1空間直線及其方程第四節(jié)一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角平面束平面束五五六、小結(jié)六、小結(jié)2xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程2562123zyxzyx如如00yx3xyzo直線的方向向量：直線的方向向量： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL,),(上一點上一點為為設(shè)設(shè)LzyxM00000M M ),(zyxML上一點上一點任取任取sMM0則則/,的的方方向向向向量量為為Lpnms ,0000zzyyxxMM而而二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.的直線方程的直線方程求求L、對稱式方程、對稱式方程14pzznyymxx000稱為直線的對稱式方程稱為直線的對稱式方程(標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn)式),的的方方向向向向量量為為Lpnms 為直線的方向數(shù)。為直線的方向數(shù)。、pnm:說明說明01000zznyymxx)(000zznyymxx5pzzyyxx0000000yyxx),(00yx00222221111DzCyBxADzCyBxAL若若)(的方向向量的方向向量則則L22211121CBACBAkjinnS6ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程、參數(shù)式方程、參數(shù)式方程2pzznyymxx000令令t71例例:解解,10PM 取取21PPS ,121212zzyyxx由對稱式由對稱式121121121zzzzyyyyxxxx兩點式方程兩點式方程.,),(),(2122221111的的直直線線方方程程求求過過是是空空間間兩兩點點設(shè)設(shè)PPzyxPzyxP8例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標(biāo)點坐標(biāo)),2, 0 , 1( 9因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx312111kji10例例 3 3 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和 y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx114例例.15234)5 , 2 , 3(的交線平行的直線方程和且與兩平面求過點zyxzxA:解解),(5230M21nns 512401kji,134直線方程直線方程153243zyx125例例.的交點的交點和平面和平面求直線求直線052231211zyxzyx:解解直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程tztytx2321代入平面方程得代入平面方程得0523212)()()(ttt4t交點交點),(56313定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角（銳角）稱為兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角（銳角）稱為兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角14兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即156例例134111zyxL :設(shè)設(shè)12222zyxL :.求兩直線的夾角求兩直線的夾角:解解222222122141112421)()()()()()(cos 224 16例例 7 7 求過點求過點)3 , 1 , 2(M且與直線且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. 解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx17代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx18定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角 0.2 19222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 20例例 8 8 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角21平面束平面束五五:L設(shè)設(shè))()(201022221111DzCyBxADzCyBxA建立方程建立方程)()()(3022221111DzCyBxADzCyBxA 是參數(shù)是參數(shù) 021212121)()()()(DDzCCyBBxAA ),)()(外外除除的任一平面的任一平面表示通過表示通過23L.)(的平面束方程的平面束方程為通過為通過稱稱L3229例例上的投影直線方程上的投影直線方程在平面在平面求直線求直線00101zyxzyxzyxL: :解解為為設(shè)過直線的平面束方程設(shè)過直線的平面束方程011)()(zyxzyx 01111)()()()( zyx垂直垂直要使與要使與 0111111)()()( 1 23投影平面方程投影平面方程0222 zy投影直線方程投影直線方程001zyxzy2410例例且垂直且垂直已知平面過直線已知平面過直線42113zyx.,:求其方程求其方程于平面于平面0552zyx :解解直線可寫成一般式方程直線可寫成一般式方程423113zxyx0634033zxyx即即作平面束作平面束063433)()(zxyx 0633341)()( zyx25垂直垂直待求平面與待求平面與 05313241)()()( 71 平面方程平面方程057zyx2611例例.,:),(求該直線方程求該直線方程相交相交又和直線又和直線且垂直直線且垂直直線一直線過點一直線過點121123112121zyxLzyxLA:解解,S設(shè)設(shè)待待求求直直線線方方向向向向量量為為,nLASSS及的平面的法線及的平面的法線點點又垂直于過又垂直于過且且則則21,nLA的的平平面面的的法法向向量量點點及及先先求求過過2),(00022ML 上一點上一點任取任取,1212AMAMSn22121112kjikji33327待求直線的方向向量待求直線的方向向量nSS1333123kjikji523直線方程直線方程512231zyx:另解另解),(000zyxB設(shè)交點設(shè)交點12000zyx00002yzyx,即即281000121LzyxAB,而待求直線上而待求直線上012213000)()()(zyx7871678000zxy,代入代入將將00002yzyx,由兩點式由兩點式7151762791zyx29空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）六、小結(jié)30練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解答：解答：,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當(dāng)故當(dāng) 時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 0 m6 p, 0 n31312、一直線過點M1（1，1，0）且與z軸相交，其夾角,4求直線L的方程。解：解：設(shè)直線L與z軸的交點為M2（0，0，z)， 由于直線L過點M1（1，1，0），則L的一個方向向量21MMS zzS, 1, 10, 10 , 10又L與z軸的夾角為z ,4軸的一個方向向量為（0，0，1）2214coszz2z所以L的方向向量2, 1, 12, 1, 1或SS所以直線L的方程2111121111:zyxzyxL或為32323、求過直線L:40 xz0405zxzyx48120 xyz且與平面:4夾成角的平面方程.提示提示:過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n可以證明平面與平面的夾角也為.433334、求過:點P0(3,-1,2)到直線 L:04201zyxzyx的距離.解解: L中1121111kjiS1, 1 , 031 , 1 , 0S在直線L上找一點P1,即在L的方程中令0z解得21yx)0, 2, 1 (1P由公式:23SSPPd102, 1, 220),1(2, 3110PP