1 2類比推理 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 1 兩類不同對象具有某些類似的特征 在此基礎(chǔ)上 根據(jù)一類對象的其他特征 推斷另一類對象也具有類似的其他特征 我們把這種推理過程稱為 2 類比推理是兩類事物 之間的推理 即類比推理是由 的推理 3 根據(jù)解決問題的需要 可對 進行類比 1 類比推理 類比推理 特征 特殊到特殊 概念 結(jié)論 方法 實驗和實踐 經(jīng)驗和直覺 事實 結(jié)論 歸納推理與類比推理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別 歸納推理是由特殊到一般的推理 類比推理是由個別到個別的推理或是由一般到一般的推理 聯(lián)系 在前提為真時 歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假 1 下面幾種推理是類比推理的是 A 因為三角形的內(nèi)角和是180 3 2 四邊形的內(nèi)角和是180 4 2 所以n邊形的內(nèi)角和是180 n 2 B 由平面三角形的性質(zhì) 推測空間四邊形的性質(zhì)C 某校高二年級有20個班 1班有51位團員 2班有53位團員 3班有52位團員 由此可以推測各班都超過50位團員D 4能被2整除 6能被2整除 8能被2整除 所以偶數(shù)能被2整除答案 B 2 已知 bn 為等比數(shù)列 b5 2 則b1b2b3 b8b9 29 若 an 為等差數(shù)列 a5 2 則 an 類似的結(jié)論為 A a1a2a3 a9 29B a1 a2 a9 29C a1a2a3 a9 2 9D a1 a2 a9 2 9解析 在等差數(shù)列中 積 變 和 得a1 a2 a9 2 9 答案 D 4 已知在三棱錐S ABC中 SA SB SB SC SA SC 且平面SAB SAC SBC與底面ABC所成角分別為 1 2 3 三側(cè)面 SAB SAC SBC的面積分別為S1 S2 S3 類比三角形中的正弦定理 給出空間情形的一個猜想 課堂互動講義 三角形與四面體有下列共同的性質(zhì) 1 三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡單的封閉圖形 四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡單的封閉圖形 2 三角形可以看做平面上一條線段外一點與這條直線段上的各點連線所形成的圖形 四面體可以看做三角形外一點與這個三角形上各點連線所形成的圖形 平面圖形與空間圖形的類比 通過類比推理 根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表 思路導(dǎo)引 已知三角形和四面體的 外在 性質(zhì) 合理尋找類比對象對二者 內(nèi)在 性質(zhì)進行探究 邊聽邊記 三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形 三角形的邊對應(yīng)四面體的面 即平面的線類比空間的面 三角形的中位線對應(yīng)四面體的中位面 三角形的內(nèi)角對應(yīng)四面體的二面角 三角形的內(nèi)切圓對應(yīng)四面體的內(nèi)切球 具體見下表 1 類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要 選擇適當?shù)念惐葘ο?可以從幾何元素的數(shù)目 位置關(guān)系 度量等方面入手 由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論 2 平面圖形與空間圖形類比 1 如圖所示 在 ABC中 射影定理可表示為a b cosC c cosB 其中a b c分別為角A B C的對邊 類比上述定理 寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想 平面圖形與空間幾何體的類比 類比推理的思維過程大致為 觀察 比較 聯(lián)想 類推 猜測新的結(jié)論 該過程包括兩個步驟 1 找出兩類對象之間的相似性或一致性 2 用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì) 從而得出一個明確的命題 即猜想 說明 一般地 如果類比的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān) 那么類比得出的命題就越可靠 2 在Rt ABC中 若 C 90 則cos2A cos2B 1 試在立體幾何中 給出四面體性質(zhì)的猜想 于是把結(jié)論類比到四面體P A B C 中 我們猜想 三棱錐P A B C 中 若三個側(cè)面PA B PB C PC A 兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為 則cos2 cos2 cos2 1 12分 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 證明等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 并類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則有等式 成立 定義 定理或性質(zhì)中的類比 規(guī)范解答 在等差數(shù)列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 a1 a2 an a19 0 4分即a1 a2 an a19 a18 an 1 6分又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 8分若a9 0 同理可得a1 a2 an a1 a2 a17 n 相應(yīng)地 類比此性質(zhì)在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 10分可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 12分答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 1 運用類比思想找出項與項的聯(lián)系 應(yīng)用等差 等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵 2 等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運算和性質(zhì) 一般情況下等差數(shù)列中的和 或差 對應(yīng)著等比數(shù)列中的積 或商 錯因 類比推理是不嚴格的 所得結(jié)論的正確與否有待用實踐來證明 解題時若直接使用類比所得結(jié)論進行推理則容易出現(xiàn)錯誤 錯解將方程的同解原理類比到不等式中 忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別 糾錯心得 在運用類比推理時 其一般步驟為 首先 找出兩類對象之間可以確切表述的相似性 或一致性 然后 用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì) 從而得出一個猜想 最后 檢驗這個猜想