AP平面平面ABCAPBCBCAC APCA=A AFPC AEPB BCAF AF面面PBC AFPB BCPC=C AFAE=A返回目錄返回目錄 BC面面APCAF面面APCPB面面AEF.名師伴你行返回目錄返回目錄 2009年高考山東卷年高考山東卷如圖如圖7-5-6，在直四棱柱，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD為等腰為等腰梯形，圖梯形，圖ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱分別是棱AD,AA1的中點的中點.（1）設(shè)）設(shè)F是棱是棱AB的中點，證明：的中點，證明：直線直線EE1平面平面FCC1;（2）證明：平面）證明：平面D1AC平面平面BB1C1C.名師伴你行【證明【證明】（1）證法一：?。┳C法一：取A1B1的中點為的中點為F1.連結(jié)連結(jié)FF1,C1F1.由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即為平面即為平面C1CFF1.連結(jié)連結(jié)A1D,F1C, 由于由于A1F1 D1C1 CD,所以四邊形所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，為平行四邊形，因此因此A1DF1C.又又EE1A1D,得得EE1F1C.而而EE1平面平面FCC1，F(xiàn)1C平面平面FCC1，故故EE1平面平面FCC1.返回目錄返回目錄 【分析【分析】證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明一般用判定定理證明.名師伴你行證法二：因為證法二：因為F為為AB的中點，的中點，CD=2,AB=4,ABCD,所以所以CD AF，因此四邊形，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以ADFC.又又CC1DD1,FCCC1=C,FC平面平面FCC1,CC1平面平面 FCC1,ADDD1=D,AD平面平面ADD1A1,DD1平面平面ADD1A1,所以平面所以平面ADD1A1平面平面FCC1.又又EE1平面平面ADD1A1，所以所以EE1平面平面FCC1.故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.返回目錄返回目錄 名師伴你行(2)連結(jié)連結(jié)AC，在，在FBC中，中，F(xiàn)C=BC=FB,又又F為為AB的中點，所以的中點，所以AF=FC=FB.因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1，且，且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1C1C.而而AC平面平面D1AC,故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.返回目錄返回目錄 名師伴你行返回目錄返回目錄 名師伴你行 證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決線，則借助中點、高線與添加輔助線解決.返回目錄返回目錄 如圖如圖,ABC為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC，BDEC且且EC=CA=2BD,M為為EA中點中點.求證：求證：（1）平面）平面BDM平面平面ACE；（2）平面）平面DEA平面平面ECA.名師伴你行返回目錄返回目錄 (1)取取CA中點中點N，連結(jié)，連結(jié)MN,BN，在，在ACE中，中，M,N分別為分別為AE,AC中點，中點，MNEC，MN= EC.而而BDEC，BD= EC,BD MN,B,D,M,N四點共面四點共面.EC平面平面ABC，BN平面平面ABC，ECBN.又又BNAC，BNEC，ACEC=C,BN面面ECA.又又BN面面BMD，平面平面BMD平面平面ACE.2 21 12 21 1名師伴你行返回目錄返回目錄 (2)DMBN，BN平面平面ACE,DM平面平面ACE.又又DM平面平面DEA，平面平面DEA平面平面ACE.名師伴你行返回目錄返回目錄 名師伴你行2009年高考北京卷年高考北京卷如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐PABC中，中，PA底面底面ABC,PA=AB,ABC=60,BCA=90,點點D,E分別在棱分別在棱PB,PC上，且上，且DEBC.(1)求證：求證：BC平面平面PAC;(2)當(dāng)當(dāng)D為為PB的中點時，求的中點時，求 AD與平面與平面PAC所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；(3)是否存在點是否存在點E使得二面角使得二面角ADEP 為直二面角？并說明理由為直二面角？并說明理由.返回目錄返回目錄 名師伴你行【分析【分析】（1）由）由PA平面平面ABC,BCA=90易證得易證得.（2）作出）作出DAE，解直角三角形，解直角三角形.（3）先證）先證AEP為二面角為二面角ADEP的平面角再探求的平面角再探求.【解析【解析】（1）證明：）證明：PA底面，底面，PABC.又又BCA=90,ACBC.又又PAAC=A,BC平面平面PAC.返回目錄返回目錄 名師伴你行(2)D為為PB的中點，的中點，DEBC,DE= BC.又由（又由（1）知）知,BC平面平面PAC,DE平面平面PAC,垂足為點垂足為點E，DAE是是AD與平面與平面PAC所成的角所成的角.PA底面底面ABC,PAAB.又又PA=AB,ABP為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，AD= AB.2121返回目錄返回目錄 名師伴你行在在RtABC中，中，ABC=60,BC= AB,在在RtADE中，中，sinDAE= .AD與平面與平面PAC所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為 .21422ADBCADDE 42返回目錄返回目錄 名師伴你行(3)DEBC,又由（又由（1）知，）知，BC平面平面PAC,DE平面平面PAC.又又AE平面平面PAC,PE平面平面PAC,DEAE,DEPE,AEP為二面角為二面角ADEP的平面角的平面角.PA底面底面ABC,PAAC,PAC=90,在棱在棱PC上存在一點上存在一點E，使得，使得AEPC.這時，這時，AEP=90.故存在點故存在點E使得二面角使得二面角ADEP是直二面角是直二面角. 返回目錄返回目錄 名師伴你行（1）求直線和平面所成的角時）求直線和平面所成的角時,應(yīng)注意的問題是：應(yīng)注意的問題是：(1)先先判斷直線和平面的位置關(guān)系判斷直線和平面的位置關(guān)系.(2)當(dāng)直線和平面斜交時當(dāng)直線和平面斜交時,常常用以下步驟用以下步驟:構(gòu)造構(gòu)造作出或找到斜線與射影所成的作出或找到斜線與射影所成的角角;設(shè)定設(shè)定論證所作或找到的角為所求的角論證所作或找到的角為所求的角;計計算算常用解三角形的方法求角常用解三角形的方法求角;結(jié)論結(jié)論點明斜線點明斜線和平面所成的角的值和平面所成的角的值.（2）求二面角的大小）求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角一般先作出二面角的平面角.此此題是利用二面角的平面角的定義作出題是利用二面角的平面角的定義作出CDC為二面角為二面角ABDC的平面角的平面角,通過解通過解CDC所在的三角形求得所在的三角形求得CDC.其解題過程為其解題過程為:作作CDC證證CDC是二面角是二面角的平面角的平面角計算計算CDC,簡記為簡記為“作、證、算作、證、算”.返回目錄返回目錄 名師伴你行如圖所示，如圖所示，PA平面平面ABCD，四邊形，四邊形ABCD是矩形，是矩形，PA=AD=a,M,N分別是分別是AB，PC的中點的中點.（1）求平面）求平面PCD與平面與平面ABCD 所成的二面角的大?。凰傻亩娼堑拇笮?；（2）求證：平面）求證：平面MND平面平面PCD.返回目錄返回目錄 名師伴你行【解析【解析】（1）PA平面平面ABCD，CDAD,PDCD.故故PDA為平面為平面ABCD與平面與平面PCD所成二面角的平面所成二面角的平面角，在角，在RtPAD中，中，PA=AD,PDA=45.返回目錄返回目錄 名師伴你行（2）證明）證明:如圖，取如圖，取PD中點中點E，連結(jié)，連結(jié)EN，EA，EN CD AM,四邊形四邊形ENMA是平行四邊形，是平行四邊形，EAMN.AEPD,AECD,AE平面平面PCD，從而，從而MN平面平面PCD.MN平面平面MND，平面平面MND平面平面PCD. = 21返回目錄返回目錄 名師伴你行返回目錄返回目錄 名師伴你行名師伴你行